滬港兩地?cái)?shù)學(xué)教科書中的“勾股定理”

朱　哲

1 問題的提出

ス垂啥ɡ碓詡負(fù)衛(wèi)錁哂蟹淺Ｖ匾的地位，是解三角形的重要基礎(chǔ)，也是整個(gè)平面幾何的重要基礎(chǔ)，其在現(xiàn)實(shí)生活中也具有普遍的應(yīng)用性. 在數(shù)學(xué)教科書中，勾股定理一般出現(xiàn)在八年級(jí)，而八年級(jí)被認(rèn)為是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要發(fā)展階段，也即具體思維向形式化思維轉(zhuǎn)變的時(shí)期. 所以可以說，勾股定理教學(xué)也處于學(xué)生數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)折階段. 但另一方面，勾股定理的教學(xué)卻始終是一個(gè)難點(diǎn). 雖然勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，但是讓學(xué)生能夠在思路上比較“自然地”想到證明方法是困難的；而且，從讓學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)發(fā)現(xiàn)過程的角度講，要想讓學(xué)生“再發(fā)現(xiàn)”勾股定理更是難上加難.^[1]所以有人說，看一個(gè)國(guó)家的數(shù)學(xué)教育水平，只要看看勾股定理，他們的教材是怎樣編的，他們的教師是怎樣教的，就可略知一二.

ザ雜詮垂啥ɡ淼慕萄В黃榮金博士從上海和香港所做的19個(gè)勾股定理教學(xué)的現(xiàn)場(chǎng)實(shí)錄，以及由第三次國(guó)際數(shù)學(xué)和科學(xué)重復(fù)錄象研究項(xiàng)目提供的12個(gè)勾股定理教學(xué)錄象（包括實(shí)錄文稿）中，選取澳大利亞、捷克、中國(guó)香港和上海四地勾股定理的課堂教學(xué)進(jìn)行研究，其研究表明澳大利亞是把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)（已知）告訴學(xué)生，只字未提證明，捷克和香港雖然介紹了多種證明方法，但事實(shí)上只是通過演示手段，讓學(xué)生直觀地確認(rèn)所發(fā)現(xiàn)的關(guān)系. 文^[2]表明滬港兩地教師在教學(xué)中對(duì)勾股定理證明的處理有許多不同之處：香港課堂主要通過直觀或具體的活動(dòng)來確認(rèn)定理的真實(shí)性，而上海教師至少介紹一種數(shù)學(xué)證明，而且四分之三多的教師介紹 2 種以上方法；上海教師比香港教師更加緊扣教科書，而香港教師使用的教科書可以是不同的；香港教師總是將探索問題的過程或證明的步驟程序化.

ソ淌νǔＲ讕萁炭剖槔唇行教學(xué)，教科書的不同很有可能影響到教師的教學(xué). 由此，本文從微觀層面來考察滬港兩地?cái)?shù)學(xué)教科書“勾股定理”部分的編寫. 上海的教科書，我們選取華東師范大學(xué)出版社《數(shù)學(xué)》（事實(shí)上，此套教材在內(nèi)地被廣泛使用），而香港教科書我們選取玂xford University Press的《Exploring Mathematics》^[3].

2 《數(shù)學(xué)》和《獷xploring Mathematics》中的“勾股定理”

オ《數(shù)學(xué)》第十四章為《勾股定理》，包括14.1《勾股定理》和14.2《勾股定理的應(yīng)用》，其中14.1由《直角三角形三邊的關(guān)系》和《直角三角形的判定》兩小節(jié)組成. 《Exploring Mathematics（2^ndEdition）2B》第10章為《勾股定理（Pythagoras Theorem）》，該章有三節(jié)為勾股定理的內(nèi)容：10.2《勾股定理(Pythagoras Theorem)》，由《直角三角形三邊的關(guān)系（Relations between the Three Sides of a Right-angled Triangle）》、《介紹勾股定理（Introduction to Pythagoras Theorem）》和《數(shù)學(xué)的美妙：勾股定理的證明（The Beauty of Mathematics:Proofs of Pythagoras Theorem）》三小節(jié)組成；10.3《勾股定理的應(yīng)用（Applications of Pythagoras Theorem）》，由《簡(jiǎn)單平面圖形的應(yīng)用（Applications to Simple Plane Figures）》和《現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用（Real Life Applications）》兩小節(jié)組成；10.4《勾股定理的逆定理及應(yīng)用（Converse of Pythagoras Theorem and Its Applications）》. （10.1和10.5分別為平方根和無理數(shù). ）

ケ疚拇庸垂啥ɡ淼姆⑾幀⒐垂啥ɡ淼鬧っ鰲⒐垂啥ɡ淼哪娑ɡ硨凸垂啥ɡ淼撓τ盟母齜矯娑粵街紙?zhí)科书叫薪榻B，而這里的介紹涉及對(duì)兩種教科書的簡(jiǎn)單比較.

