初中數(shù)學學業(yè)考試專題復習初探

初中數(shù)學學業(yè)考試專題復習是在完成了數(shù)學基本知識復習的基礎上，對數(shù)學思想方法的應用和解決問題的策略特定類型的問題解決方法進行專門概括、提煉和系列應用的復習教學.專題復習與基礎復習有聯(lián)系也有區(qū)別，基礎復習的重點是引導學生進行知識的再回顧與再組織，理解、掌握和積累數(shù)學基本知識的基本應用模式，訓練數(shù)學的基本技能，而專題復習的重點是數(shù)學思想方法和解決問題的策略；前者重視從實證的層次注重解決問題的細節(jié)，后者重視的是從方法論層次注重解決問題的宏觀計劃與程序，只要從方法上完成問題的條件與結論之間的邏輯連結，就可以認為已經(jīng)解決了問題.另一方面，數(shù)學基礎復習與專題復習又是相互交叉與相互聯(lián)系的，基礎復習是專題復習的基礎，在基礎復習中往往包含著數(shù)學思想方法的體驗與初步歸納，在專題復習中又往往需要引導學生回顧數(shù)學基礎知識和知識應用的基本模式，因此在基礎復習階段滲透數(shù)學思想方法和在專題復習中恰當?shù)丶骖檾?shù)學基礎知識是一種比較合理的復習策略.

1 數(shù)學思想方法和解決問題策略形成和發(fā)展的心理過程

1．1 數(shù)學思想方法形成和發(fā)展的心理過程

任何數(shù)學思想方法的學習，必須經(jīng)歷如下的過程：“解決具體問題——反思和總結——歸納與提煉——應用與發(fā)展”，學生不能從“告知”中體會和掌握數(shù)學思想方法，只能從體驗解決問題過程、反思和總結解決問題過程中產(chǎn)生數(shù)學思想方法.也就是說，學生是在研究自己的思考和解決問題的過程中產(chǎn)生數(shù)學思想方法，這種心理操作是屬于元認知的高級認知活動的范疇，從而是高級心理過程.這種學習活動既具有教育的高價值又具有復雜性,學生對數(shù)學思想方法的學習是從內隱的感知到外顯的描述再經(jīng)過練習變成內隱記憶的過程，是在師生的內隱知識與外顯知識相互交流和轉化中形成的^[1]，如方程思想的本質是用不同的含有字母的式子表示同一個量所形成的相等關系，學生必須經(jīng)歷建立方程（組）模型的過程，從中體驗建立方程（組）模型時的圖示分析法、表格分析法和變量關系分析法，體驗方程思想在數(shù)學不同領域、其它學科和生活中的應用，在學生具備了建立方程（組）模型的實踐經(jīng)驗和初步體驗的基礎上，歸納建立方程（組）模型的方法—歸納用方差思想解決問題的解題表^[2]，再經(jīng)過進行集中的系列訓練來鞏固和內化方程思想，最后結合函數(shù)模型的研究，把方程模型納入到函數(shù)模型體系中，實現(xiàn)方程思想的發(fā)展.

1．2 數(shù)學問題解決策略的形成和發(fā)展的心理過程

從認知心理學的角度可以把解決問題的策略分為算法和啟發(fā)式，采用算法策略可以保證問題的解決，但是卻需要大量的嘗試. 啟發(fā)法是人根據(jù)一定的經(jīng)驗，在問題空間內進行較少的搜索，以達到問題解決的一種方法.啟發(fā)法不能保證問題解決的成功，但這種方法比較省力.它有以下幾種策略：（1）手段——目的分析：就是將需要達到問題的目標狀態(tài)分成若干子目標，通過實現(xiàn)一系列的子目標最終達到總的目標；（2）逆向搜索：就是從問題的目標狀態(tài)開始搜索直至找到通往初始狀態(tài)的通路或方法；（3）爬山法：采用一定的方法逐步降低初始狀態(tài)和目標狀態(tài)的距離，以達到問題解決的一種方法.

