一個與勾股定理有關(guān)的結(jié)論

彭翕成

勾股定理的數(shù)學表達形式是a2+b2=c2.從數(shù)的“方”（平方）聯(lián)想到形的“方”（正方形），人們不難想到要以Rt△ABC的各邊為邊向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI（如圖1），于是由勾股定理有S正方形ABDE=S正方形CBFG+S正方形ACHI .這個圖形太常見，太普通了，我們可以嘗試作點變化，適當加點東西.例如，連接EI，HG，F(xiàn)D，如圖2.

在圖2中，觀察圖形中的面積關(guān)系，由全等三角形很容易得出S△ABC=S△CGH .我們是不是可以猜想，有更多的三角形面積相等呢？譬如，S△ABC與S△BDF是不是相等呢？根據(jù)三角形面積公式，由于AB=BD，若AB邊上和BD邊上的高相等，則兩三角形面積相等.作出對應的高CJ和FL，又可轉(zhuǎn)化為證明△CJB≌△FLB（圖3）.由于∠JBC=∠LBF（與同角互余的兩角相等），根據(jù)AAS，易證△CJB≌△FLB.從而S△ABC=S△BDF .同樣地，可以證明S△ABC=S△AIE.綜上所述，我們可以得到一個結(jié)論：S△ABC=S△BDF=S△CGH=S△AIE.

需要指出的是，即使△ABC不是直角三角形，剛才得出的三角形面積相等的結(jié)論也是成立的，證明的過程也一樣.為什么呢？細心的讀者會發(fā)現(xiàn)，在前面的說明過程中，根本就沒有用到∠ACB=90°這一條件！

下面，我們根據(jù)前面的分析來解幾個題目.

例1如圖2，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠ACB=90°，以Rt△ABC的各邊為邊向外作正方形ABDE，CBFG和ACHI，求S六邊形EDFGHI.

解析：據(jù)前面的分析，我們可得S△ABC=S△BDF=S△CGH=S△AIE，而S正方形ABDE=S正方形CBFG+S正方形ACHI，則S六邊形EDFGHI=4S△ABC+2（S正方形CBFG+S正方形ACHI）=4×6+2×25=74.

例2如圖4，已知Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠ABC=90°，以Rt△ABC的各邊為邊作正方形ACDE，ABFG和BCHI.求陰影部分的面積.

解析：因所求陰影部分不是規(guī)則的圖形，所以我們希望將之轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形.首先，我們可以證明點E是在GF的延長線上.事實上，連接GE，由SAS可證△GAE≌△BAC.從而GE⊥GA.而GF⊥GA，故F在GE上.同理，D在HI上.根據(jù)SAS可知，△ABC≌△AGE≌△DHC，從而FE=GE-GF=GE-GA=HC-HD=BC-HD=ID.又因為∠FEJ=∠ACB=∠HCD=∠KDI，∠EFJ=∠DIK=90°，所以△FEJ≌△IDK.因此，S陰影=S△AGE+S△DHC=2S△ABC=12.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。