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    平移、旋轉(zhuǎn)中的五種關(guān)系

    2008-12-23 08:33:50王麗敏
    關(guān)鍵詞:對(duì)應(yīng)點(diǎn)四邊形平行

    王麗敏

    平移與旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象是現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛存在的現(xiàn)象,是現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)變化的最簡(jiǎn)單的形式之一,平移與旋轉(zhuǎn)變換都是圖形變換.

    平移與旋轉(zhuǎn)是在“軸對(duì)稱”的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步研究圖形的另兩種基本變換,是義務(wù)教育階段“空間與圖形” 部分的主要內(nèi)容,也是下一章學(xué)習(xí)平行四邊形的工具,更為將來研究圖形的全等及其性質(zhì)奠定了良好的基礎(chǔ).

    學(xué)習(xí)平移和旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵是要善于處理五種關(guān)系.

    一、平移中的五種關(guān)系

    1. 靜與動(dòng)的關(guān)系

    圖形的平行移動(dòng),簡(jiǎn)稱為平移.平移可以看做某一物體或基本的平面圖形沿著一定的方向平行移動(dòng)的過程.如圖1,△ABC平移到△A′B′C′的位置,由此我們不難看出:雖然△ABC和△A′B′C′都是靜止的,但△ABC在移動(dòng)的過程中,一直是沿著PQ的方向平行運(yùn)動(dòng)的.運(yùn)動(dòng)是平移的前提,運(yùn)動(dòng)后的靜止圖形△A′B′C′是平移后的結(jié)果.運(yùn)動(dòng)是為結(jié)果的靜止服務(wù)的.

    2. 位置關(guān)系

    平移也可以看做物體(圖形)運(yùn)動(dòng)后的最終位置與原先位置的關(guān)系.

    (1)圖形之間的位置關(guān)系:平移中圖形的位置變化是由平移的方向和距離決定的,平移的方向和距離是平移的兩個(gè)要素.

    如圖1,△ABC沿著PQ的方向平移了3 cm得到△A′B′C′,PQ的方向和平移的距離3 cm確定了△A′B′C′的位置.

    (2)線段之間的位置關(guān)系:平移后的圖形與原圖形的對(duì)應(yīng)線段具有平行的位置關(guān)系.如圖1,A′B′∥AB,B′C′∥BC,A′C′∥AC.除此之外,對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線都互相平行,AA′∥BB′∥CC′,對(duì)應(yīng)線段之間的距離為平移的距離,在圖1中對(duì)應(yīng)線段之間的距離為3 cm.

    3. 對(duì)應(yīng)關(guān)系

    (1)對(duì)應(yīng)點(diǎn):△ABC與△A′B′C′中,點(diǎn)A與點(diǎn)A′是對(duì)應(yīng)點(diǎn),點(diǎn)B與點(diǎn)B′對(duì)應(yīng),點(diǎn)C與點(diǎn)C′對(duì)應(yīng). △ABC與△A′B′C′有無數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),如線段AB的中點(diǎn)與線段A′B′ 的中點(diǎn)也是對(duì)應(yīng)點(diǎn).

    (2)對(duì)應(yīng)線段:線段AB與線段A′B′是對(duì)應(yīng)線段,線段BC與線段B′C′是對(duì)應(yīng)線段,線段AC與線段A′C′是對(duì)應(yīng)線段.

    (3)對(duì)應(yīng)角:∠ABC與∠A′B′C′是對(duì)應(yīng)角,∠BCA與∠B′C′A′是對(duì)應(yīng)角,∠BAC與∠B′A′C′是對(duì)應(yīng)角.

    一般情況下對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角都是成對(duì)出現(xiàn)的.

    4. 相等關(guān)系

    平移前后的兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)線段相等,大小相等(即面積相等). 如AB=A′B′,∠AB C=∠A′B′C′.

    5. 形狀關(guān)系

    平移后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發(fā)生變化,即形狀完全相同.

    因此,平移具有如下特征:

    (1)平移后的圖形與原來的圖形的對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等,圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化.

    (2)圖形平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等.

    需要注意的是:在平移的過程中,對(duì)應(yīng)線段可能在一條直線上;對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段也可能在同一條直線上.

    對(duì)以上特征我們可以簡(jiǎn)單地概括為:“一變,兩不變,三對(duì)應(yīng),兩相等,兩平行”.即平移前后,一變:圖形的位置發(fā)生了改變;兩不變:形狀和大小沒有發(fā)生改變;三對(duì)應(yīng):對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段;兩相等:對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)線段相等; 兩平行:對(duì)應(yīng)線段平行、對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行.

    例1下列運(yùn)動(dòng)形式不是平移的是().

    (1)電梯內(nèi)人的升降,(2)火車在平直的軌道上運(yùn)動(dòng),(3)鐘表上指針的運(yùn)動(dòng),(4)奧運(yùn)五環(huán)旗圖案(不考慮顏色)的形成過程,(5)電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng).

