利用頻數(shù)分布直方圖解決實(shí)際問(wèn)題

彭世平

人們常用統(tǒng)計(jì)表或統(tǒng)計(jì)圖來(lái)簡(jiǎn)明、直觀、形象地表示一組數(shù)據(jù).常見(jiàn)的統(tǒng)計(jì)圖有條形統(tǒng)計(jì)圖、折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖和頻數(shù)分布直方圖.由于直方圖實(shí)際上是用矩形的面積表示頻數(shù)，故當(dāng)矩形的寬相等時(shí)，可以用矩形的高表示頻數(shù).頻數(shù)分布直方圖能夠顯示各組數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布情況，易于顯示各組頻數(shù)的差別，所以我們?cè)谏钪谐Ｓ盟鼇?lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題.

例1 八（2）班某一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77.

數(shù)學(xué)老師按10分的組距分段，統(tǒng)計(jì)每個(gè)分?jǐn)?shù)段出現(xiàn)的頻數(shù)，填入頻數(shù)分布表，并繪制頻數(shù)分布直方圖如圖1.

（1） 請(qǐng)把頻數(shù)分布表及頻數(shù)分布直方圖補(bǔ)充完整．

（2） 請(qǐng)說(shuō)明哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多，哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最少.

（3） 請(qǐng)你幫老師統(tǒng)計(jì)一下這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的及格率（60分及以上為及格）及優(yōu)秀率（90分及以上為優(yōu)秀）.

解析：這是學(xué)生身邊的生活情景，由頻數(shù)與頻率的關(guān)系可直接解答.

（1） 頻數(shù)分布表中69．5～79．5分?jǐn)?shù)段的頻數(shù)是10，89．5～99．5分?jǐn)?shù)段的頻率為0．125．補(bǔ)充頻數(shù)分布直方圖如圖2．

（2） 由頻數(shù)分布表或直方圖易知79．5～89．5分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多，49．5～59．5分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最少.

（3） 及格率：×100％＝95％；優(yōu)秀率：×100％＝12．5％.

例2 某數(shù)學(xué)老師將本班學(xué)生的身高數(shù)據(jù)（均為整數(shù)厘米）交給甲、乙兩位同學(xué)，要求他們各自獨(dú)立地繪制一幅頻數(shù)分布直方圖.甲繪制的圖如圖3所示，乙繪制的圖如圖4所示.經(jīng)檢查確認(rèn)，甲繪制的直方圖是正確的，乙在整理數(shù)據(jù)與繪圖過(guò)程中均有個(gè)別錯(cuò)誤.

（1） 問(wèn)：該班有多少學(xué)生？

（2） 某同學(xué)身高為164 cm．他說(shuō)：“我們班上比我高的人不超過(guò)．”他的說(shuō)法正確嗎？

（3） 請(qǐng)指出乙在整理數(shù)據(jù)或繪圖過(guò)程中所存在的一個(gè)錯(cuò)誤.

解析：（1） 由頻數(shù)分布直方圖可知，全班共有5＋10＋15＋20＋10＝60（人）．

（2） 他的說(shuō)法正確．理由：觀察圖3知身高超過(guò)164 cm的只有15人，于是有＝， 因此，他的說(shuō)法是正確的.

（3） 此題答案不唯一，如：在整理數(shù)據(jù)時(shí)，漏了一個(gè)數(shù)據(jù)，總?cè)藬?shù)少1人；或所繪制的圖中，153．5～157．5和161．5～165．5這兩個(gè)小組所對(duì)應(yīng)的矩形高度不正確.

【總結(jié)】頻數(shù)分布直方圖是利用矩形面積的大小來(lái)反映頻數(shù)的大小的．我們?cè)诮鉀Q與此相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí)常常要用到以下幾個(gè)等量關(guān)系：①各小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)；②各小組的頻率之和等于1；③各組組距相等，即每個(gè)矩形的寬應(yīng)相等；④各個(gè)矩形的高表示該組頻數(shù)；⑤頻數(shù)＝頻率×數(shù)據(jù)總數(shù).