波利亞在他的《數(shù)學的發(fā)現(xiàn)》一書中，提出了數(shù)學解題思維過程的正方形模型，^[3]如圖1. 在這個模型中，以問題結構為導向的知識動員與回顧、問題的重新表征、從問題結構中對數(shù)學基本原理的應用結構進行模式識別、對解決問題的思路進行合理的預見和進行“問題結構——原理”的選擇性聯(lián)想是促成問題解決的關鍵性心理操作.因此解決問題的策略來自于對數(shù)學問題的結構分析與數(shù)學原理性知識的聯(lián)想.羅增儒教授在對數(shù)學問題解決過程進行分析的基礎上，提出了解決數(shù)學問題的10種策略^[4] .

2 對初中數(shù)學學業(yè)考試專題復習的幾點建議

根據(jù)數(shù)學專題復習對象和復習要求的特殊性，對數(shù)學專題復習提出下面建議：

（1）設計合理的問題系列，在尋求問題的方法層次解決的過程中概括數(shù)學思想方法并進行應用思想方法解決問題的活動，促進學生進行數(shù)學思想方法的內化.如在分類討論思想的專題復習中，首先用數(shù)錢問題引導學生進行方法論層次的問題解決，再進行實證層次上的問題解決：

例1 如果你面對一堆人民幣，其中有100元、50元、20元、10元、5元、2元、1元面值，你怎樣用最快的速度清點出有多少元錢嗎？

這個問題具有難度低、生動形象的特點，是分類討論的典型問題，能幫助學生理解分類討論的思想的本質和應用價值.

在學生提出解決問題的方法后，讓學生思考分幾類，為什么分成這幾類，這樣可以讓學生通過思考發(fā)現(xiàn)“類別種數(shù)是由于人民幣的不同類別面值決定”，理解“問題對象具有不同的類別”是需要進行分類討論的原因.在進行初步感受的基礎上，思考下面兩個問題：

例2 如果x^a-2，則a=______,如果一個半徑為r的圓中有一條長為r的弦,那么這條弦所對的圓周角度數(shù)是______.

例3 如圖2，坐標平面上△ABO的三個頂點的坐標分別為A（-2，3），B（-1.8，0），O（0，0）；在這個平面上有點A′，使以A′、B、O為頂點的三角形與△ABO全等，求A′點的坐標.

這三個例題中,例1是由于對象本身是分類呈現(xiàn)的,因此需要對對象進行分類討論,例2是由于數(shù)學原理本身的分類表述所引起的分類討論,而例3是由于全等三角形的對應頂點不確定（對象運動）所引起的分類討論.通過對這三個問題解決過程的反思，抽象出應用分類討論思想解決問題的解題程序：

在學生完成對分類討論思想解題程序的概括的基礎上，進行具有典型性的系列應用：

例4 郵政部門規(guī)定：信函重100g以內（包括100g）每20g貼郵票0.8元，不足20g按20g計算；超過100g的，先貼郵票4元，超過100g的部分每100g加貼郵票2元，不足100g按100g計算.（1）小明寄一封信函貼了6元郵票，問這封信函有多重？

（2）如果要把九封重12g的信件分兩個信封寄出，每個信封重4g，請你設計寄信方案，使寄出這九封信件所貼的郵票總金額最少？

例5 如圖3所示，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，B的坐標為（5，0），M為等腰梯形OBCD底邊OB上一點，∠DMC=∠DOB=60°.

（1）求直線CB的函數(shù)解析式；（2）求點M的坐標；（3）∠DMC繞點M按順時針方向旋轉α（30°<α<60°）后，得到∠D1MC1（點D1，C1依次與點D，C對應），射線MD1交直線DC于點E，射線MC1交直線CB于點F，設DE=m，BF=n，求m于n的函數(shù)解析式.

通過對分類討論思想應用過程的進一步體驗，對應用思想方法的程序與規(guī)則進行再總結，使學生較好地把握分類討論思想.

(2)注意專題復習中解決問題策略、數(shù)學思想方法的層次性，合理把握方法與策略抽象的時機.解決問題的策略是對數(shù)學思想方法應用的再抽象，而數(shù)學思想方法體系內部也具有層次性，如方程思想與函數(shù)思想的關系，數(shù)學建模過程中需要應用方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結合思想和轉化思想等.要使學生建構起結構良好、聯(lián)系廣泛的數(shù)學思想方法與解決問題的策略體系，就需要在專題復習中進行有序的策略與方法抽象，合理把握策略與方法抽象的時機.

