點(diǎn)擊不等式的基本性質(zhì)

喻俊鵬

不等式是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一．而不等式的基本性質(zhì)則是不等式的靈魂．因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要著重注意以下幾個(gè)方面．

一、正確理解基本性質(zhì)的含義

1． 不等式的基本性質(zhì)1：在不等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變．這里的整式包含單獨(dú)的一個(gè)數(shù)、字母以及由字母和數(shù)組成的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性質(zhì)2：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性質(zhì)3：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向要改變．對(duì)此性質(zhì)中加黑點(diǎn)的詞的含義要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，重點(diǎn)理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，因此，在運(yùn)用性質(zhì)2和性質(zhì)3時(shí)，不等式兩邊所乘以（或除以）的同一個(gè)數(shù)（或式子）不能為0．否則，不等式的性質(zhì)不成立．

二、靈活運(yùn)用基本性質(zhì)解題

1． 直接運(yùn)用

例1 利用不等式的性質(zhì)，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，則a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，運(yùn)用基本性質(zhì)1，兩邊同減去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以應(yīng)該填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，運(yùn)用基本性質(zhì)2，兩邊同乘以k2，得k2x＞k2y．所以應(yīng)該填“＞”．

（3）因m＞n，運(yùn)用基本性質(zhì)3，兩邊同乘以－，得－m ＜ －n．所以應(yīng)該填“＜”．

例2已知a＜0＜b，則下列式子中錯(cuò)誤的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因?yàn)閍＜0＜b，由基本性質(zhì)1，得a＋c＜b＋c．由基本性質(zhì)3，得－99a＞－99b．所以A、D都正確．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性質(zhì)2，得＜ ．故C也正確．

由于c為任意實(shí)數(shù)，因此，當(dāng)c＝0時(shí)，ac＜bc不成立．所以B是錯(cuò)誤的.應(yīng)選B．

2． 逆向應(yīng)用

例3 已知關(guān)于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化為x＜1的形式，求k的取值范圍．

解析：由題設(shè)條件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化為x＜1，知此時(shí)不等號(hào)的方向改變了．根據(jù)基本性質(zhì)3，說(shuō)明不等式的兩邊同除以的k－2 008必為負(fù)數(shù)．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要記住“一變兩不變”：性質(zhì)1和性質(zhì)2中不等號(hào)的方向不變，性質(zhì)3中不等號(hào)的方向改變．

<\192.168.0.129本地磁盤(pán) (d)王玲霞數(shù)據(jù)八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大08年1-2期版式+圖jjgg.TIF>[想一想，練一練]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，則9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，則ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1個(gè)B． 2個(gè) C． 3個(gè)D． 4個(gè)

3． 若關(guān)于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化為y＞2的形式，求m的取值范圍．

參考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文