中考數(shù)學(xué)中關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的最值問(wèn)題

鄧昌濱

在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某點(diǎn)在給定條件運(yùn)動(dòng)時(shí)，求某幾何量的最大值或最小值問(wèn)題，即最值問(wèn)題. 這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高. 它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力、空間想象能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)和各種能力有更大的促進(jìn)作用，本文僅以2008年江蘇中考?jí)狠S題為例進(jìn)行分析，供參考.

1 利用函數(shù)的性質(zhì)求最值

ネ1

例1 （2008年連云港）如圖1，現(xiàn)有兩塊全等的直角三角形紙板Ⅰ、Ⅱ，它們兩直角邊的長(zhǎng)分別為1和2. 將它們分別放置于平面直角坐標(biāo)系中的△AOB，△COD處，直角邊OB，OD在x軸上. 一直尺從上方緊靠?jī)杉埌宸胖茫尲埌澧裱刂背哌吘壠叫幸苿?dòng). 當(dāng)紙板Ⅰ移動(dòng)至△PEF處時(shí)，設(shè)PE，PF與OC分別交于點(diǎn)M，N，與x軸分別交于點(diǎn)G，H.

ィ1）求直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

ィ2）當(dāng)點(diǎn)P是線段AC（端點(diǎn)除外）上的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，試探究：①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)是否總相等？請(qǐng)說(shuō)明理由；②兩塊紙板重疊部分（圖中的陰影部分）的面積S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解 （1）由直角三角形紙板的兩直角邊的長(zhǎng)為1和2，知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（1，2），（2，1）. 易得直線AC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3.

(2)①點(diǎn)M到x軸的距離h與線段BH的長(zhǎng)總相等. 因?yàn)辄c(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，1），所以，直線OC所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=12x. 又因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AC上，所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a,3-a). 過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)K，則有MK=h. 因?yàn)辄c(diǎn)M在直線OC上，所以有M(2h,h). 因?yàn)榧埌鍨槠叫幸苿?dòng)，易得Rt△PHG∽△Rt△PFE,有GHPH=EFPF=12. 故GH=12PH=12(3-a). 所以O(shè)G=OH-GH=a-12(3-a)=32(a-1). 故G點(diǎn)坐標(biāo)為(32(a-1),0). 又點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a,3-a),可得直線PG所對(duì)的函數(shù)關(guān)系式為y=2x+(3-3a). 將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得h=4h+(3-3a). 解得h=a-1. 而B(niǎo)H=OH-OB=a-1，從而總有h=BH.

ア謨散僦，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2a-2,a-1)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(a,12a).

S=S△ONH-S△OMG=12NH×OH-12OG×h=12×12a×a-12×3a-32×(a-1)=-12a2+32a-34=-12(a-32)2+38. 當(dāng)a=32時(shí)，S有最大值，最大值為38.

S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32,32).

評(píng)注 解此類題的關(guān)鍵是分析運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程，用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a的代數(shù)式表示描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把動(dòng)點(diǎn)視為靜點(diǎn)參與運(yùn)算，列出關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，證明線段相等，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性求得最值問(wèn)題.

2 利用軸對(duì)稱變換求最值

ネ2

例2 （2008年南通）如圖2，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E.

ィ1）求證：AB?AF=CB?CD；

ィ2）已知AB=15cm,BC=9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn). 設(shè)DP=xcm(x>0),四邊形BCDP的面積為ycm2.

ア僨髖關(guān)于x的函數(shù)的關(guān)系式；

ア詰眡為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)y的值.

證明 （1）因?yàn)锳D=CD，DE⊥AC，所以DE垂直平分AC，所以AF=CF，∠DFA=∠DFC=90°，∠DAF=∠DCF. 因?yàn)椤螪AB=∠DAF+∠CAB=90°,∠CAB+∠B=90°，所以∠DCF=∠DAF=∠B,易得△DCF∽△ABC,所以CDAB=CFCB,即CDAB=AFCB. 所以AB?AF=CB?CD.

解 （2）①因?yàn)锳B=15，BC=9，∠ACB=90°，所以AC=AB2-BC2=152-92=12,所以CF=AF=6，所以y=12(x+9)×6=3x+27(x>0).