數(shù)學思想方法來源于問題結構分析和選擇合理的數(shù)學原理解決問題的過程，數(shù)學解決問題的策略來源于問題結構分析與選擇合理的思想方法解決問題的過程，這就需要以問題為載體，讓學生在解決不同層次的問題中進行數(shù)學思想方法和解決問題策略的歸納與抽象.數(shù)學抽象需要對象類別，抽象數(shù)學思想方法需要在結構一致性問題系列（數(shù)學結構相同而表述不同）和結構變異性問題系列（結構與表述不同而所用的思想方法相同）解決中進行抽象，在對解決問題的方法抽象過程中需要對思考過程進行自我解釋與自我總結.如在方程思想、函數(shù)思想和統(tǒng)計思想專題復習的基礎上，安排如下的數(shù)學建模思想的專題復習，可以引導學生在建立方程、函數(shù)、統(tǒng)計、幾何模型的基礎上概括數(shù)學建模的思想：

（一）創(chuàng)設應用模型解決問題的情境.在解決問題的過程中體驗和模型思想.

春節(jié)期間，小明和他的同學準備到淡竹原始森林風景區(qū)去旅游，下面是他們計劃旅游和旅游途中出現(xiàn)的問題，請大家?guī)椭鉀Q.

1. 要去旅游，首先要解決交通問題.從家里出發(fā)到風景區(qū)有30千米的路程，如果單獨乘公共汽車去，每人來往的車費需要20元，如果是包小客車（20座）車來回接送，則每輛車來回接送一次需要300元，請問，小明和他的同學應該選擇包車還是乘公共汽車去景點？

（1）引導學生用函數(shù)的模型解決本問題.

（2）引導學生對解決問題的過程進行總結和自我解釋.

（3）引導學生歸納利用函數(shù)模型解決實際問題的基本模式(如圖4）.

2. 出發(fā)哪天，小明數(shù)了數(shù)人數(shù)，發(fā)現(xiàn)有24人要去旅游，由于汽車不能超載，小明準備與3個同學一起乘出租汽車去景點，由于臨時叫車，在其他同學乘包車出發(fā)后，小明等了15分鐘，并與乘包車出發(fā)的同學約定好同時到達景點，如果出租汽車的平均速度是包車速度的1.5倍，請問：出租汽車的平均速度是多少？

（1）引導學生用方程的模型解決本問題.

（2）引導學生對解決問題的過程進行總結和自我解釋.

（3）引導學生歸納利用方程模型解決實際問題的基本模式（如圖5）.

3. 小明和他的同學進入景區(qū)后，在上山的路上發(fā)現(xiàn)有兩處臺階，這兩處臺階都有20級，這兩處臺階的每一級的高分別是：

A處臺階：有4級是22玞m；有5級是25玞m；有24玞m和26玞m高的臺階各3級；有22玞m和27玞m高的臺階各2級；還有一級是23玞m.

B處臺階：有5級是22玞m；有4級是27玞m，有21玞m和25玞m的臺階各3級；有26玞m的臺階和23玞m的臺階各2級；還有1級是30玞m.

你對這兩處臺階的平均每級高度和行人行走的舒適性有什么評價？

（1）引導學生用統(tǒng)計的模型解決本問題.

（2）引導學生對解決問題的過程進行總結和自我解釋.

（3）引導學生歸納利用統(tǒng)計模型解決實際問題的基本模式(如圖6）.

4. 如圖7，山里的景色的確美不勝收，走著走著，發(fā)現(xiàn)一塊石筍直插云霄，大家發(fā)出了陣陣驚嘆，小明靈機一動，提出了一個問題：這石筍有多高？（假設一段時間內石筍在陽光下的影子始終在同一直線上）.

小張思考了一下，說：只要大家在這里休息一小時，我就能大致估計出這石筍的高度，小張接著說，雖然我們走不到石筍的底部，但只要測量出現(xiàn)在石筍在陽光下的影子與一小時后石筍在陽光下的影子的差距，現(xiàn)在和一小時后我們自己的身高與影子的長，就可以計算出石筍的高度，你能根據(jù)小張的思路，設計出測量石筍高度的方案嗎？

（1）引導學生用函數(shù)、相似三角形和方程模型解決本問題.

（2）引導學生對解決問題的過程進行總結和自我解釋.

