最值問題的學(xué)用解法

許欽彪

最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中一類重要的問題，常涉及函數(shù)、三角形、不等式、解析幾何、立體幾何、向量、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，同學(xué)們在整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中都會遇到，熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指(對)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)等初等函數(shù)的最值求法，是求復(fù)雜函數(shù)最值的基礎(chǔ)，最值問題的解法多而靈活，本文僅把常用的方法進(jìn)行歸納介紹。

一、直接法

某些函數(shù)的結(jié)構(gòu)并不復(fù)雜，可以通過適當(dāng)變形，由初等函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)直接觀察得到它的最值。

例1求y=x³＋2/²＋5暑的最杏值，解析：變形為y＝1=X²＋2/3，故當(dāng)x=0，時，y_ma

二、反函數(shù)法

由原函數(shù)反解出x=￡(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法，此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函數(shù)，類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)，

三、配方法

配方法是求解“可化為二次函數(shù)形式”這一類函數(shù)的最值問題的基本方法，有著廣泛的應(yīng)用，

四、換元法

引入新變量對原函數(shù)式中的代數(shù)式或三角函數(shù)進(jìn)行代換，將所給函數(shù)轉(zhuǎn)化成容易求最值的簡單函數(shù)，進(jìn)而求得最值的方法稱為換元法，形如y=ax+6的函數(shù)求最值常用此法，用換元法解題時要特別注意變元前后自變量的取值范圍要保持一致。五、不等式法

通過對原函數(shù)式進(jìn)行變形，利用等基本不等式求函數(shù)的最值的方法稱為不等式法，用不等式法求最值時，要注意“一正、二定、三相等”的應(yīng)用條件，即不等式中的兩項必須都為正，兩項的和一定時積有最大值、積一定時和有最小值，必須能取得到最值，

點(diǎn)評：利用不等式法求最值時，要注意函數(shù)取到最值時，相應(yīng)的x的值是否存在，如果不存在，則此最值不能取到，此時要考慮用其他方法來解題，點(diǎn)評：用不等式法和判別式法都只能求出例8中函數(shù)的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考慮換用其他方法，

七、單調(diào)性法

如果能確定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性，就可以求出該函數(shù)的最值，求解函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題?？稍囉眠@種方法，函數(shù)的單調(diào)性可以直接用單調(diào)性的定義來判別，也可結(jié)合函數(shù)的圖像來研究，或者用導(dǎo)數(shù)法來判定。

點(diǎn)評：看到例11中的函數(shù)的形式，很多同學(xué)會考慮用換元法來解題，但若用換元法無法將其轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的形式，會讓解題過程變得更繁雜，甚至無法順利進(jìn)行下去，在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，方法的選擇也是很重要的，三種方法各有特點(diǎn)：定義法是最容易想到的，圖像法最直觀，而導(dǎo)數(shù)法往往比較簡捷。

八、數(shù)形結(jié)合法

利用函數(shù)表示的幾何意義，借助于幾何方法求出最值的方法稱為數(shù)形結(jié)合法。