ア諞蛭狟C=9（定值），所以△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB+PC最小. 由（1）可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，所以PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小. 顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB+PA最小. 此時(shí)DP=DE，PB+PA=AB. 由（1），∠ADF=∠FAE，∠DFA=∠ACB=90°，得△DAF∽△ABC. EF∥BC,得AE=BE=12AB=152,EF=92， 所以AF∶BC=AD∶AB,即6∶9=AD∶15，所以AD=10. Rt△ADF中，AD=10，AF=6，所以DF=8. 所以DE=DF+FE=8+92=252.

ニ以當(dāng)x=252時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)y=1292.

評(píng)注 本題可轉(zhuǎn)化為直線上一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離和最小問(wèn)題，一般我們先用“對(duì)稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，然后根據(jù)“兩點(diǎn)之間的線段最短”，從而找到所需的最短路線.

3 利用動(dòng)點(diǎn)的范圍求最值

例3 （2008年徐州）如圖31，一副直角三角板滿足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°.

操作 將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC交于點(diǎn)Q.

探究1 在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

ィ1）如圖32，當(dāng)CEEA=1時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并給出證明.

ィ2）如圖33，當(dāng)CEEA=2時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由.

ィ3）根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)CEEA=m時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為，其中m的取值范圍是（直接寫出結(jié)論，不必證明）.

ね31圖32圖33

探究2 若CEEA=2,AC=30cm,連結(jié)PQ，設(shè)△EPQ的面積為S(cm2),在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中：

ィ1）S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，說(shuō)明理由.

ィ2）隨著S取不同的值，對(duì)應(yīng)△EPQ的個(gè)數(shù)有哪些變化？求出相應(yīng)S的取值范圍.

解 探究1ィ1）作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，連結(jié)BE，因?yàn)椤螦BC=90°,所以∠MEN=90°. 因?yàn)锳B=BC，CE=EA，所以BE為∠ABC的平分線，所以EM=EN. ①若點(diǎn)M、P重合，顯然EP=EQ. ②若點(diǎn)M、P不重合，因?yàn)椤螹EP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以Rt△EMP≌Rt△ENQ. 所以EP=EQ. ィ2）作EM⊥AB于點(diǎn)M，作EN⊥BC于點(diǎn)N，因?yàn)椤螦BC=90°，所以EM∥BC，所以△EMP∽△ENQ,所以EMBC=AEAC=13. 同理ENAB=23. 因?yàn)锳B=BC，所以EMEN=12. ①若點(diǎn)M、P重合，顯然EPEQ=EMEN=12. ②若點(diǎn)M、P不重合，因?yàn)椤螹EP=∠NEQ=90°-∠PEN，所以△EMP∽△ENQ,所以EPEQ=EMEN=12. 綜上，EPEQ=12. (3)由上可得EPEQ=1m,設(shè)EF=x，則DE=AC=3x,當(dāng)E在邊AC上由C向A移動(dòng)時(shí)，要確保EF與BC有交點(diǎn)Q，EQ最大時(shí)，EQ⊥BC，此時(shí)EQ=EF=x,EC=2x,EA=AC-EC=3x-2x,所以此時(shí)m=CEEA=2x3x-2x=6+2,故0

ヌ驕2ィ1）設(shè)EQ=x，則S△EPQ=12EP?EQ=14EQ2=14x2,其中102≤x≤103.故如圖36，當(dāng)x=EN=102cm時(shí)，S△EPQ取得最小值50cm2;如圖35，當(dāng)x=EF=103cm時(shí)，S△EPQ取得最大值75cm2.

ィ2）如圖35，當(dāng)x=EB=510cm時(shí)，S△EPQ=62.5cm2；故當(dāng)50

S=50時(shí)圖34 S=62.5時(shí)圖35 S=75時(shí)圖36

評(píng)注 本題以學(xué)生熟悉的三角板為背景，通過(guò)學(xué)生觀察、動(dòng)手操作、猜想、驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，此題的關(guān)鍵是將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)EQ的最值問(wèn)題，滲透了化歸、分類、數(shù)形結(jié)合、特殊化諸多數(shù)學(xué)思想方法，全面考查了學(xué)生的空間想象能力，幾何變換，探索問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.