一元一次方程復習指導

劉東升

一、復習目標

了解一元一次方程及其相關概念，通過觀察、歸納得出等式的性質，熟悉解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想.

能夠找出實際問題中的已知量和未知量，分析它們之間的關系，設未知數，利用方程表示問題中的等量關系，從而求得問題的解.會根據問題的實際意義檢驗求得的結果是否正確.

二、復習建議

1. 在解方程時，不必嚴格按照課本中所講的基本步驟進行，可以根據方程的特點，靈活選擇步驟或合并某些步驟，以達到快速、準確的目的．

2. 本章中列方程解決實際問題的類型較多，學習時不要死記題型，要通過解題努力提高分析問題和解決問題的能力．

3. 要注意檢驗求得的結果是不是方程的解．列方程解決實際問題時，還要注意判斷方程的解是否符合實際意義．

三、重要知識點回顧

1. 表示的式子叫做等式.在等式中，等號左右兩邊的式子分別叫做這個等式的和.等式的左右兩邊可以分別是數或.

2. 叫做方程.只含有未知數，并且未知數的指數都是的方程叫做一元一次方程.使方程中等號左右兩邊的未知數的值就是方程的解.

3. 等式有兩個重要性質：（1），可用字母表示為；（2），可用字母表示為.

4.方程中的任何一項都可以在后從方程的一邊移到另一邊．

5. 解一元一次方程一般有五個步驟，具體的做法、依據如下.

（1）去分母， 即在方程的兩邊同乘以各分母的，其依據是等式的.去分母時不要漏乘____的項，同時又要注意分數線的作用，去分母時分子若是多項式要加上.

（2）去括號，一般是先去，再去，最后去.要注意，括號前的系數不能漏乘括號內的任一項，若括號前面是“-”，去括號時括號內的各項都要改變.

（3）移項，即把含有的項都移到方程的一邊，把其他項移到另一邊.從方程的一邊移到另一邊應注意，在同一邊改變項的位置不叫移項.

（4）合并同類項，即把方程化為的形式.合并同類項時要把各項的系數，字母及字母的指數.

（5）化系數為1，即在方程兩邊都未知數的系數，其依據是.未知數的系數是分數時應注意分子與分母的區(qū)別.

6. 列一元一次方程解應用題的一般過程：（1）弄清題意，了解題中的關系；（2）找出能夠表示題目含義的關系；（3）設出未知數，用含有未知數的式子表示出相關的量，然后利用已找出的關系列出方程；（4）解所列的方程，求出的值；（5）檢驗所求出的未知數的值是不是方程的，是否符合實際意義.

四、考點透視

考點1：一元一次方程的識別

例1下列各式：①2x-3；②3x+2=3；③5+（-2）=3；④x-y=0；⑤x2-5x+2=0.其中是一元一次方程的有（）．

A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個

2x-3不是等式，因而不是方程；5+（-2）=3是等式，但不含未知數，所以不是方程；x-y=0是等式，也含有未知數，但有兩個未知數，它是二元一次方程；x2-5x+2=0中未知數的最高次數是2，是一元二次方程；只有3x+2=3是一元一次方程.故選A.

這道題考查一元一次方程的識別，我們要準確理解一元一次方程的定義.一元一次方程是只含有一個未知數，并且未知數的指數都是1的方程．

考點2：一元一次方程的解法

例2解方程：-=3-.

去分母，得2（x-1）-（5+x）=18-3（x+1）.

去括號，得2x-2-5-x=18-3x-3.

移項，得2x-x+3x=18-3+2+5.

合并同類項，得4x=22.

系數化為1，得x=.

這道題可以幫助同學們復習解方程的幾個步驟.要特別注意，去分母時不能漏乘不含分母的項，去括號時不要弄錯符號．

考點3：一元一次方程中待定系數的確定

例3（2008年上海市中考題）如果x=2是方程x+a= -1的解，那么a的值是（）．

A． 0 B． 2 C．-2 D．-6

由一元一次方程的解的定義，可把x=2代入方程x+a=-1中，得1+a=-1，于是可得a=-2.選C．

這是一道經典的求待定系數問題，初中數學里有很多類似的題目. 處理這類問題的一般策略是將方程的解代入所給方程，得到關于待定系數的方程（這道題中我們得到了關于a的方程），再求解即可．

例4已知關于x的方程=x+與=3x-2的解相同，則m=.

方程=x+的解是x=-m，方程=3x-2的解是x=1.

根據題意，得-m=1，所以m=-.

