新課程中考走向③ 數(shù)學(xué)中考:從2004看2005

馬　復(fù)　章　飛　朱　誠(chéng)

2004年6月，15個(gè)國(guó)家新課程實(shí)驗(yàn)區(qū)舉行了初中生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試，一共產(chǎn)生了12份試卷（有4個(gè)實(shí)驗(yàn)區(qū)共用一份試卷）。這是全國(guó)首次基于《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）而進(jìn)行的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試，其中出現(xiàn)了許多值得我們繼續(xù)發(fā)揚(yáng)的亮點(diǎn)，同時(shí)，我們也看到，一些地區(qū)的試卷仍然存在不盡如人意的地方，而基于《標(biāo)準(zhǔn)》的命題也給我們帶來(lái)了很大的挑戰(zhàn)，該如何應(yīng)對(duì)？本文將對(duì)這些問(wèn)題作一些分析和回應(yīng)。

一、2004年數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試四大亮點(diǎn)。

實(shí)驗(yàn)區(qū)的絕大多數(shù)試卷有不少特點(diǎn)和新意，概括起來(lái)，有四個(gè)亮點(diǎn)：關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的考查;關(guān)注對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題能力的考查，突出試題的教育價(jià)值;關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的評(píng)價(jià);關(guān)注個(gè)性化評(píng)價(jià)。

1.關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)核心內(nèi)容的考查。

所有實(shí)驗(yàn)區(qū)的試卷都比較關(guān)注對(duì)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)核心內(nèi)容情況的考查，這其中包括了對(duì)《標(biāo)準(zhǔn)》中規(guī)定的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查。

【點(diǎn)評(píng)】代數(shù)中的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題，是《標(biāo)準(zhǔn)》所規(guī)定的一個(gè)基本內(nèi)容，它涉及對(duì)運(yùn)算的理解以及運(yùn)算技能的掌握兩個(gè)方面。以往，我們大多以直接考查運(yùn)算技能的掌握情況作為基本命題思路，但本題卻以考查對(duì)運(yùn)算原理的理解作為命題的重心;而且一改“化簡(jiǎn)求-xx2-2x+1x2-1x-1x2+x÷-x=x2-2x+1x2-1x-1x2+x÷-x（x-1）2（x+1）（x-1）x（x+1）x-1×值”類型的命題方式，以學(xué)生日常學(xué)習(xí)中抄錯(cuò)數(shù)而計(jì)算結(jié)果正確的現(xiàn)象為背景來(lái)引出問(wèn)題，給人以耳目一新的感覺，不僅沒有削弱對(duì)運(yùn)算技能的考查，還隱藏了問(wèn)題的解決思路，較好地考查了學(xué)生對(duì)運(yùn)算原理的理解和應(yīng)用。

例：已知拋物線y=（x-4）2-3的部分圖象（如圖），圖象再次與x軸相交時(shí)，交點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

【點(diǎn)評(píng)】本題所考查的對(duì)象是有關(guān)函數(shù)的一個(gè)基本特性，試題構(gòu)思頗有新意，采用數(shù)形結(jié)合的方法給出部分信息，既給擅長(zhǎng)不同思維方式的學(xué)生提供了不同的思路，又有效地考查了相關(guān)的重要內(nèi)容。學(xué)生可以利用函數(shù)與方程的關(guān)聯(lián)通過(guò)解一元二次方程（x-4）2-3=0求出圖象與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，也可以利用拋物線的幾何性質(zhì)———軸對(duì)稱性來(lái)確定另一點(diǎn)的坐標(biāo)，兩種方法都是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。應(yīng)該注意的是對(duì)核心內(nèi)容的考查不能簡(jiǎn)單地視為對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的考查，更不能等同于考簡(jiǎn)單題。它更多的是對(duì)基本而重要的內(nèi)容的考查。

2.關(guān)注對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題能力的考查。

應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力既是《標(biāo)準(zhǔn)》中的一個(gè)重要課程目標(biāo)，也是學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容理解水平的一個(gè)標(biāo)志，各實(shí)驗(yàn)區(qū)的試卷都對(duì)此項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)賦予了較高的分值。

