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      兩個(gè)不等式猜想的證明

      2008-12-09 03:32:30孫艷梅劉才華
      中學(xué)數(shù)學(xué)研究 2008年10期
      關(guān)鍵詞:同理分母整理

      孫艷梅 劉才華

      猜想1 在斜△ABC中,有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵≥3.

      這是宋慶老師在文[1]末提出的猜想.此猜想不成立,構(gòu)造反例如下:在△ABC中,A=B=π6,C=2π3,有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=3-23=-3<0.

      筆者通過進(jìn)一步研究,得到如下:

      命題 在斜△ABC中,(1)若03;(2)若B=π3或C=π3,則1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=π3;(3)若0

      證明:(1)由0

      玸in獴+π3-A-C2<012[玞os(B-C)-玞os(A-π3)]>02玞os(B-C)-玞os獳-3玸in獳>02玞os(B-C)+玞os(B+C)-3?玸in獳>03玞os獴玞os獵+玸in獴玸in獵>3玸in獳蒔玸in獴玸in獵+3玞os獴玞os獵玸in獳>3

      蒔玸in獴玸in獵+3玞os獴玞os獵玸in獴玞os獵+玞os獴玸in獵>3蒔玹an獴玹an獵+3玹an獴+玹an獵>3蒔玹an獴玹an獵-1玹an獴+玹an獵+4玹an獴+玹an獵>31玹an獳+4玹an獴+玹an獵>3.

      (2)若B=π3,則A+C=2π3,1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=1玹an(2π3-C)+33+玹an獵=3玹an獵-13+玹an獵+43+玹an獵=3+3玹an獵3+玹an獵=3.同理C=π3時(shí),也有1玹an獳+4玹an獴+玹an獵=3.

      (3)由條件得玸in(π3-C)玸in(B-π3)>0,仿(1)的證明可得1玹an獳+4玹an獴+玹an獵<3.

      猜想2 若xi>0,i=1,2,…,n,且∑ni=1xi=1,則∑ni=111+xn-1猧≤nnnn-1+1 (1).

      這是田彥武老師在文[2]中提出的猜想,此猜想成立,下面給出

      證明:先證明:對于任意02

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