美國與我國數(shù)學(xué)教材中關(guān)于“函數(shù)”概念教學(xué)之比較研究

俞　昕

我國的高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革正在如火如荼的進(jìn)行著，從全球視野與國際交流的觀點(diǎn)來看，我們的教學(xué)改革應(yīng)放眼世界，需要在平等交流與相互溝通的基礎(chǔ)上健康發(fā)展.筆者從教學(xué)前輩處得到一本現(xiàn)行美國的高中數(shù)學(xué)教材，筆者仔細(xì)翻閱了教材，發(fā)現(xiàn)與我國現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)新課程存在相同點(diǎn)，但更值得研究的是，它們之間又存在很多方面的差異，教材的布局、順序、教學(xué)的方式方法等等，這些都引起了筆者很大的興趣.“函數(shù)（Functions）”是我國高中數(shù)學(xué)中一個貫穿始終的重要概念，在美國的教材中它也扮演著重要的角色，所以筆者選擇“函數(shù)”作為比較對象.

本文旨在就美國與我國教材中關(guān)于“函數(shù)”部分的教學(xué)情況進(jìn)行比較研究，從中尋找異同點(diǎn)，為我們正在進(jìn)行的高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供一定的參考價值，同時以期待獲得一些關(guān)于函數(shù)概念教學(xué)的值得我們借鑒的經(jīng)驗(yàn).

1 “函數(shù)”的教材處理與布局

我國的數(shù)學(xué)教材中是通過“在初中我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念，并且知道可以用函數(shù)描述變量之間的依賴關(guān)系.現(xiàn)在我們將進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)及其構(gòu)成要素.下面先看幾個實(shí)例……”作為函數(shù)教學(xué)的引言；給出“函數(shù)”的集合形式定義，研究初中里學(xué)過的函數(shù)的定義域和值域；介紹區(qū)間的概念；最后通過兩個例題來強(qiáng)化學(xué)生對函數(shù)的理解.

在美國的教材中，一開始就明確指出了Objectives(目標(biāo))：（1）Determine Whether a Relation Represents a Function(判斷給出的關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系)；（2）Find the Value of a Function(求出函數(shù)值)；（3）Find the Domain of a Function(求出函數(shù)的定義域)；（4）Identifythe Graph of a Function(分辨函數(shù)的圖象)；（5）Obtain Information from or about the Graph of a Function(從函數(shù)的圖象得到信息).然后給出提示：A relation is a correspondence between two sets. If x and y are two elements in these sets and if a relation exists between x and y, then we say that x corresponds to y or that y depends on x, and we write x→y. We may also write x→y as the ordered pair (x,y).(兩個集合之間存在這樣一種對應(yīng)關(guān)系.如果x和y分別是這兩個集合中的兩個元素，并且在x和y之間存在著一種聯(lián)系，那么我們可以說由x得到相應(yīng)的y或者說y由x得到，我們可以記作x→y.我們也可以把x→y記作有序數(shù)對(x,y)). 接著教材就通過13個Examples來逐步闡述函數(shù)的概念和本質(zhì)，并且逐一向?qū)W生展示應(yīng)該如何達(dá)到教學(xué)與學(xué)習(xí)的目標(biāo).在這13個Examples中有些是通過敘述的形式，有些是通過問答的形式，從不同的角度來揭示“函數(shù)”這個重要的概念，并且占用了很大的篇幅.

