“平行線的識別與特征”復(fù)習(xí)點(diǎn)撥

周太軍　劉樂愛

平行線的識別與特征是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，其地位相當(dāng)重要.為了讓同學(xué)們更好地掌握平行線的識別與特征，建議從以下兩個方面來復(fù)習(xí).

一、掌握平行線的識別與特征

（一）平行線的識別：

1.平行線的主要識別方法：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

2.平行線識別的拓展：（1）利用定義；（2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線平行，即a∥b，c∥b，則a∥c；（3）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線平行，即a⊥b，c⊥b，則a∥c.

3.如果從角的關(guān)系（同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）得到的結(jié)論是兩直線平行，那么用平行線的識別方法找平行條件.

例1如圖1，請你添加一個關(guān)于角的條件，使得直線AB與CD平行.

分析：要找AB與CD平行的條件，因為AB與CD被圖中的其他直線所截，分析它們與截線構(gòu)成的角的關(guān)系，找出一個符合平行的條件即可.

解：要使AB∥CD，只需下列條件之一成立即可.（1）以AD為截線，∠D+∠BAD=180°；（2）以AC為截線，∠CAB=∠ACD；（3）以BC為截線，∠DCB+∠B=180°；（4）以CF為截線，∠DCF=∠BFC或∠DCF+∠AFC=180°；（5）以AE為截線，∠DEA=∠BAE或∠AEC+∠BAE=180°.

評注：（1）解決此問題的關(guān)鍵是確定截線，然后找出符合平行條件的角.（2）這是一個探究題設(shè)、結(jié)果不唯一的開放性問題，解答這類問題，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力.

（二）平行線的特征：

兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

例2如圖2，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A∶∠ABC=2∶1，求∠ADB的度數(shù).

解：因AD∥BC，所以∠A+∠ABC=180°.因∠A∶∠ABC=2∶1，所以∠A=2∠ABC.所以∠ABC=60°.因BD平分∠ABC，所以∠DBC=1/2∠ABC=30°.因AD∥BC，所以∠ADB=∠DBC=30°.

評注：解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜圖形中找出可應(yīng)用平行線的特征的基本圖形.當(dāng)以AB為截線時，∠A與∠ABC為同旁內(nèi)角；當(dāng)以DB為截線時，∠ADB與∠DBC為內(nèi)錯角.我們一定要學(xué)會識圖，正確利用平行線的特征，再結(jié)合已知條件得出結(jié)論.

二、理解平行線的識別與特征的區(qū)別和聯(lián)系

1.平行線的識別與特征的相同點(diǎn)：（1）幾何圖形相同：都是兩直線被第三條直線所截時形成的“三線八角”；（2）兩者都以兩直線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角為主線，又都以平行、相等或互補(bǔ)為關(guān)鍵詞；（3）兩者都以“三線八角”內(nèi)容為基礎(chǔ)，又都是“三線八角”內(nèi)容的提高.

2.平行線的識別與特征的區(qū)別：（1）因果關(guān)系不同：識別以角（同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角）相等或互補(bǔ)為“因”，以兩直線平行為“果”，且是一“因”致一“果”.（2）幾何內(nèi)涵不同：平行線的識別闡明的是兩直線在什么條件下平行，是識別直線平行的依據(jù)；平行線的特征闡明的是“三線八角”中的兩直線平行將會有怎樣的結(jié)果.（3）幾何概念的排列結(jié)構(gòu)不同：平行線的識別是由角的相等或互補(bǔ)關(guān)系推出直線的平行關(guān)系，是從角到直線的推導(dǎo)過程；平行線的特征是由直線的平行關(guān)系推導(dǎo)出角的相等或互補(bǔ)關(guān)系，是由直線到角的推導(dǎo)過程.（4）幾何特征與度量不同：平行線的識別是由角的度量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）推出直線的位置關(guān)系（平行），而平行線的特征則相反.（5）應(yīng)用不同：當(dāng)已知“三線八角”中的三類角有相等或互補(bǔ)關(guān)系時，可根據(jù)平行線的識別得出兩條直線平行的結(jié)論；當(dāng)已知兩條直線平行時，可由平行線的特征得出相關(guān)的角相等或互補(bǔ)的結(jié)論.

3.聯(lián)系：（1）平行線的識別和特征的條件和結(jié)論是互逆的形式.（2）在同一幾何題的推理或解答中，往往既要利用平行線的識別，又要利用平行線的特征.常常是由平行線的識別得出的結(jié)論，又被當(dāng)做平行線的特征的條件利用，反之亦然.（3）同位角相等，內(nèi)錯角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，這四者之間存在下面的推理關(guān)系.

平行線的識別與特征的綜合應(yīng)用有如下兩種形式：（1）角與角的數(shù)量關(guān)系?圯線與線的位置關(guān)系?圯角與角的數(shù)量關(guān)系；（2）線與線的位置關(guān)系?圯角與角的數(shù)量關(guān)系?圯線與線的位置關(guān)系.同時在綜合應(yīng)用兩者時，要正確區(qū)別兩者的題設(shè)和結(jié)論，切忌混淆和亂用平行線的識別和特征.

例3如圖3，CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，∠EDC=∠GFB，求證：DE∥BC.

分析：要證明DE∥BC，只需證DE、BC被AB截得的同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)；或只需證DE、BC被AC截得的同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)；或只需證DE、BC被DC截得的內(nèi)錯角相等.而由已知可知，只需證∠EDC=∠DCB即可.

證明：因CD⊥AB，F(xiàn)G⊥AB，所以FG∥DC.所以∠GFB=∠DCB.因∠EDC=∠GFB，所以∠EDC=∠DCB.所以DE∥BC.

評注：本題的分析思路是要證DE∥BC，只需證∠EDC=∠DCB，這叫“從已知，看未知”，如何才能得到∠EDC=∠DCB呢？只好從已知中尋找，這叫“從已知，找可知”.當(dāng)需知變成可知時，問題就解決了.這是一種分析問題和解決問題的方法，請同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會并熟悉這種證題方法.本題在證明過程中既運(yùn)用了平行線的識別，又應(yīng)用了平行線的特征.

思考題如圖4，AB∥CD，同位角∠MEB和∠MQD的平分線EF、QH有何位置關(guān)系？為什么？

提示：要判斷EF、QH的位置關(guān)系，只要判斷EF、QH被MN截得的同位角∠MEF、∠MQH之間的數(shù)量關(guān)系即可.