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    一個不等式的再討論

    2008-12-09 03:32丁勝利
    中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年9期
    關(guān)鍵詞:等價正數(shù)雙邊

    丁勝利

    文[1]建立了如下的不等式

    定理([1]) 若a,b是正數(shù),則

    ab+12﹟a-b|≥a+b2≥a2+b22-2-12?|a-b| (1),并提出了如下的

    猜測 若a,b是正數(shù),則

    ab≥a2+b22-2-12|a-b| (2)

    本文指出猜測(2)是不成立的,并用直觀的方法推廣不等式(1)的右端,即建立如下的

    定理 若a,b是正數(shù),則

    2-2?a2+b2≥a+b2+2-12|a-b|≥a2+b22 (3)

    證明:不等式(3)等價于確定

    類似的,不等式(2)等價于

    aba2+b2+2-12|a-ba2+b2|-12≥0.(6)

    利用(5)中的變換,(6)式左端轉(zhuǎn)化為

    玞osθ玸inθ+2-12|玞osθ-玸inθ|-12

    =玸in2θ2+2-121-玸inθ-12

    =12t+2-121-t-12△g(t),0

    例如:取a=104,b=1,這時,ab-a2+b22+2-12|a-b|=104-108+12+2-12|104-1|<100-7071+2500<0.

    參考文獻(xiàn)

    [1]宋慶.兩個優(yōu)雅的雙邊不等式.中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2008(1).

    注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”

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