筆者比較兩個教材對“函數(shù)”概念教學(xué)的總體處理，發(fā)現(xiàn)以下幾點(diǎn)區(qū)別：（1）美國教材中對“函數(shù)”概念的處理從篇幅上講明顯多于我國的教材.總共通過13個舉例來逐層講解函數(shù)概念，每個例子都有詳細(xì)的解說過程，在幾個例子后還有一些階段性小結(jié).我國的教材在給出函數(shù)概念后設(shè)計(jì)了兩個例題，一個是求函數(shù)的定義域，求函數(shù)值；一個是判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù).在中間穿插了三個“思考”，第一個思考是讓學(xué)生總結(jié)函數(shù)有什么特征，第二個思考是研究反比例函數(shù)的定義域與值域，第三個思考是讓學(xué)生比較研究初中和高中函數(shù)的兩個定義.（2）我國的教材中在給出了函數(shù)的概念后穿插的給出“區(qū)間”的概念，而在美國的教材中，“區(qū)間”的概念在之前的章節(jié)中就已經(jīng)介紹了，因此在講解函數(shù)概念時就已經(jīng)可以拿來使用了.這種處理方法筆者覺得還是比較可取的，因?yàn)椤皡^(qū)間”的概念本身比較獨(dú)立，可以提前至集合概念之后講解，而在函數(shù)概念的講解時就不必要騰出空間來介紹“區(qū)間”，可以對函數(shù)概念再進(jìn)行深入的剖析.（3）在美國的教材中可以使用繪圖計(jì)算器來研究函數(shù)圖象.我國的教材中雖然在某些內(nèi)容已經(jīng)引進(jìn)計(jì)算器的使用，但在函數(shù)圖象的繪制上尚還沒有引進(jìn)繪圖計(jì)算器，我們教師在平時的備課中經(jīng)常會使用幾何畫板來繪制函數(shù)的圖象，筆者覺得在必要的時候也可以向?qū)W生滲透計(jì)算機(jī)繪圖的方法.

2 “函數(shù)”概念的引入

我國的教材中給出三個實(shí)例，讓學(xué)生分析、歸納三個實(shí)例，發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn).通過讓學(xué)生思考、探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)的特點(diǎn)，隨后教材就給出函數(shù)的概念.美國的教材中對函數(shù)概念引入的處理與我國有些不同.Example 1 就是An Example of a Relation. 實(shí)例給出了四個學(xué)生與他們的生日之間的一種對應(yīng)關(guān)系.

首先是通過上面這樣的框圖對應(yīng)關(guān)系讓學(xué)生感受函數(shù)是一種對應(yīng)關(guān)系.Often, we are interested in specifying the type of relation (such as an equation) that exists between the two variables. For example, the relation between the revenue R resulting from the sale of x items selling for $10 each may be expressed by the equation R=10x. If we know how many items have been sold, then we can calculate the revenue by using the equation R=10x. This equation is an example of a function.在給出一些實(shí)例后教材給出the definition of a function: Let X and Y be two nonempty sets A function from X into Y is a relation that associates with each element of X exactly one element of Y.

從兩個教材對“函數(shù)”概念引入的處理上分析，我國的教材著重讓學(xué)生自己進(jìn)行分析，得出函數(shù)的特點(diǎn)，而美國的教材則更注重對實(shí)例進(jìn)行剖析，從剖析的過程中得到函數(shù)的特點(diǎn)，運(yùn)用圖示加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解.其實(shí)在我國，雖然在教材中已經(jīng)刪去了圖示的內(nèi)容，但教師在實(shí)際教學(xué)的過程中也是經(jīng)常通過類似于上面的圖示來加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解，而且筆者自己在教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)相對于文字的形式，學(xué)生對圖示的形式更容易接受.

3 “函數(shù)”本質(zhì)的分析

從對“函數(shù)”本質(zhì)的剖析上分析，筆者覺得美國教材對函數(shù)本質(zhì)的剖析更顯深刻.我國的教材在給出函數(shù)概念后就給出了兩個例題，而美國的教材在介紹了函數(shù)的概念后，花了很大的篇幅來逐步揭示出函數(shù)的本質(zhì).比如教材中使用了這樣一個例子來強(qiáng)化函數(shù)概念：Sometimes it is helpful to think of a function f as a machine that receives as input a number from the domain, manipulates it, and outputs the value. See Figure.