（3）引導學生歸納利用函數(shù)、相似三角形和方程模型解決實際問題的基本模式（如圖8）.

(二)概括數(shù)學建模思想.在對上述問題系列解決過程進行總結和自我解釋的基礎上，歸納利用數(shù)學模型思想解決問題的基本方法和基本模式.基本模式如圖9.

用數(shù)學建模思想解決問題的基本過程：

1.用數(shù)學方法（數(shù)、式子、圖形、表格）描述問題，建立數(shù)學模型（如數(shù)據(jù)模型、方程模型、不等式模型、函數(shù)模型、幾何模型等），把問題數(shù)學化.

2.用數(shù)學方法解決已經(jīng)建立的數(shù)學問題，得到數(shù)學問題的解.

3.解釋得到的數(shù)學問題的解的實際意義，根據(jù)問題的具體情境解釋結果的合理性.對自己解決問題過程進行總結、評價與反思，提煉數(shù)學思想方法.

(三)應用與拓展.（選擇應用各種數(shù)學模型解決實際問題的變異性樣例系列讓學生進行單獨解決，引導學生在數(shù)學建模思想指導下獨立解決實際問題.）

在專題復習中，應重視在問題結構分析與表征中進行解題定向與策略選擇的活動開展.數(shù)學問題結構指的是組成數(shù)學問題的要素及其相互關系，這種結構往往包含了解決問題的策略.

例6 設x₁，x₂，x₃，…,x₄₀是正整數(shù)，且x₁+x₂+x₃+…+x₄₀=58，求：x²₁+x²₂+x²₃+…+x²₄₀的最大值和最小值.

如果注意到本題中的40個數(shù)據(jù)的和與數(shù)據(jù)平方和的特殊結構，聯(lián)想到數(shù)據(jù)的和與平均數(shù)有聯(lián)系，而數(shù)據(jù)的平方和與數(shù)據(jù)的方差有聯(lián)系，就可以發(fā)現(xiàn)可以用數(shù)據(jù)的特征數(shù)分析的方法解決問題：設x₁，x₂，x₃，…,x₄₀的平均數(shù)

我們發(fā)現(xiàn)當方差最大或最小時，這40個數(shù)據(jù)的平方和也同時達到最大值和最小值.而當這40個數(shù)據(jù)中有39個為1，一個為19時，數(shù)據(jù)的方差最大，而當所有數(shù)據(jù)最接近[SX(]58[]40[SX)]時，方差最小，由于數(shù)據(jù)都是正整數(shù)，不可能等于[SX(]58[]40[SX)]，與[SX(]58[]40[SX)]最接近的數(shù)是1和2，所以當這些數(shù)據(jù)中只有1和2時，方差最小，設有k個1，則k+2（40-k）=58，k=22，所以當這些數(shù)據(jù)中有22個1，18個2時方差最小，從而求得數(shù)據(jù)平方和的最大值是400，最小值是94.

初中數(shù)學問題結構的基本關系的基本類型有結構交叉、結構隱含與結構映射，對于結構交叉的問題，需要在背景中尋找數(shù)學原理的基本結構，是條件與結論盡可能地集中到這個基本結構中，對于結構隱含的問題，需要分析問題結構的特殊性，尋找自己熟悉的結構，通過結構的復原（添加輔助元素）尋求解決問題的策略，對于結構影射的問題，則需要把問題改變表征方式，用建模和轉化的思想解決問題.

數(shù)學專題復習是數(shù)學思想和解決問題策略的集中概括與應用階段，是數(shù)學知識的綜合運用階段，在基礎復習中滲透數(shù)學思想方法和在專題復習中采用合理策略，讓學生經(jīng)歷從解題到思想方法再到解決問題策略的概括和應用過程，并對自己的解決問題過程進行反思和總結，這對學生解決問題能力的發(fā)展和數(shù)學素養(yǎng)的提升無疑是有益的.

ゲ慰嘉南

ぃ1］ 吳增生，周福群，朱明德. 初中數(shù)學課堂實踐與研究［玀］. 北京:北京藝術與科學電子出版社，2007.[ZK)]

ぃ2］［3］［4］ 羅增儒. 數(shù)學解題學引論［玀］. 西安：陜西師范大學出版社，2001，63，29，342-425.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>