解讀一元一次不等式及其性質(zhì)

何炳均

同學(xué)們都知道不等式是初中數(shù)學(xué)的重點和難點，也是歷年中考的熱點．要想學(xué)好不等式，就要認真理解不等式的概念和性質(zhì).如何掌握這些基礎(chǔ)知識呢？本文將結(jié)合例子進行說明．

一、不等式

1． 概念

像<，x>50這樣用不等號表示大小關(guān)系的式子叫做不等式．應(yīng)注意，像a+2 ≠ a-2這樣用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式．

理解不等式的概念應(yīng)抓住兩點：一是含有不等號；二是不等號兩邊是數(shù)或式子．

2． 常見的不等號的類型

（1）“≠”讀作“不等于”，表示兩個量之間的關(guān)系是不等的，但不知道誰大誰?。?/p>

（2）“>”讀作“大于”，表示左邊的量比右邊的量大；

（3）“<”讀作“小于”，表示左邊的量比右邊的量??；

（4）“≥”讀作“大于或等于”，即“不小于”，表示左邊的量大于或等于右邊的量；

（5）“≤”讀作“小于或等于”，即“不大于”，表示左邊的量小于或等于右邊的量．

例1用不等式表示下列數(shù)量關(guān)系．

（1）a比-3大．

（2）a的5倍是正數(shù)．

（3）x與y的差的絕對值是非負數(shù)．

（4）a的平方與b的平方之和的倒數(shù)不大于4．

[分析：]應(yīng)先正確列出相應(yīng)的代數(shù)式，再用不等號連接起來．

解： （1）a>-3．

（2）5a>0．

（3）|x-y|≥0．

（4）≤4．

[說明：]在列不等式時，要注意“非負數(shù)”、“不大于”等詞語的含義．

二、不等式的解和解集

不等式的解是指使含未知數(shù)的不等式成立的未知數(shù)的值．

不等式的解集是指一個不等式所有解的集合．

一個不等式可能有一個解、兩個解、無數(shù)個解，也可能無解.一個不等式的解集只有一個．如果一個不等式無解，但解集是有的，只不過這個解集中沒有一個數(shù)值，集合是空的．

例2下列說法錯誤的是（ ）．

A． x<2的負整數(shù)解有無數(shù)個

B． x<2的整數(shù)解有無數(shù)個

C． x<2的正整數(shù)解是1和2

D． x<2的非負整數(shù)解是0和1

[分析：]2不是不等式x<2的解，所以C錯誤．

解： 選C．

例3（2007年金華市中考題）不等式2x-6>0的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）．

[分析：]不難看出，使不等式成立的x必須大于3．

解： 選A．

三、不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)不僅是不等式變形的重要依據(jù)，而且是解不等式的基礎(chǔ)，因此，不等式的性質(zhì)在不等式這部分內(nèi)容中十分重要．

性質(zhì)1：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變．

如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c．

性質(zhì)2：不等式兩邊乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變．

如果a>b，c>0，那么ac>bc，>．

性質(zhì)3：不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．

如果a>b，c<0，那么ac

在學(xué)習(xí)不等式的性質(zhì)時，大家要注意借助類比思想，對照等式相應(yīng)的性質(zhì)來感受不等式的性質(zhì)，比較它們的相同之處和不同之處．特別是性質(zhì)3，不等式兩邊乘以（或除以）同一個負數(shù)時，不要忘記改變不等號的方向．

例4（1）若a>b，則-2a-3-2b-3．

（2）若a>0，b<0，c<0，則（a-b）c0．

[分析：]題（1）是在a>b的兩邊先同乘以-2，再同減去3；題（2）要先判斷a-b是正數(shù)還是負數(shù)，再判斷（a - b）c的符號．解題過程中要注意正確運用不等式的性質(zhì)．

解： （1）填<． （2）填<．

例5如果關(guān)于x的不等式（a+1）x>a+1的解集是x<1，那么a的取值范圍是（ ）．

A． a>0 B． a<0

C． a>-1D． a<-1

[分析：]不等式（a+1）x>a+1要變形為x<1，就需要根據(jù)不等式的性質(zhì)3，在原不等式的兩邊同時除以負數(shù)a+1，a+1<0，故可得a<-1．

解： 選D．

[說明：]這道題實際上是逆向應(yīng)用不等式的性質(zhì)．解題時一定要注意不等號的方向是否改變，從而判斷未知系數(shù)的正負性．

例6（2007年烏蘭察布市中考題）用“○”、“□”、“△”分別表示三種不同的物體．用天平比較它們的質(zhì)量，兩次測量的情況如圖1，那么將“○”、“□”、“△”按質(zhì)量從小到大的順序排列應(yīng)為（）．

A． ○□△ B． ○△□

C． □○△ D． △□○

[分析：]由兩次測量的情況可知，“○”的質(zhì)量大于“□”，而“□”的質(zhì)量是“△”的2倍，所以“○”的質(zhì)量最大，“△”的質(zhì)量最?。?/p>

解： 選D.

四、一元一次不等式

教材中說，含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)都是1的不等式，叫做一元一次不等式．例如3a-8<0， +5≥-1等都是一元一次不等式；而7x+y>8，+5≤4，2x2-4x-9<0等都不是一元一次不等式．

在學(xué)習(xí)一元一次不等式時，應(yīng)注意將其與一元一次方程進行比較．其實這兩者是類似的，只不過一元一次方程是用等號連接的，而一元一次不等式是用不等號連接的．

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