讓學生展開想象的翅膀

吳建英　蔡海報

“三角形三邊關(guān)系”是人教版課標教材四年級下冊“三角形”中的第三課時。三角形三邊關(guān)系定理不僅給出了三角形三邊之間的大小關(guān)系，更重要的是提供了判斷三條線段能否組成三角形的標準。該課時是在學生對三角形的特征有了初步了解的基礎(chǔ)上進一步研究三角形的特征。教材在編排時先安排了生活情境，學生根據(jù)生活經(jīng)驗覺得從家到學校的三條路中走中間這條路最近，由此提出問題：這是什么原因呢?接著教材呈現(xiàn)了三組紙條6、7、8；4、5、9，3、6、10。學生通過動手操作體會到：三根小棒有時能圍成三角形，有時圍不成三角形，從沒有圍成三角形的兩種情況中猜想能圍成三角形的三條邊之間的關(guān)系，得出三角形任意兩邊的和大于第三邊。在這個過程中，培養(yǎng)了學生的邏輯思維能力和動手操作能力，也培養(yǎng)了學生猜測一驗證一總結(jié)的學習習慣。

圍繞教材的編排意圖，第一次課堂實踐采取了圍小棒的方式，通過“操作—觀察—推測—驗證”的模式進行教學。

第一次課堂片段聚焦

一、動手操作發(fā)現(xiàn)問題

師：是不是任意的三根小棒都能圍成三角形呢?老師為同桌兩位同學準備了紅(6厘米)、黃(7厘米)、藍(8厘米)、綠(14厘米)四根小棒，請你們?nèi)我膺x三根小棒，自由組合圍一圍，看是不是都能圍成三角形，或者有的組合圍不成。

1學生操作(同桌兩位學生一組進行操作)

2交流反饋

在反饋中，學生一致認同紅(6厘米)、黃(7厘米)、綠(14厘米)這三根小棒圍不成三角形；認為紅(6厘米)、藍(8厘米)、綠(14厘米)圍不成三角形的只有2組學生。教師用多媒體演示，在圍的過程中紅色和藍色的線段合起來和綠色的線段一樣長，這時仍有一組學生說我們能圍的。

片段問題探討、采用圍小棒的方法讓學生發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系，這種方法有什么欠缺的地方?

課后我們在對這一片段進行討論的過程中提出了以上問題，通過對課堂的分析我們有了自己的想法：

1在平面圖形的教學過程中，無論是研究長方形、正方形，還是研究平行四邊形……都是先有這些圖形再進行研究的。而在研究三角形三邊關(guān)系的時候卻是在沒有三角形的情況下圍幾個三角形進行研究。那么在教學過程中是否也能通過已有的三角形進行研究呢?

2用圍小棒的方法讓學生體驗有時能圍成三角形，有時圍不成三角形，從沒有圍成三角形的兩種情況中猜想能圍成三角形的三條邊之間的關(guān)系。我們認為這種方法具有局限性，因為無論有多少根小棒都是有限的，那么圍的各種組合也就不具備普遍性。其次，因為小棒是教師提供的，學生在選擇小棒的過程中也不需要進行思考，選這三根圍得成，選那三根圍不成，對于小棒的選擇是無意識的。

3本堂課最難竅破的是學生思維的“臨界點”。在教學過程中發(fā)現(xiàn)對于兩根小棒之和小于第三根小棒的組合圍不成三角形，學生通過操作都能感悟、理解。而對于兩根小榛之和等于第三根的時候是圍不成三角形的，而只能形成兩條相等的線段，利圍小棒的方法恰恰很難突破這個“臨界點”。從學生的心理原因分析，今天老師讓我們圍小棒，學生就會千方百計地想去圍咸。從客觀原因分析，用小棒圍三角形，因為小榛是立體的，在圍的過程中很難達到相鄰的端點相連，也就會出現(xiàn)課堂上大多數(shù)同學幫說能圍成的現(xiàn)象。更難的是學生以自己的操作為第一表象，當教師用課件演示完以后，仍然有學生認為是圍得威的。說明在這個過程中，學生空間想象完全是缺失的。

二、觀察思考引發(fā)推測

師：仔細觀察，推測一下為什么這三條線段圍不成三角形?

生：其中兩條線段的和比第三條短或一樣長。

師：那怎么樣的三條線段能圍咸三角形呢?