The restrictions on this input/output machine are as follows:

1. It only accepts numbers from the domain of the function.

2. For each input, there is exactly one output (which may be repeated for different input).

Example 7 是Determining Whether an Equation Is a Function(判斷等式是否是函數(shù)關(guān)系)，教材給出這樣的一個等式，并做出了如下解釋：For values of x between -1 and 1, two values of y result. This means that the equationdoes not define a function.

Example 9 是 Identifying the Graph of a Function. 給出四張圖象，讓學(xué)生判斷這些圖象是否是函數(shù)圖象.

教材對于這個例題給出了Solution，引導(dǎo)學(xué)生從圖象上加深對函數(shù)概念的理解.緊接著教材就對函數(shù)圖象再作深入探討：If (x,y) is a point on the graph of a function f, then y is the value of f at x; that is , y=f(x). The next example illustrates how to obtain information about a function if its graph is given. Example 10 就是Obtaining Information from the Graph of a Function. 給出已知函數(shù)的圖象，讓學(xué)生通過函數(shù)圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，比如定義域、值域、求函數(shù)值、或是已知函數(shù)值求自變量x的值等問題.函數(shù)圖象在我國的教材中也有介紹，在第二節(jié)中專門介紹函數(shù)的表示法：解析法、圖象法、列表法，并且通過兩個例題要求學(xué)生畫出分段函數(shù)的圖象.

4 “函數(shù)”的表述形式

在美國的教材中對函數(shù)有一種表述形式，有別于我國的高中教材.We may think of a function as a set of ordered pairs (x,y) in which no two distinct pairs have the same first element. The set of all first elements x is the domain of the function, and the set of all second elements y is its range. Associated with each element x in the domain, there is a unique element y in the range. Example 3 is Determining Whether a Relation Represents a Function.

Determine whether each relation represents a function. For those that are functions, state the domain and range.

(a){(1,4),(2,5),(3,6),(4,7)}

(b) {(1,4),(2,4),(3,5),(6,10)}

(c) {(-3,9),(-2,4)(0,0),(1,1),(-3,8)}

In Example 3(c), this relation is not a function because there are two ordered pairs (-3,9) and (-3,8) that have the same first element, but different second elements. 這種“a set of ordered pairs (x,y)”的函數(shù)表述形式其實(shí)也是從另一種角度來加強(qiáng)學(xué)生對函數(shù)概念的理解.

筆者總結(jié)美國的教材，它總共從四個角度的表述形式對函數(shù)的概念與本質(zhì)進(jìn)行闡述：從圖示的角度、從有序?qū)崝?shù)對的角度、從雙變量等式的角度、從圖象的角度.在我國的教學(xué)中筆者也發(fā)現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)的概念理解確實(shí)存在困難，由于概念本身比較抽象，即使在一堂課上學(xué)生接受了函數(shù)概念，但在繼續(xù)學(xué)習(xí)了大量關(guān)于函數(shù)的知識后，還是有一部分學(xué)生對函數(shù)概念的本質(zhì)仍然含糊不清，比如在高三的總復(fù)習(xí)時曾遇到過這樣一道題目：函數(shù)圖象與直線x=1會有幾個交點(diǎn)？此題的錯誤率非常之高，高三學(xué)生在此題上出錯就說明學(xué)生雖然一直在解有關(guān)函數(shù)的問題，甚至是一些高難度的綜合問題，但他們其實(shí)對函數(shù)真正的本質(zhì)還未能領(lǐng)悟透徹.這樣的現(xiàn)象是不是應(yīng)該引起我們教師的重視，是不是我們對函數(shù)概念剖析得不夠深刻，或是花費(fèi)的時間還不夠呢？筆者覺得我們不妨在我們自己教材的基礎(chǔ)上，參照美國教材的一些做法，從不同的角度讓學(xué)生理解函數(shù)的概念，這樣做不僅培養(yǎng)學(xué)生多角度、多視角的觀察事物，而且也起到了強(qiáng)化學(xué)生認(rèn)知心智的作用.