例：在某旅游景區(qū)上山的一條小路上，有一些斷斷續(xù)續(xù)的臺(tái)階。圖1是其中的甲、乙段臺(tái)階路的示意圖。

請(qǐng)你用所學(xué)過(guò)的有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)（平均數(shù)、中位數(shù)、方差和極差）回答下列問(wèn)題：

（1）兩段臺(tái)階路有哪些相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

（2）哪段臺(tái)階路走起來(lái)更舒服？為什么？

（3）為方便游客行走，需要重新整修上山的小路對(duì)于這兩段臺(tái)階路，在臺(tái)階數(shù)不變的情況下，請(qǐng)你提出合理的整修建議。

【點(diǎn)評(píng)】首先，試題的背景是游客上山的小路，具有很強(qiáng)的生活性，同時(shí)也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的無(wú)處不在：走在旅游中的小路上都可以看到數(shù)學(xué)、用到數(shù)學(xué)的原理，具有一定的教育價(jià)值;其次，設(shè)問(wèn)自然，有層次感：第（1）小題，在許多試題中，給出幾何體、幾何圖形要求學(xué)生觀察異同的問(wèn)題屢見不鮮，給出兩組數(shù)據(jù)要求學(xué)生比較異同的問(wèn)題也時(shí)有出現(xiàn)，但比較臺(tái)階路的異同較新穎，學(xué)生需要經(jīng)歷一個(gè)數(shù)學(xué)化的過(guò)程———將對(duì)臺(tái)階的比較這一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)兩組數(shù)據(jù)的比較，可以從多個(gè)角度進(jìn)行，如計(jì)算平均數(shù)、方差等基于第（1）小題，很自然地想到這些形式上的相同與不同所產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)結(jié)果，即方差大的臺(tái)階路走起來(lái)不舒服，從而考查對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)現(xiàn)實(shí)意義的理解水平，體現(xiàn)了活用統(tǒng)計(jì)知識(shí)的重要意義，使《標(biāo)準(zhǔn)》中“發(fā)展統(tǒng)計(jì)觀念”這一要求得以落實(shí);第（3）小題仍然是現(xiàn)實(shí)問(wèn)題要求提出合理的整修建議，具有很強(qiáng)的開放性，給學(xué)生提供了展示自我解決問(wèn)題能力的足夠空間。

例：在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離。

請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案。

（1）畫出測(cè)量圖案;

（2）寫出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）;

（3）計(jì)算AB的距離（寫出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）。

答案：答案不唯一，可以利用三角形中位線定理、三角形全等、勾股定理或者解直角三角形的知識(shí)等等，只要設(shè)計(jì)能夠?qū)嶋H操作，滿足題目要求即可。

【點(diǎn)評(píng)】本題將試題的求解落實(shí)到“設(shè)計(jì)一個(gè)滿足要求的測(cè)量方案”，重在考查學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型的能力，并借此評(píng)價(jià)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。設(shè)計(jì)方案的過(guò)程既需要學(xué)生能夠靈活運(yùn)用相關(guān)的知識(shí)與技能，更要求學(xué)生能夠在頭腦里做“實(shí)驗(yàn)”———判斷方案的合理性與有效性。同時(shí)，由于本題采用開放題的形式來(lái)考查，使試題更加活潑，更好地適應(yīng)不同學(xué)生的思維，因而具有較好的信度。

應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題———既包括解數(shù)學(xué)問(wèn)題，也括解非數(shù)學(xué)問(wèn)題，是《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的一個(gè)重要的課目標(biāo)，而且這里的“問(wèn)題”通常都不是套用一個(gè)公定理就能夠得到求解程序的，它往往需要學(xué)生首先問(wèn)題做“數(shù)學(xué)化”的工作———識(shí)別其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)象、數(shù)學(xué)關(guān)系，建立適當(dāng)?shù)摹皵?shù)學(xué)模型”;隨后是求這個(gè)“數(shù)學(xué)模型”，再通過(guò)檢驗(yàn)所獲得的數(shù)學(xué)解的合性，進(jìn)而得到原問(wèn)題的解。這樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程無(wú)很好地反映了問(wèn)題解決者對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)的理解特征，以作為評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況的較為理想的試題。

3.關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的評(píng)價(jià)。

《標(biāo)準(zhǔn)》所提出的評(píng)價(jià)新理念之一是：不僅要關(guān)對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果的評(píng)價(jià)，也要關(guān)注對(duì)他們數(shù)學(xué)活動(dòng)程的評(píng)價(jià)。

