有關圖形旋轉的知識歸納

沈占立

一、本章知識分析

旋轉包括圖形的旋轉，以及特殊的旋轉——中心對稱.本章和以前的“圖形平移”、“軸對稱變換”一起構成圖形變換的系統(tǒng)，它們揭示了平面幾何圖形相互聯(lián)系的基本規(guī)律.

本章的重點是掌握旋轉的基本規(guī)律，進而掌握中心對稱的基本特征和性質，并能根據(jù)這些特征和性質作出簡單圖形.在掌握旋轉基本規(guī)律的基礎上，對實際圖形中的旋轉關系進行分析.判斷圖形的對稱性是本章重要的知識點，也是中考的熱點.

二、概念歸納整理

1. 旋轉

（1） 定義：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.

旋轉中心、旋轉角度、旋轉方向，這三點是旋轉的三要素.

（2） 旋轉的性質：

① 互相對應的兩點到旋轉中心的距離相等；

② 互相對應的兩點與旋轉中心連線的夾角等于旋轉角；

③ 旋轉不改變圖形的形狀和大小.

（3） 關于旋轉的性質也可這樣理解：經(jīng)過旋轉，圖形上的每一點都繞旋轉中心沿相同的方向轉動了相同的角度；任意相互對應的兩點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，相互對應的兩點到旋轉中心的距離都相等.

（4） 確定圖形旋轉前后對應元素的方法：

① 旋轉角：首先找出對應點A和A′，然后分別與旋轉中心連接，即連接OA和OA′，以旋轉中心為頂點的∠AOA′是旋轉角；

② 對應直線或線段：先找出兩對對應點，比如A與A′，B與B′，然后連接AB和A′B′，AB與A′B′就是對應直線（或線段）；

③ 找對應圖形：將一個組合圖形旋轉后，確定這個組合圖形中的某個小圖形A的對應圖形，這是一個難點.可以這樣操作：先在圖形A上確定若干個關鍵點，然后在旋轉后的圖形上找出對應點，依次連接這些點（如果線已存在，只確定就可以了），就可以得到A的對應圖形.

2. 中心對稱

（1） 定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱.

（2） 中心對稱的性質：

① 關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心平分；

② 關于中心對稱的兩個圖形是全等圖形.

3. 中心對稱圖形

（1） 定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形完全重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形.

（2） 中心對稱與中心對稱圖形是兩個不同的概念，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系.區(qū)別：中心對稱是指兩個圖形的關系，中心對稱圖形是指一個圖形具有某種性質.聯(lián)系：把一個中心對稱圖形的兩部分看成兩個圖形，則它們成中心對稱；若把中心對稱的兩個圖形看成一個整體，則成為一個中心對稱圖形.

三、解題方法總結

1. 旋轉作圖的步驟：

（1） 確定旋轉中心及旋轉方向、旋轉角；

（2） 找出圖形中的關鍵點；

（3） 將圖形中的關鍵點與旋轉中心連接起來，然后按旋轉方向分別將它們旋轉一個旋轉角，得到此關鍵點的對應點.

（4） 按原圖形的順序連接對應點，得到的圖形就是旋轉后的圖形.

2. 尋找兩個成中心對稱的圖形的對稱中心的方法：連接所有對應點相交于一點，該點即為對稱中心.根據(jù)兩條直線的交點的唯一性，只要連接兩對對應點，這兩條直線的交點即為對稱中心.

3. 判斷兩個圖形是否成中心對稱的方法：可先用排除法判斷.如果兩個圖形不全等，就不可能成中心對稱.如果兩個圖形全等，再進行第二步（要注意，兩個圖形全等，也并不一定能成中心對稱）：連接兩個圖形的對應點的線段是否經(jīng)過同一點，并且被該點平分.