生：兩條線段的和比第三條長。

教師小結(jié)：這三條線段在三角形中我們叫它邊。也就是說，三角形中兩邊之和大于第三邊。

片段問題探討：從研究怎樣的三條線段能圍成三角形到三角形三邊關(guān)系的描述中間，還應(yīng)為學生的思維鋪墊什么?

在對這個片段的課堂分析中，老師們感覺在學生探討“為什么這三條線段圍不成三角形”的過程中，得出了其中兩條線段的和比第三條短或一樣長就圍不成。進而教師設(shè)問：“那怎么樣的三條線段能圍成三角形呢?”學生也能描述兩條線段的和比第三條長時能圍成。這時教師馬上小結(jié)：“這三條線段在三角形中我們叫它邊。也就是說，三角形中兩邊之和大于第三邊?！边@樣跳躍性很強。探究三角形三邊關(guān)系的過程完全是教師個人把學生的思維硬拉過來的過程，中間缺少鋪墊。

那么除了借助圍小棒的方法到底有沒有更合乎學生思維起點又能提升學生思維能力的方法呢?怎樣循著學生的思維讓學生對三角形三邊關(guān)系的認識逐步深刻呢?學生在“實踐操作，進行驗證”這一環(huán)節(jié)中，認為把綠色的小棒剪短到12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2厘米都可以和6厘米的紅色小棒、7厘米黃色小棒圍成三角形。教師提出：“綠色的線段從11變到2，三角形會怎么變?”大多數(shù)學生都能通過想象感悟到三角形由矮、扁變成高、瘦。這一教學環(huán)節(jié)給了我們啟發(fā)：本堂課能否以已有三角形一條邊的變化為切入點進行動態(tài)研究，充分發(fā)揮學生的想象，在空間想象感悟、操作驗證等數(shù)學活動中，經(jīng)歷探索三角形三邊關(guān)系的過程。

第二次課堂片段聚焦

一、空間想象

師：同學們已經(jīng)知道了由三條線段圍成的圖形叫三角形。那么有沒有想過是不是任意的三條線段都能圍成三角形，三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系呢?

生：兩條很短，一條很長就不行了。

生：任意的三條都行的。

教師小結(jié)：今天這節(jié)課我們就來繼續(xù)研究三角形，研究三角形三條邊之間的關(guān)系。

師：現(xiàn)在有紅、藍、綠三條線段，紅線段長4厘米、藍線段長5厘米、綠線段長6厘米，想不想看看這三條線段圍成的三角形是怎樣的?

(多媒體呈現(xiàn)三條線段圍成的三角形)

1第一次想象

師：如果把6厘米的綠色線段換成一根長7厘米的線段。想想圍成的三角形會有什么變化?

生：紅色和藍色的要斜下去了。

生：三角形要變扁了。

多媒體呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍)、7厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

2第二次想象

師：如果把綠色線段再換成8厘米，圍成的三角形又會怎么變呢?

生：更扁了。

生：更矮了。

多媒體呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍)、8厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

3第三次想象

師：現(xiàn)在請你們繼續(xù)想象，如果綠色的小棒變成9厘米會怎樣呢?

生：更扁了。

生：馬上要平了。

生：快要撐不起來了!

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍)、9厘米(綠]三條線段圍三角形的情況。

生(開心)：真的平了!

師：和你想象的一樣嗎?發(fā)現(xiàn)了什么?

生：藍色和紅色的線段連起來和綠色線段一樣長了。

生：重疊了，圍不成了。

4第四次想象

師：綠色的線段再換一根長10厘米的呢?

生：綠色的要長出來了。

生：紅色和藍色中間要空出!厘米了。

師：你是指紅色和藍色的碰也碰不住了，是嗎?

