例談一次函數(shù)問題的多解性

皇甫軍

在近年來的各地中考中，考查一次函數(shù)知識的題目的類型也悄然發(fā)生著變化.而一次函數(shù)的多解問題，由于綜合性強，有利于考查學(xué)生思維的周密性和靈活性，備受命題者青睞.現(xiàn)舉例說明，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時參考.

例1已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（1，5），且與y軸交點的坐標(biāo)為（0，6）.

（1）求函數(shù)的解析式.

（2）設(shè)函數(shù)圖象與x軸交于點M，試在圖象上求一點N，使S△MON=9.

分析：由已知條件，利用待定系數(shù)法易求出此函數(shù)的解析式.而在此一次函數(shù)的圖象上求一點N，使S △MON=9，要分兩種情況，即點N在第一象限或在第四象限內(nèi)，不能出現(xiàn)漏解.本題充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

解：（1）由題意可知：5=k+b，6=b.解得k=-1，b=6.故所求的函數(shù)的解析式為y=-x+6.

（2）易知M（6，0）.設(shè)N點的坐標(biāo)為（x，y），則S△MON= OM·｜y｜.因OM=6，故 ·6·｜y｜=9.

∴y=3或y=-3.

當(dāng)y=3時，x=3；當(dāng)y=-3時，x=9.

∴點N的坐標(biāo)為（3，3）或（9，-3）.如圖1所示.

例2已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（0，-2），且與兩條坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積為3.求這個一次函數(shù)的解析式.

分析：設(shè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.由一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（0，-2），可得b=-2.又根據(jù)函數(shù)圖象與兩條坐標(biāo)軸圍成的直角三角形的面積為3，可確定一個關(guān)于k 的方程，從而求出函數(shù)解析式.

解：設(shè)這個一次函數(shù)的解析式為y=kx+b.

因函數(shù)的圖象經(jīng)過點P（0，-2），則代入有b=-2.于是y=kx-2.

令y=0，得x= .所以這個一次函數(shù)的圖象與x軸的交點為 ，0.

由題意知 ·｜-2｜· =3，故k=± .

∴這個一次函數(shù)的解析式為y= x-2或y=- x-2.

點評：由面積公式得 ·｜-2｜· =3，一定要注意這里的 不可寫為 ，因為并不知道k是正是負(fù).這也是解這類與面積有關(guān)的問題時一定要注意的.

例3已知y+b與x+1成正比例（其中b是常數(shù)），且比例系數(shù)是k.

（1）證明：y是x的一次函數(shù).

（2）若這個一次函數(shù)中y隨x的增大而增大，且點P（b， k）與點Q1，- 關(guān)于原點對稱，求這個一次函數(shù)的解析式.

分析：本題的第（1）問易證.而對于第（2）問，由于點P與點Q關(guān)于原點對稱，根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)規(guī)律，可得點P與點Q的縱、橫坐標(biāo)均互為相反數(shù)，因此可確定b和k的值.

解：（1）由題意，y+b=k（x+1），故y=kx+k-b.所以y是x的一次函數(shù).

（2）因點P（b， k）與點Q1，- 關(guān)于原點對稱，故b=-1，k=±1.

故一次函數(shù)的解析式為y=x+2或y=-x.又y隨x的增大而增大，故y=x+2為所求.

例4已知一次函數(shù)y=kx+b中，自變量x的取值范圍是-2≤x≤6，相應(yīng)的函數(shù)的取值范圍是-11≤y≤9.求此函數(shù)的解析式.

分析：由一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，知k有兩種情況：①k>0；②k<0.如圖2.若在解題過程中只考慮k>0的情況，就會造成漏解.（下轉(zhuǎn)第31頁）

解：本題分兩種情況討論.

（1）當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大.x=-2時，y=-11；x=6時，y=9.

所以，代入得-2k+b=-11，6k+b=9.于是k= ，b=-6.

∴所求的函數(shù)解析式為y= x-6.

（2）當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小.x=-2時，y=9；x=6時，y=-11.

所以，代入得-2k+b=9，6k+b=-11.于是k=- ，b=4.

∴所求的函數(shù)解析式為y=- x+4.

綜上所述，此函數(shù)的解析式為y= x-6或y=- x+4.

點評：本題中求得的兩個解析式中的“k”互為相反數(shù)，這是這類題的一個規(guī)律，而不僅僅是巧合.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文