2.1 勾股定理的發(fā)現(xiàn)

ァ妒學(xué)》通過三個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 第48頁安排了“試一試”：

ゲ飭磕愕牧嬌櫓苯僑角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：

根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、b、c之間的關(guān)系.

ケ收呷銜，這個(gè)活動(dòng)設(shè)計(jì)得并不十分合理. 因?yàn)橐粔K任意的三角板，它的三邊長(zhǎng)很可能并非整數(shù). 讓學(xué)生由三邊長(zhǎng)分別為3、4、5或者5、12、13的直角三角形猜想勾股定理，就已經(jīng)不是十分容易的事（比如，學(xué)生容易得到3+5=2×4而不易得到3²+4²=5²；也有學(xué)生由3²=4+5和5²=12+13猜想a²=b+c），更何況來猜想三個(gè)非整數(shù)之間的平方關(guān)系. 第49頁安排了“試一試”，通過數(shù)或計(jì)算三個(gè)正方形的面積來尋找直角三角形三邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系. 這個(gè)活動(dòng)比前面那個(gè)活動(dòng)目標(biāo)明確、步驟清晰、難度降低，學(xué)生容易找到要求的關(guān)系. 第50頁又安排了“做一做”. 由這三個(gè)活動(dòng)概括出勾股定理.

ァ丟獷xploring Mathematics》的處理方式似乎與《數(shù)學(xué)》有些類似，事實(shí)上又有很大的區(qū)別. 教科書安排了兩個(gè)“班級(jí)探險(xiǎn)（獵lass Exploration）”，第一個(gè)活動(dòng)是出示一個(gè)直角三角形，要學(xué)生測(cè)量三邊的長(zhǎng)度，然后計(jì)算三邊的平方，再思考a²+b²與c²的關(guān)系. 第二個(gè)活動(dòng)是讓學(xué)生填表格，已知直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，8和6，15和8，畫出圖形，測(cè)量斜邊，計(jì)算a²、b²和c²，再確定a²、b²和c²之間的關(guān)系. 很顯然，這兩個(gè)活動(dòng)的目標(biāo)很明確，而且臺(tái)階已經(jīng)鋪好，學(xué)生只要依次一步步做下去，就可以得到答案.

プ苤，兩種教科書都通過若干個(gè)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)勾股定理. 從難度上講，《獷xploring Mathematics》比《數(shù)學(xué)》要小，因?yàn)橐呀?jīng)把“探索問題的過程或證明的步驟程序化”.

2.2 勾股定理的證明

ァ妒學(xué)》在勾股定理的證明這一環(huán)節(jié)安排了“試一試”：將四個(gè)完全相同的直角三角形拼成一個(gè)正方形，然后計(jì)算邊長(zhǎng)為c的正方形面積，通過運(yùn)算得到勾股定理，這是一種代數(shù)方法. 拼法有兩種，第一種拼法（圖1）有運(yùn)算c²=(a+b)²-4×1/2ab=a²+b²，第二種拼法（圖2）有運(yùn)算c²=(a-b) ²+4×1/2ab=a²+b². 這里的圖2是歷史上趙爽“弦圖”的簡(jiǎn)圖，教科書隨后在“讀一讀”中對(duì)其做了簡(jiǎn)單介紹.

此外，第54頁習(xí)題14.1的第1題其實(shí)是勾股定理的總統(tǒng)證法，第58頁的“讀一讀”其實(shí)是勾股定理的“風(fēng)車證法”，而本章的最后安排“課題學(xué)習(xí)”：勾股定理的“無字證明”. 可以說，《數(shù)學(xué)》對(duì)勾股定理的證明非常重視，通過不同的活動(dòng)形式展現(xiàn)給學(xué)生；而且更多地，不是直接告訴學(xué)生方法，而是引導(dǎo)學(xué)生自己去探索，去查找資料主動(dòng)獲取證明方法.