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍)、10厘米(綠)三條線段圍三角形的情況。

片段分析：以三角形一條邊的變化為切入點進行動態(tài)研究，充分發(fā)揮學生的想象，來感悟三角形的三邊關(guān)系。

1通過空間想象，提升學生的思維能力

想象力的缺失，往往會讓人變得呆板。在第二次課堂實踐中我們通過三角形一條邊不斷變化的動態(tài)研究，讓學生在頭腦中不斷地想象和建構(gòu)。學生的想象經(jīng)歷了第三邊不斷延長，三角形不斷變矮、變扁直至無法圍成的變化過程。在這個過程中，學生感受了三角形由于邊的變化而產(chǎn)生的形與結(jié)構(gòu)的變化，這種想象相對于選擇有限的小棒圍三角形而言更具有普遍性。同時在想象的過程中學生的思維得以充分的展示，課堂也由此充溢著生命的靈動?！氨庀氯チ恕薄榜R上要平了”“快要撐不住了”“快要瘦成一條線了”“要空出來了”……學生們用自己最真實、最樸素的語言描繪了自己的想象畫面，同時也揭示了三角形的本質(zhì)，即三條線段要圍成三角形，相鄰的端點相連，其中的兩根必須撐得起來?？梢哉f，學生通過自己的想象已完全領(lǐng)悟了三角形的三邊關(guān)系。以致課堂最后在解決課本情境圖時，有學生竟然還會通過想象認為“把上面兩條邊往下壓肯定比第三條邊長”。

2通過空間想象，輕松“躍過”學生思維的“臨界點”

在學生想象三角形綠色線段由6厘米換至7厘米、8厘米“兩次變扁”以后，教師再一次讓學生想象4厘米的紅色線段，5厘米的藍色線段不變，綠色線段換長到9厘米，會怎樣?學生想象到“更扁了”“快要平了”“快要撐不住了”……這時候媒體適時的介入讓學生介于清晰和模糊之間的想象豁然開朗，于是課堂中就有了學生一片帶著新奇又快樂的聲音——“真的平了”，真可謂“難題一攻而破”。

二、引導(dǎo)探究

教師引導(dǎo)：仔細回憶剛才的學習過程，現(xiàn)在你感覺三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系?

(學生探究交流)

生：兩條邊的和不能等于或小于第三邊。

生：兩條邊的和大于第三邊。

生：較短兩條邊的和大于第三條邊。

片段分析：讓學生自主經(jīng)歷由“圍三角形”到“三邊關(guān)系”的轉(zhuǎn)化。

相對于第一次課堂實踐，在第二次教學實踐的過程中，課始就讓學生思考“是不是任意的三條線段都能圍成三角形，三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系呢”。學生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗和空間想象，認為兩條很短、一條很長的時候就不行了，也有學生認為任意的三條線段都能圍成。在這個過程中，教師給予了學生明確的學習任務(wù)，即今天要研究“三角形的三邊關(guān)系”。在學生經(jīng)歷了第三邊不斷延長，三角形不斷變矮、變扁直至無法圍成的變化過程之后，教師再一次重復(fù)了課始的問題：“現(xiàn)在你感覺三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系?”在思考的過程中學生自我經(jīng)歷了兩個過程，先思考怎樣的三條線段能圍咸三角形，再此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系，避免了第一次課堂實踐中教師把在研究怎樣的三條線段能圍成三角形的學生強拉到三角形三邊關(guān)系中來的現(xiàn)象。

三、深刻認識

師：同學們，剛才我們讓這個三角形中綠色的邊不斷延長，發(fā)現(xiàn)三角形越來越扁，最后紅、藍兩條邊撐不起來，圍不成三角形了。你們由此對三角形的三邊關(guān)系有了自己初步的想法。

多媒體再次呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍)、6厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第五次想象)：接下來我們繼續(xù)研究，現(xiàn)在讓綠色的邊變短，變短到5厘米，三角形會怎么變?

生：變高了。

生：變瘦了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍)、5厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第六次想象)：當綠色的線段從5厘米變短到4厘米，那么三角形又會怎么變呢?

生(齊答)：更高，更瘦了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍)、4厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第七次想象)：看著綠色的邊，綠色的邊再變短、變短……那么會出現(xiàn)什么情況呢?

生：圍不成三角形了。

教師引導(dǎo)：綠色的線段短到幾厘米的時候圍不成三角形了呢?

生：1厘米。

教師引導(dǎo)：按照剛才同學們認為的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，那么5+4＞1為什么又圍不成了呢?

生：現(xiàn)在最長的那根是藍色了。

生：紅、綠兩根的和等于藍色的了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米

(藍)、1厘米(綠)(豎成一條直線)

教師引導(dǎo)：現(xiàn)在是哪兩根的和與哪一根比?