這是一個利用同解方程確定待定系數的問題，我們可先根據題意把可解的方程解出來，再將解代入含有待定系數的方程，就可使問題獲解．

考點4：構建一元一次方程解應用題

例5（2008年溫州市中考題，有改動）為了獎勵數學學習興趣小組的同學，張老師花92元錢購買了《智力大挑戰(zhàn)》和《數學趣題》兩種書共9本．已知《智力大挑戰(zhàn)》每本18元，《數學趣題》每本8元，則《數學趣題》買了本．

設《數學趣題》買了x本，則《智力大挑戰(zhàn)》買了（9-x）本，可列方程8x+18（9-x）=92.解得x=7.故《數學趣題》買了7本．

在這個問題中，《數學趣題》與《智力大挑戰(zhàn)》的本數都是未知量，先設出其中一個，然后可根據它們的和為9表示出另一個未知量，這樣才能順利構建一元一次方程求解．

考點5：利用一元一次方程進行推理

例6陳老師為學校購買了運動會的獎品，回到學校向后勤處王主任交賬，他說：“我買了兩種書，共105本，單價分別為8元和12元.買書前我領了1 500元，現在還余418元. ” 王主任算了一下，說：“你肯定搞錯了. ”

（1） 王主任為什么說陳老師搞錯了？試用方程的知識給予解釋.

（2） 陳老師連忙拿出購物發(fā)票，發(fā)現的確弄錯了，因為他還買了1個筆記本. 但發(fā)票上筆記本的單價已模糊不清，只能辨認出是一個小于10的整數，筆記本的單價可能為多少元？

（1） 設單價為8元的書買了x本，得

8x+12（105-x）=1 500-418.

解得x=44.5，不符合題意，所以王老師肯定搞錯了.

（2） 設單價為8元的書買了y本， 筆記本的單價為a元.

依題意，得8y+12（105-y）=1 500-418-a.

從而可得178+a=4y.

由于 a、y都是整數，178+a應能被4整除，故a應為大于0的偶數.

又知a為小于10的整數，所以 a可能為2、4、6、8.

當a=2時，4y=180，y=45，符合題意；

當a=4時，4y=182，y=45.5，不符合題意；

當a=6時，4y=184，y=46，符合題意；

當a=8時，4y=186，y=46.5，不符合題意 .

故筆記本的單價可能是2元或6元 .

（1）是借助一元一次方程求得一個非整數解，不符合題中情境，因而舍去.這是讓同學們自主推理的典型問題，這種根據情境進行推理的應用型問題同學們要重視．（2）涉及分類討論思想.根據問題的情境引入一個待定系數，結合整除的性質進行推理分析，要求較高，同學們要注意體會這種推理方法．

五、小試身手

1． 下列各式中，不屬于方程的是（）.

A． 2x+3-（x+2） B． 3x+1-（4x-2）=0

C． 3x-1=4x+2 D． x=7

2． 以下結論正確的是（）.

A． 若x+3=y-7，則x=4

B． 若7y-6=5-2y，則7y+6=17-2y

C． 若0.25x=-4，則x=-1

D． 若8x=-8x，則8=-8

3． 下列說法：①若mx=my，則mx-my=0；②若mx=my，則x=y；③若mx=my，則mx+my=2my；④若x=y，則mx=my．其中正確的有（）.

A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個

4． 在某地抗洪時，救災小組用卡車將一堆石料運到圍堰龍口，第一次運了這堆石料的少 2 萬方，第二次運了剩下的多3萬方，此時還剩下12萬方. 若這堆石料共有x萬方，則可列方程為（）．

A． x-x-2-［x-x+2+3］=12

B． x-x-2-［x-x+2+3］=12

C． x-x-2-［x-x-3］=12

D． x-x-2-x+3=12

5． 已知x=2是方程ax-5x-6=0的解，則a=．

6． 某書城開展優(yōu)惠售書活動：凡一次性購書不超過200元的一律9折優(yōu)惠；一次性購書超過200元的，其中200元按9折算，超過200元的部分按8折算.某同學第一次購書付款72元，第二次去購書又享受到了優(yōu)惠. 他查看所買的書的定價，發(fā)現兩次共節(jié)省了34元，則這名學生第二次購書實際付款元．

7． 已知關于x的方程3m-x+x=m與3x-2=0的解相同，求ｍ的值.

8． 已知a、b、c、d為有理數，現規(guī)定一種新的運算：=ad-bc.當=18時，試求x的值.

1. A 2． B 3． C 4． A

5． 86． 204

7． 由 3x-2=0，解得x=.

把x=代入方程3（m-x）+x=ｍ，得3（ｍ-）+1=m.解得m=.

8． 依題意，得10-4（1-x）=18.解得x=3.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。