《Exploring Mathematics》在《數(shù)學(xué)的美妙：勾股定理的證明》這一小節(jié)中，給出兩種“簡(jiǎn)單而優(yōu)雅的證明（two simple and elegant proofs）”. 證明1通過四個(gè)直角三角形拼成正方形的兩種不同擺放形式（圖3），從直觀上驗(yàn)證定理（沒有代數(shù)運(yùn)算），這是一種幾何方法. 證明2與《數(shù)學(xué)》“試一試”中的第二種方法一致，通過代數(shù)運(yùn)算來證明；而且教科書在證明2旁邊也放了一則“歷史注解（Historical Note）”簡(jiǎn)單介紹趙爽的弦圖及其證明方法. 不過除了這兩種證明方法，教科書中沒有再出現(xiàn)其他的方法.

總之，兩種教科書對(duì)勾股定理證明的處理有一致也有區(qū)別之處. 《數(shù)學(xué)》“試一試”中的兩種方法都是代數(shù)方法，而《獷xploring Mathematics》采用一種幾何方法和一種代數(shù)方法. 而且，兩書的第二種方法都與趙爽的弦圖有關(guān)，都配有簡(jiǎn)要的數(shù)學(xué)史知識(shí). 此外，與《獷xploring Mathematics》不同，《數(shù)學(xué)》還涉及其他證明方法，其中第58頁“做一做”中的“風(fēng)車證法”也是一種幾何方法.

2.3 勾股定理的逆定理

ザ怨垂啥ɡ淼哪娑ɡ?！稊?shù)學(xué)》用古埃及人畫直角的方法來引入；而《Exploring Mathematics》則開門見山，提出問題：交換勾股定理的條件與結(jié)論，“如果a²+b²=c²，那么∠C=90°”，這個(gè)結(jié)論成立嗎？然后學(xué)生探索，驗(yàn)證，得到結(jié)論. 《獷xploring Mathematics》也用“歷史注解”的形式簡(jiǎn)單介紹了古埃及人畫直角的方法.

2.4 勾股定理的應(yīng)用

ザ雜詼ɡ淼撓τ茫兩種教科書都給出了一定數(shù)量的例題和習(xí)題. 我們來看兩書中的典型題目. 《數(shù)學(xué)》14.2《勾股定理的應(yīng)用》例1：

ト繽14.2.1（圖略），一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20玞m，高AB為4玞m，BC是上底面的直徑. 一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程.

ケ冉嫌幸饉嫉氖牽這一題目我們可以在內(nèi)地其他版本的教科書中看到. 比如，人民教育出版社《數(shù)學(xué)》第十八章《勾股定理》復(fù)習(xí)題的第8題就是類似一題；北京師范大學(xué)出版社《數(shù)學(xué)》八上第一章《勾股定理》第3節(jié)就以“螞蟻怎樣走最近”為標(biāo)題，研究這個(gè)“螞蟻問題”. 為什么這些教科書都采用這一題目，它有什么深刻背景嗎？事實(shí)上，它是由一道歷史名題改編而來的，原題為：

如圖4，在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30、12、12英尺的長(zhǎng)方體房間里，一只蜘蛛在一面墻的中間離天花板1英尺的A處，蒼蠅則在對(duì)面墻的中間離地面1英尺的B處，蒼蠅是如此地害怕，以至于無法動(dòng)彈. 試問，蜘蛛為了捉住蒼蠅需要爬行的最短距離是多少？（提示：它少于42英尺）

フ庖弧爸┲胗氬雜”問題最早出現(xiàn)在1903年的英國(guó)報(bào)紙上，它是獺.E.杜登尼（Henry Dudeney，1847-1930）最有名的謎題之一. 杜登尼是19世紀(jì)英國(guó)著名的謎題創(chuàng)作者，他創(chuàng)作的這一問題對(duì)全世界難題愛好者的挑戰(zhàn)，長(zhǎng)達(dá)四分之三個(gè)世紀(jì).^[4]這就不難明白，教科書為什么對(duì)這“螞蟻問題”偏愛有加了.

コ例1外，《數(shù)學(xué)》還安排3個(gè)例題. 在例2下面有一“做一做”，其實(shí)是證明勾股定理的“風(fēng)車證法”，與上下文似乎沒有太大的聯(lián)系，放在這一節(jié)里并不合理.

ァ丟獷xploring Mathematics》中例題和習(xí)題給人的第一感覺是，離學(xué)生的生活很近. 比如《現(xiàn)實(shí)生活應(yīng)用》這一小節(jié)一開始安排了“班級(jí)探險(xiǎn)”：

ゼ偕枰凰倚〈離開大嶼山的梅窩碼頭，航行2.8公里達(dá)到喜靈洲碼頭. 然后左轉(zhuǎn)90度并航行3.1公里到達(dá)坪洲碼頭. 尋找一種可以獲知梅窩碼頭到坪洲碼頭的直線距離的方法.