在2004年的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試中，一些地的試卷很好地貫徹了這一理念。

在具體實(shí)施方面，此類試題的形式多樣，既有注通過(guò)閱讀去理解一些數(shù)學(xué)對(duì)象的試題，也有提供種形式的素材，關(guān)注學(xué)生從中獲取信息的試題，還關(guān)注學(xué)生從事操作性和探索性活動(dòng)的試題。

例：在一次實(shí)踐活動(dòng)中，某課題學(xué)習(xí)小組用測(cè)器、皮尺測(cè)量旗桿的高度，他們?cè)O(shè)計(jì)了如下方案圖①所示）：

（1）在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得旗桿頂部M仰角∠MCE=α;

（2）量出測(cè)點(diǎn)A到旗桿底部N的水平距離AN=（3）量出測(cè)傾器的高度AC=h。

根據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，即可求出旗桿的高度MN如果測(cè)量工具不變，請(qǐng)仿照上述過(guò)程，設(shè)計(jì)一測(cè)量某小山高度（如圖②）的方案：（1）在圖②中，畫出你測(cè)量小山高度MN的示圖（標(biāo)上適當(dāng)字母）;（2）寫出你設(shè)計(jì)的方案。

答案：解：（1）正確畫出示意圖。

（2）①在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器，測(cè)得此時(shí)山頂?shù)难鼋恰螹CE=α;②在測(cè)點(diǎn)A與小山之間的B處置測(cè)傾器（A、B與N在同一條直線上），測(cè)得此時(shí)山頂M的仰角∠MDE=β;

③量出測(cè)傾器的高度AC=BD=h，以及測(cè)點(diǎn)A、B之間的距離AB=m。

根MNECABD圖①M(fèi)NACEMN圖②據(jù)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，即可求出小山的高度MN。

【點(diǎn)評(píng)】本題以課題學(xué)習(xí)內(nèi)容為載體，先給出了一個(gè)旗桿高度的測(cè)量方案，要求學(xué)生仿照上述過(guò)程，設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量某小山高度的方案，這種設(shè)計(jì)關(guān)注了對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程性考查。首先，如果學(xué)生從未接觸過(guò)試題所陳述的實(shí)際測(cè)量活動(dòng)，僅憑想象與仿照來(lái)正確地解決該問(wèn)題那是比較困難的，若學(xué)生實(shí)實(shí)在在地進(jìn)行過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，那么從活動(dòng)過(guò)程中所獲得的經(jīng)驗(yàn)、感悟以及對(duì)相應(yīng)知識(shí)或方法的理解將會(huì)有效地體現(xiàn)在該題的求解過(guò)程中。因?yàn)檫@里的“仿照設(shè)計(jì)”不是一種簡(jiǎn)單地照搬，必須以理解、領(lǐng)會(huì)問(wèn)題和方法為前提，然后才有可能遷移到待解決的問(wèn)題上去，因而能較好地考查學(xué)生的理解水平以及類比和遷移能力;同時(shí)，在一定程度上它還能考查學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力、邏輯思維能力、空間觀念、作圖技能等。

如何評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，是一個(gè)極具挑戰(zhàn)性的任務(wù)，其中包括考查什么、怎樣考，一些實(shí)驗(yàn)區(qū)對(duì)此做了有益的嘗試。

4.關(guān)注個(gè)性化評(píng)價(jià)。

承認(rèn)差異，尊重個(gè)性，給每一位學(xué)生以充分的發(fā)展空間是《標(biāo)準(zhǔn)》提倡的一個(gè)基本理念，而給學(xué)生以更多的自主性，讓不同類型、不同水平的學(xué)生盡可能地展現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)才能是《2004年課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試命題指導(dǎo)》所提出的一個(gè)新的命題原則。大多數(shù)實(shí)驗(yàn)區(qū)的數(shù)學(xué)試卷，對(duì)此都有較好的反映。

具體的操作方式主要有以下三種。

———設(shè)置自主選擇試題：在試卷上設(shè)立可以選做的試題，讓學(xué)生根據(jù)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況、認(rèn)知特征選擇恰當(dāng)?shù)脑囶}做答，以充分表現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)才能。

