逆問題的分解方法

Andreas Kirsch Institute of Algebra and

Geometry University of Karlsruhe(TH)

Karlsruhe, Germany

The Factorization Method

for Inverse Problems

2008, 201pp.

Hardcover

ISBN:9780199213535

Oxford University Press

A.Kirsch等著

逆問題廣泛出現(xiàn)于物理、生物、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域，在地震探測、光學(xué)、圖像處理、醫(yī)學(xué)成像、語音處理等問題中有著廣泛的應(yīng)用。逆問題中有很大一類是形狀確定問題，也就是如何利用探測到的數(shù)據(jù)去計算一個未知區(qū)域的邊界，例如利用聲波、電磁波或者彈性波的遠(yuǎn)場或近場數(shù)據(jù)去探測未知物體形狀的反散射問題，通過物體表層電勢的變化來反演內(nèi)部電導(dǎo)率異常區(qū)域的電阻尼成像（Elecctric Impedance Tomography）技術(shù)都屬于這一類問題。這類問題一般是非線性和不適定的。

本書是介紹如何反演未知區(qū)域形狀的一本專著，所介紹的分解方法是近年發(fā)展起來的通過數(shù)值計算來反演區(qū)域邊界的一種非迭代方法。與傳統(tǒng)的迭代方法相比，分解方法的典型特征是它在不依賴于邊界條件和區(qū)域的拓?fù)湫再|(zhì)的基礎(chǔ)上，通過算子分解提出了刻畫未知區(qū)域邊界的充分必要條件，這種刻畫使得在數(shù)值計算方面更加迅速和準(zhǔn)確。分解方法是在線性采樣方法的基礎(chǔ)上建立起來的，但比線性采樣方法有更強的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。閱讀本書需要有扎實的泛函分析基礎(chǔ)，同時對索伯列夫函數(shù)空間要有深刻的認(rèn)識。

全書共分7章。1M4章主要介紹分解方法在三維聲學(xué)逆散射中的應(yīng)用。在這種聲學(xué)模型中，波的傳播可以用純量Helmholtz方程來刻畫，1M3章用于處理不可穿透散射體的Dirichlet、Neumann、 Robin以及混合邊界條件，第4章研究可穿透散射體（非齊次介質(zhì)）的情形。第5M6章分別介紹分解方法在時諧電磁波反散射和阻尼成像問題中的應(yīng)用。第7章介紹反演區(qū)域幾何形狀的其它方法，包括線性采樣（Linear Sampling）方法、奇異點源(Singular Point Source)方法和探測(Probe )方法，以及這些方法和分解方法之間的聯(lián)系。

由于分解方法的準(zhǔn)確和高效，該方法在周期散射、彈性介質(zhì)、光學(xué)成像等問題中不斷得到推廣和應(yīng)用。該書分章節(jié)著重介紹了分解方法在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，給出了處理不同問題的不同數(shù)學(xué)模型。

這本專著的作者之一A.Kirsch是電磁反散射領(lǐng)域知名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家，他和N.Grinberg所在的德國 Karlsruhe大學(xué)代數(shù)與幾何研究所逆問題課題組也是世界上知名的研究小組，近年來在逆問題理論和數(shù)值計算方面取得了很多結(jié)果。

該書敘述嚴(yán)謹(jǐn)縝密，有很強的實用價值，因而很適合數(shù)學(xué)、物理學(xué)、光學(xué)、醫(yī)學(xué)、工程等方面需要處理逆問題的研究生和其他科研工作者閱讀參考。

胡廣輝，博士生

(中國科學(xué)院應(yīng)用數(shù)學(xué)所)

Hu Guanghui, Doctoral Candidate

(Institute of Applied Mathematics, CAS)