ゴ笥焐絞竅愀鄣囊桓齙海ǖ纖鼓嶗衷熬徒ㄔ謖飧齙荷希，喜靈洲和坪洲是大嶼山附近的兩個(gè)小島，它們都是香港學(xué)生熟悉的. 所以這一題設(shè)計(jì)得非常好，它取材于學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活，給人一種“身邊的數(shù)學(xué)”的感覺，富有生活氣息. 把現(xiàn)實(shí)中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)化和數(shù)學(xué)地思維去解決問題. 解決了這一問題，又能讓學(xué)生感覺到數(shù)學(xué)不僅是有趣的而且還是有用的.

ピ儔熱紓同一小節(jié)的例7，大意是說玃atrick從學(xué)校到公交車站要穿過一個(gè)長(zhǎng)124米寬93米的足球場(chǎng)，那么他走最短路線要走多遠(yuǎn). 其后練習(xí)10獵的14題又把場(chǎng)景放到一個(gè)籃球場(chǎng)，獶avid沿邊跳，獼ohn沿對(duì)角線跳，然后問他們跳的路程差. 10.4《勾股定理的逆定理及應(yīng)用》中的例9關(guān)注兩位學(xué)生的家與學(xué)校的距離，這樣的情境讓學(xué)生感覺到很親切. 相比而言，《數(shù)學(xué)》第58頁的例2，卡車通過工廠的大門，這樣的問題情境就不是十分貼近學(xué)生的生活.

プ苤，《數(shù)學(xué)》取材于歷史數(shù)學(xué)名題，《獷xploring Mathematics》在問題情境的設(shè)計(jì)上下足工夫，兩書各具特色. 此外，從習(xí)題數(shù)量上看，《獷xploring Mathematics》明顯要比《數(shù)學(xué)》多，而且每一個(gè)例題都標(biāo)明它屬于水平1還是水平2，其后的習(xí)題也按水平1和水平2分開編排；《數(shù)學(xué)》除章末的復(fù)習(xí)題按難度和水平分成A、B、C三組，其他的例題、練習(xí)和習(xí)題沒有標(biāo)注其對(duì)應(yīng)的水平.

3 兩種教科書引發(fā)的思考

ネü對(duì)《數(shù)學(xué)》和《獷xploring Mathematics》在“勾股定理”內(nèi)容的考察、比較和分析，也引起了我們對(duì)一些問題的思考.

3.1 弱化對(duì)定理的發(fā)現(xiàn)

ザ雜詼ɡ淼姆⑾鄭筆者認(rèn)為可以做弱化處理，沒有必要讓學(xué)生在此太花精力. 引導(dǎo)學(xué)生探究而發(fā)現(xiàn)勾股定理，處理不當(dāng)，容易導(dǎo)致學(xué)生盲目的探究. 在實(shí)際教學(xué)中，教師雖有探究式教學(xué)的理念，但在師生行為的設(shè)計(jì)上存在著困惑：通過度量直角三角形三條邊的長(zhǎng)，計(jì)算它們的平方，再歸納出a²+b²=c²，由于得到的數(shù)據(jù)不總是整數(shù)，學(xué)生很難猜想出它們的平方關(guān)系，因此教師常常把勾股定理作為一個(gè)事實(shí)告訴學(xué)生. 如何處理這一困惑，一條途徑就是教科書直接把勾股定理呈現(xiàn)在學(xué)生面前，而更多地把空間留給介紹與勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)史料上，借此拓寬學(xué)生的視野. 第二條途徑是參考顧泠沅、王潔等人的工作：運(yùn)用“腳手架”理論，通過“工作單”進(jìn)行鋪墊，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一種教學(xué)協(xié)助，幫助學(xué)生完成在現(xiàn)有能力下對(duì)高認(rèn)知學(xué)習(xí)任務(wù)的難度的跨越. 這樣的處理也具有一定的可行性. 不過，筆者更傾向于第一條途徑，弱化發(fā)現(xiàn)，而強(qiáng)化證明、重視應(yīng)用，把重點(diǎn)放到其后定理的證明和應(yīng)用上，這樣處理也許對(duì)學(xué)生的思維更有利.