5 “函數(shù)”教學(xué)重點(diǎn)的側(cè)重

在具體的函數(shù)教學(xué)過程中，筆者發(fā)現(xiàn)我們新課程的改革有些做法非常巧合的與美國教材的處理相一致.比如關(guān)于求“值域”的處理，美國教材明確指出：Ｗe have not said much about finding the range of a function. The reason is that when a function is defined by equation it is often difficult to find the range. Therefore, we shall usually be content to find just the domain of a function when only the rule for the function is given. We shall express the domain of a function using inequalities, interval notation, set notation, or words, whichever is most convenient.可見美國教材對函數(shù)值域是非常淡化的.在我國之前的教學(xué)中，對求函數(shù)值域的要求比較高，比如分離常數(shù)法、反表示法、圖象法、Δ法、換元法等等，總體來說，求函數(shù)值域比求函數(shù)定義域要困難得多，在現(xiàn)在的新教材中對求函數(shù)的值域也是非常淡化了，教師在新課講解時基本是不講解求值域了，但是在很多的參考資料中，求函數(shù)值域還是經(jīng)常出現(xiàn)，所以這種情況也迫使教師不得不適時的補(bǔ)充有關(guān)內(nèi)容.

美國教材重點(diǎn)落在求函數(shù)定義域，求函數(shù)值，以及已知函數(shù)值求自變量等問題上，這與我國的教材是相符的，而我國的教材中還特別強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)法則、值域.著重強(qiáng)調(diào)了判斷兩個函數(shù)是否是同一個函數(shù).

對于函數(shù)圖象作圖的要求，美國學(xué)生可以使用專用的作圖計(jì)算器來繪制函數(shù)圖象，在這方面我國對學(xué)生函數(shù)圖象作圖能力的要求明顯高于美國，要求學(xué)生會畫出一些特定函數(shù)的圖象，比如含絕對值的分段函數(shù)圖象.

此外在實(shí)際問題的處理上，兩國的教材也有相通之處.兩國的教材中有很多例題都是以實(shí)際問題為背景的，由此說明兩國都很注重數(shù)學(xué)知識的實(shí)際應(yīng)用，而非只拘泥于函數(shù)抽象的概念.

通過以上美國與我國教材中對“函數(shù)”概念教學(xué)的比較來分析，“函數(shù)”這個概念無論在我國還是在美國都是處于非常重要的地位，我國的新教材高一第一冊幾乎全部是圍繞有關(guān)函數(shù)問題展開的教學(xué)，美國教材中至少7節(jié)的內(nèi)容與函數(shù)有關(guān)，所以兩國都非常重視“函數(shù)”概念的教學(xué)，相對比較而言，美國教材對概念剖析更詳細(xì)與深入些，在多個Examples之后都從不同的角度闡明“函數(shù)”的主要特征，而我國的教材設(shè)計(jì)則在讓學(xué)生自我思考與探究方面花費(fèi)了一番心思，巧妙的設(shè)計(jì)了幾個思考點(diǎn)發(fā)揮學(xué)生自主探究的能力，充分顯示了“以生為本”的教學(xué)新理念.最后值得一提的是，在美國教材每節(jié)開頭都有一個“Field Trip to Motorola”,在其中會有一些“Real Mathematics at Motorola”、“Interview at Motorola”，這樣不僅是對學(xué)生的一種激勵，更讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用價值；我國教材每一章開頭也有引言或是一些引入性的情境問題，目的也是充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.總之在我國高中數(shù)學(xué)新課程實(shí)施的初始階段，通過研究國外數(shù)學(xué)教材的途徑，我們可以發(fā)覺很多值得我們思考的問題，獲得更多改進(jìn)與完善的空間.

作者簡介 俞昕，出生于1977年10月，中教一級.研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué).取得的科研成果：課題《新課標(biāo)視角下探尋高中數(shù)學(xué)課程中的文化因素》榮獲市優(yōu)秀科研成果一等獎.