例談求解概率的五種常用方法

萬樹林　王洪龍

數(shù)學(xué)課程標準把“概率”作為新增加的學(xué)習(xí)內(nèi)容后，課改區(qū)的中考試題中就出現(xiàn)了大量與概率有關(guān)的題目，這類問題緊密聯(lián)系生活實際，生動有趣，但題型千變?nèi)f化，解題思維靈活. 同學(xué)們在解答它們時，首先要認真審題，弄清楚其結(jié)構(gòu)；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理的、恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚? 列表法和樹狀圖法是解答概率問題最基本、最常的方法. 下面我們通過列舉例題(所選例題均為2007年各地的中考題)來說明概率的常用計算方法.

1 利用總概率為1計算

例1 (貴陽市)在一次抽獎活動中，中獎概率是0.12，則不中獎的概率是.

分析 因為中獎與不中獎的總概率為1，知道了中獎的概率，不中獎的概率可直接用減法求出.

解 因為中獎的概率是0.12，所以不中獎的概率為1-0.12=0.88.

2 利用概率的計算公式計算

例2 (青島市)隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，落地后至少有一次正面朝上的概率是( ).

分析 為分析方便，我們記正面朝上為1，反面朝上為0，則隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況有四種：(1，0)、(0，1)、(1，1)、(0，0). 在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，所以根據(jù)概率的計算公式可求出.

解 從上面的分析可看出，則隨機擲一枚均勻的硬幣兩次，可能出現(xiàn)的情況共有四種，在這四種情況中，至少有一次正面朝上出現(xiàn)三次，根據(jù)概率的定義可知，落地后至少有一次正面朝上的概率P=正面朝上的次數(shù)所有情況=34. 故應(yīng)選A.

3 用頻率估計概率

例3 (河北省)在一個暗箱里放有a個除顏色外其他完全相同的球，這a個球中紅球只有3個.每次將球攪拌均勻后，任意摸出一個球記下顏色再放回暗箱. 通過大量重復(fù)摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，那么可以推算出a大約是( ).

A.12 B.9 C.4 D.3

分析 根據(jù)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，可以估計摸到紅球的概率. 根據(jù)概率的計算公式可求出暗箱中紅球的個數(shù).

解 因為摸到紅球的頻率穩(wěn)定在25%，所以可知摸到紅球的概率為25%，從而得到3a=25%，解得a=12. 故選A.

4 列表法

例4 (江西省)在一次數(shù)學(xué)活動中，黑板上畫著如圖所示的圖示的圖形，活動前老師在準備的四張紙片上分別寫有如下四個等式中的一個等式：

①AB=CD；②∠ABE=∠DCE；③AE=DE；④∠A=∠D

小明同學(xué)閉上眼睛從四張紙片中隨機抽取一張，再從剩下的紙片中隨機抽取另一張. 請結(jié)合圖形解答下列兩個問題：

(1)當(dāng)抽得①和②時，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形嗎?說說你的理由；

(2)請你用樹狀圖或表格表示抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(用序號表示)，并求以已經(jīng)抽取的兩張紙片的等式為條件，使△BEC不能構(gòu)成等腰三角形的概率.

分析 (1)根據(jù)等腰三角形的判定條件可以判定當(dāng)抽得①和②時，用①，②作為條件能判定△BEC是等腰三角形. 要證明△BEC是等腰三角形，只要證明BE=CE即可.(2)用列表法列出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，根據(jù)等腰三角形的判定條件可求出不能夠成等腰三角形的結(jié)果數(shù)，這樣根據(jù)概率的計算公式可得.

解 (1)能.

理由：由AB=DC，∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC，得△ABE怠鱀CE.

所以BE=CE，所以△BEC是等腰三角形.

(2)抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下表：

說明 本題的第二問也可以用樹狀圖法表示出抽取兩張紙片上的等式所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，進而得到答案.

5 樹狀圖法

例5 (金華市)水果種植大戶小方，為了吸引更多的顧客，組織了觀光采摘游活動. 每一位來采摘水果的顧客都有一次抽獎機會：在一只不透明的盒子里有A、B、C、D四張外形完全相同的卡片，抽獎時選隨機抽出一張卡片，再從盒子中剩下的3張中隨機抽取第二張.

(1)請利用樹狀圖(或列表)的方法，表示前后兩次抽得的卡片所有可能的情況；

(2)如果抽得的兩張卡片是同一種水果圖片就可獲得獎勵，那么得到獎勵的概率是多少?

分析 (1)直接畫出樹狀圖；(2)根據(jù)樹狀圖可知抽得卡片的情況總數(shù)，在這些情況中先判斷出獲得獎勵的情況數(shù)，然后根據(jù)概率的計算公式可解.

(2)從上面的樹狀圖可以看出，抽得卡片的情況共有12種，在這12種情況中，只有4種情況可以獲得獎勵，故獲獎勵的概率：P=獲獎的情況數(shù)總的情況數(shù)=412=13.

另外，此題也可以用列表的方法求得.

從上面所舉的例題可以看出，有關(guān)概率的題目立意新穎，都有著一定的生活背景，這些背景取材于學(xué)生的生活實際，符合學(xué)生的認知和心理特點，對于這樣的問題，學(xué)生是非常感興趣的.在解答的過程中學(xué)生學(xué)會了用數(shù)學(xué)知識進行說理的方法，如，例4的第(1)問實際上是證明一個三角形是等腰三角形. 本題改變了傳統(tǒng)的命題方式，并沒有讓學(xué)生直接證明在AB=DC和∠ABE=∠DCE的條件下△BEC是不是等腰三角形，然后再給出證明. 這種方式比以前的命題方式要好得多. 學(xué)生在解答的同時經(jīng)歷了觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展了他們的合情推理能力和初步的演繹推理能力，這種“以理服人”的好習(xí)慣、好品質(zhì)對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯能力及學(xué)生的創(chuàng)新意識都是有益的.

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