3.2 呈現(xiàn)多種證明方法

ノ頤強(qiáng)吹健丟獷xploring Mathematics》只介紹了兩種證明方法，而且第一種更多的是借助直觀的幾何驗(yàn)證；而《數(shù)學(xué)》則涉及到好幾種證明方法. 這也可以從某種程度上解釋前文所提及的兩地課堂教學(xué)上的差別. 筆者認(rèn)為，對(duì)于定理的發(fā)現(xiàn)，我們可以做弱化處理，而證明則應(yīng)該強(qiáng)化. 一方面，勾股定理的證明可以訓(xùn)練學(xué)生精致的數(shù)學(xué)思維；另一方面，勾股定理的證明方法是體現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)的極好題材. 正如前文所述，勾股定理的證明方法據(jù)說超過400種，而且不同的方法與不同的文化、不同種族的思維方式緊緊聯(lián)系在一起. 我們認(rèn)為數(shù)學(xué)教科書中呈現(xiàn)多元文化數(shù)學(xué)的內(nèi)容是數(shù)學(xué)教科書編寫的發(fā)展方向. 通過對(duì)不同時(shí)期、不同地域數(shù)學(xué)成果及其思想方法的比較，可以使學(xué)生明白，數(shù)學(xué)并不只屬于某個(gè)民族、某種文化. 數(shù)學(xué)教科書和數(shù)學(xué)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生尊重、分享、欣賞、理解其他文化下的數(shù)學(xué)，借此拓寬學(xué)生的視野，加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，培養(yǎng)開放的心靈. 那么，在《勾股定理》中，教科書應(yīng)以適當(dāng)?shù)姆绞匠尸F(xiàn)若干種經(jīng)典證法. 比如歐幾里得《原本》的證明方法就很值得向?qū)W生介紹，與趙爽的方法做一對(duì)比，學(xué)生能體會(huì)到古希臘人對(duì)理性的追求；對(duì)相關(guān)背景做介紹，學(xué)生意識(shí)到不同的文明產(chǎn)生了不同的數(shù)學(xué). 歐幾里得方法可能對(duì)學(xué)生而言比較難，不是那么容易理解，教師可以做適當(dāng)?shù)奶幚?，比如借助?jì)算機(jī)做動(dòng)態(tài)演示，一般學(xué)生還是可以接受的.

3.3 問題情境的設(shè)計(jì)應(yīng)貼近學(xué)生的生活

チ街紙?zhí)科书哆h(yuǎn)ɡ淼撓τ枚擠淺Ｖ厥. 學(xué)習(xí)了勾股定理，學(xué)生必須會(huì)用這個(gè)定理，否則學(xué)習(xí)它就沒有多大意義了. 教科書都安排了不少例題和習(xí)題. 在筆者看來，《獷xploring Mathematics》的最大特色就在于問題情境的創(chuàng)設(shè)上. 數(shù)學(xué)問題本身就來自于生活，數(shù)學(xué)方法應(yīng)應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活. 數(shù)學(xué)并不遠(yuǎn)離學(xué)生的現(xiàn)實(shí)世界，相反，它就在我們身邊. 《獷xploring Mathematics》中的例題和習(xí)題，就取材于學(xué)生周圍的世界，學(xué)校、自己家的房子、球場(chǎng)、公交車站、居住的島嶼，這些都是學(xué)生熟悉的場(chǎng)景. 這些熟悉的場(chǎng)景放進(jìn)數(shù)學(xué)題里，學(xué)生就有一種親切感. “學(xué)數(shù)學(xué)”不僅是“做數(shù)學(xué)”，而且還是“玩數(shù)學(xué)”，讓學(xué)生在一種輕松愉快的情境中解決數(shù)學(xué)問題，而這個(gè)過程是充滿樂趣的. 教科書中的數(shù)學(xué)問題不能單純圍繞數(shù)學(xué)而編寫、杜撰. 比如說，我們?cè)趦?nèi)地某教科書中看到這樣一個(gè)問題：

デ看蟮奶ǚ縭溝靡桓旗桿在離地面9米處折斷倒下，旗桿頂部落在離旗桿底部12米處. 旗桿折斷之前有多高？

フ飧鑫侍饃杓撇⒉豢蒲?、簜b恚因?yàn)闄M向的“12米”是容易測(cè)量的，那么縱向的“9米”又是如何得到的呢？如果可以通過直接測(cè)量的話，那么折斷部分的15米應(yīng)該也不難測(cè)量（唯一難測(cè)量的情況就是尺子的長(zhǎng)度大于12米而小于15米）. 所以，它看似是來自于一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的問題，實(shí)則是很典型的“為數(shù)學(xué)而問題”. 從數(shù)學(xué)角度講，它也許是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、完美的，但它卻遠(yuǎn)離了學(xué)生的現(xiàn)實(shí)生活. 香港教科書在問題情境創(chuàng)設(shè)上對(duì)我們很具啟發(fā)和借鑒意義.

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