完善推測：現(xiàn)在你認為剛才兩種三角形三邊關(guān)系的描述哪一種更合理?

生(齊)：三角形中較短兩邊之和大于第三邊。

生：我認為任意兩邊之和大于第三邊。

片段分析：再一次的想象讓學生對三角形三邊關(guān)系的認識更全面完善。

當學生的空間想象經(jīng)歷了第三邊不斷地延長，三角形不斷地變矮、變扁直至無法圍成的過程時，更多學生對三邊關(guān)系的認識局限于兩邊之和大于第三邊，只有少部分學生關(guān)注到必須是較短兩邊大于第三邊。為了讓更多學生完善自己的認識，教學時通過綠色邊的兩次縮短，讓學生想象三角形不斷地變高、變瘦。再此基礎(chǔ)上進一步讓學生想象“綠色的邊再變短、變短……那么會出現(xiàn)什么情況呢?”學生通過想象認為，縮短到1厘米的時候三角形又圍不成了。因為藍色的那條邊變成了最長的邊，紅色、綠色兩邊的和等于藍色的邊了。學生自主地改變了比較的對象(在綠邊延長時是紅色、藍色邊的和與綠色邊比)，深刻地領(lǐng)悟了“兩邊之和大于第三邊”的兩邊必須是較短的兩邊，課堂中更有一位學生感悟到了“任意兩邊之和大于第三邊”。

四、動手操作，驗證推斷

教師引語：同學們通過研究，感悟到三角形中應(yīng)該較短兩邊的和大于第三邊。那么是不是所有三角形中的三條邊都有這樣的關(guān)系呢?老師覺得我們有必要再擺一擺、圍一圍來證明一下。

一部分學生脫口說一定，小部分學生脫口說不一定。

師：老師為同桌兩位同學準備了三根小棒，請你圍一圍，然后再量一量。

1學生用教師準備的小棒圍三角形。

2學生測量驗證。

教師小結(jié)：看來我們的推斷是完全正確的，在三角形中較短兩邊一定大于第三邊。

片段分析：通過想象后的操作，讓結(jié)論從個別走向普遍。

在本堂課中借助一個三角形中一邊不斷變化的動態(tài)研究讓學生充分想象，感悟三角形三邊的關(guān)系。但有一部分學生的思維還局限在剛才變化過程中的幾個三角形中。課堂中教師的提問可以證實這部分同學的想法。當提出問題，“在改變?nèi)切我粭l邊的過程中得到了我們的推斷，三角形中較短兩邊的和大干第三邊。那么這個推斷在這些三角形中適用，在其他的三角形中呢?”有學生馬上說不一定。因此教學中為學生準備了不同長短的小棒，讓學生先圍一圍，在操作的基礎(chǔ)上再進行測量，驗證能圍成的三角形是否都是較短兩邊之和大于第三邊，圍不成的是否較短兩邊等于或小于第三邊。通過操作，和判斷全部一致。這樣的過程讓學生的推測由個別走向普遍，認識由局部變得完整，同時也讓學生在想象的基礎(chǔ)上進行了親手實踐，使操作充滿了學生的期待。

和第一次課堂實踐相比，第二次課堂實踐解決了第一次課堂教學后想到的課堂問題。在磨課過程中讓我深刻地感受到課堂是由“問題”組成的，只有靜下心來反思一個個能想到的教學問題并逐一去突破，才能讓自己和學生在一次次的課堂中有所收獲。也正是磨課的過程讓我們突破了傳統(tǒng)教法，通過想象，讓學生學得輕松智慧，讓教師教得輕松愉悅。因為是借班上課，學生不認識我，課后很多學生擁到講臺，對我說“老師這堂課真有趣”。我問：“為什么有趣?”學生說：“我們想到、看到了三角形慢慢撐不下去了?！睆膶W生的話語中，從學生的課堂表現(xiàn)中我們可以看到學生良好的空間想象力，關(guān)鍵是我們有沒有給學生想象的機會。正如，有一位聽課教師在短信平臺中寫道：“學生空間想象力的培養(yǎng)，過了這村，就沒有這店了?！倍咎谜n通過空間想象讓學生探索三角形的三邊關(guān)系正是把握了“村、店”的特點和優(yōu)勢。

(浙江省嘉興市秀洲實驗小學314000浙江省嘉興市秀洲區(qū)教研室314000)