    A. (1)(4) B. (2)(3)

    C. (3)(5) D. (2)(4)

    解析: (1)中電梯內(nèi)人的升降可看做是人在上下平行移動(dòng),(2) 可看做火車在平直的軌道上平行移動(dòng),(3)中指針是繞著鐘表軸心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),(4)中圖案可以看做是其中一個(gè)圓環(huán)沿著某一方向平行移動(dòng)而形成的,(5)中電風(fēng)扇的轉(zhuǎn)動(dòng)可以看做是扇葉繞著其軸心旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).所以答案應(yīng)為C.

    溫馨提示: 判斷一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)是不是平移,就要看該物體是否沿著一定的方向平行移動(dòng).

    例2作圖題.(不要求寫作法)

    如圖2,在10×10的方格紙中,有一個(gè)格點(diǎn)四邊形ABCD(即四邊形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上),在給出的方格紙中,畫出四邊形ABCD向下平移5格后的四邊形A1B1C1D1.

    解析:首先將四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)向下平移5格,即畫出4個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn).然后對(duì)應(yīng)連接4個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),畫出原四邊形的4條對(duì)應(yīng)線段,即可得到平移后的四邊形.如圖3.

    溫馨提示: 平移作圖的關(guān)鍵就是要確定平移的方向和平移的距離,然后找出關(guān)鍵點(diǎn),按要求平移關(guān)鍵點(diǎn),最后連接關(guān)鍵點(diǎn),畫出平移的圖形.

    二、旋轉(zhuǎn)中的五種關(guān)系

    1. 靜與動(dòng)的關(guān)系

    在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)沿著某一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角度稱為旋轉(zhuǎn)角.由此我們可知:旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)的過程中保持不動(dòng),而圖形是繞著旋轉(zhuǎn)中心運(yùn)動(dòng)的.我們不妨稱之為“一靜一動(dòng)”.如圖4,△ABC繞著點(diǎn)A沿著逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ADE的位置,旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)A靜止不動(dòng),只是△ABC發(fā)生了運(yùn)動(dòng).

    2. 位置關(guān)系

    旋轉(zhuǎn)既可以表示物體(圖形)運(yùn)動(dòng)的過程,也可以表示物體(圖形)運(yùn)動(dòng)后最終的位置與原先位置的關(guān)系,其位置由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角決定.如圖4,△ADE和△ABC的位置關(guān)系是由旋轉(zhuǎn)中心A、逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)角∠CAE=82°決定的.

    3. 對(duì)應(yīng)關(guān)系

    從圖4可以看到點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D,AB旋轉(zhuǎn)到AD,∠BAC旋轉(zhuǎn)到∠DAE.即點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)D,線段AB的對(duì)應(yīng)線段是線段AD,∠BAC的對(duì)應(yīng)角是∠DAE.由此,我們可以看出△ABC和△ADE的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有無數(shù)個(gè),每個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了82°;對(duì)應(yīng)線段有3條;對(duì)應(yīng)角有3個(gè).我們不妨將對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)線段稱之為“三對(duì)應(yīng)”.

    4. 相等關(guān)系

    圖形中每一點(diǎn)繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)的角度都相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)線段相等,對(duì)應(yīng)角相等,圖形的大小相等.我們將這五種相等關(guān)系稱之為“五相等”.

    5. 形狀關(guān)系

    旋轉(zhuǎn)后的圖形形狀與原圖形的形狀相比沒有發(fā)生變化.

    為了使同學(xué)們更好地掌握旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識(shí),我們將一個(gè)旋轉(zhuǎn)中心、三個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系和五個(gè)相等關(guān)系概括為“一中心,三對(duì)應(yīng),五相等”;將位置發(fā)生了變化和形狀沒有發(fā)生變化概括為“一變一不變”.

    例3(2008年·廣州)將圖5按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的是().

    解析: A是順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的;B是順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°后得到的;C未進(jìn)行旋轉(zhuǎn);D是逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的.故應(yīng)選A.

    溫馨提示: 要認(rèn)真審題,仔細(xì)觀察,莫將A、D混淆.旋轉(zhuǎn)除確定旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度外,更要確定旋轉(zhuǎn)的方向.

    例4如圖6,△ABC是等腰直角三角形,等邊△ADC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CEB的位置.請(qǐng)回答:

    (1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)?

    (2)旋轉(zhuǎn)角度是多大?

    (3)如果點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了什么位置?

    解析: 旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角是圖形旋轉(zhuǎn)的兩個(gè)主要決定因素.

    (1)△ADC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達(dá)△CEB的位置,C點(diǎn)保持靜止不動(dòng),所以旋轉(zhuǎn)中心是C點(diǎn).

    (2)D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到了B點(diǎn)的位置,D點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是B點(diǎn),線段CD的對(duì)應(yīng)線段是線段CB,因?yàn)椤螦CB=90°,∠ACD=60°,則旋轉(zhuǎn)角∠DCB=150°,所以圖形旋轉(zhuǎn)了150°.

    (3)線段AD的對(duì)應(yīng)線段是線段EB,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),所以經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)F轉(zhuǎn)到了線段BE的中點(diǎn)G的位置.

    溫馨提示: (1)旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形有無數(shù)個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn),如對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)對(duì)應(yīng),對(duì)應(yīng)角平分線與對(duì)邊的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)等;(2)圖形上每個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度都是相同的.

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。

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