———提供開放性試題：在試卷上設(shè)立了開放性試題，力圖使每一個(gè)學(xué)生都能夠根據(jù)自己的思考角度、對(duì)試題背景的理解程度，提出一個(gè)問(wèn)題、給出一個(gè)結(jié)論（猜想）或提供一種結(jié)論之所以成立的解釋（證明），等等。

———制訂個(gè)性化評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：對(duì)于某些具有個(gè)性化的試題求解過(guò)程，例如提出問(wèn)題、給出開放性試題的答案等，制訂一個(gè)開放的、不同類型、不同層次的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，使所有對(duì)試題提供了實(shí)質(zhì)性解答的學(xué)生都能夠獲得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，而不是簡(jiǎn)單地將學(xué)生的解答套入事先預(yù)定的“標(biāo)準(zhǔn)解答”體系之中。

例：（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分;第（2）、（3）小題為選答題，其中第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請(qǐng)從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評(píng)分。）

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E。

（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE。

（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE。

（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。

注意：第（2）、（3）小題你選答的是第小題。

【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)直線MN的旋轉(zhuǎn)構(gòu)造問(wèn)題，蘊(yùn)含了對(duì)觀察、動(dòng)手操作、猜測(cè)、合理推斷、合理推理論證等數(shù)學(xué)活動(dòng)的考查。試題的要求層次分明———其區(qū)別的實(shí)質(zhì)在于對(duì)題中蘊(yùn)含的“對(duì)稱”現(xiàn)象的領(lǐng)悟，使學(xué)習(xí)水平不同的學(xué)生在考試中有發(fā)揮的機(jī)會(huì)和余地，本題的第（2）、（3）小題可任選一題，這樣既尊重了學(xué)生的數(shù)學(xué)差異，體現(xiàn)對(duì)學(xué)生的人文關(guān)懷，又能保障不同層次的學(xué)生得到不同的評(píng)價(jià)，有利于激發(fā)學(xué)生的思維激情和潛能，這種做法值得倡導(dǎo)。需要指出的是，與該題類似的問(wèn)題曾經(jīng)在一些復(fù)習(xí)資料中出現(xiàn)過(guò)，如此也許會(huì)導(dǎo)致考試中的“不公平”現(xiàn)象出現(xiàn)，影響考試的效度。

例：從下面兩題中任選一題進(jìn)行解答，其中第（2）題賦分高于第（1）題。

（1）先在左面的一塊方格紙上畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形去掉或添上一部分，使新圖形仍為軸對(duì)稱圖形，畫在右面的方格紙上。

（2）先在左面的一塊方格紙上畫一個(gè)軸對(duì)稱圖形作為基礎(chǔ)圖形，再將基礎(chǔ)圖形的一部分平移或旋轉(zhuǎn)到剩余圖形的某一位置組成新的圖形，使新圖形仍為軸對(duì)稱圖形，畫在右面的方格紙上。

【點(diǎn)評(píng)】本題的解答多種多樣，有較大的開放性，同時(shí)給不同層次的解答賦予不同的分?jǐn)?shù)，這種設(shè)計(jì)既有效考查了學(xué)生對(duì)軸對(duì)稱概念的理解水平、平移與旋轉(zhuǎn)的有關(guān)知識(shí)，又達(dá)到了發(fā)展幾何直覺的目的，體現(xiàn)了“動(dòng)手實(shí)踐，自主探索”的學(xué)習(xí)理念與讓不同學(xué)生DMNCEABABENDCMABDNECM圖1圖2圖3基礎(chǔ)圖形變換圖形得到不同發(fā)展表現(xiàn)的評(píng)價(jià)理念。同時(shí)，在命題形式上突破了判斷某一圖形是否為對(duì)稱圖形的常規(guī)設(shè)計(jì)思路，活潑而又新鮮。考查學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面的個(gè)性化特征是一個(gè)全新的評(píng)價(jià)方面，它表明了這樣一個(gè)基本理念：客觀上看，不同學(xué)生之間的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在著差異，這樣的差異不能夠簡(jiǎn)單地用“好”與“差”來(lái)區(qū)分，更合理的認(rèn)識(shí)是：差異是如何表現(xiàn)的，它們各自的優(yōu)劣何在？我們對(duì)此能夠采用什么教學(xué)策略去促進(jìn)這些學(xué)生更好地發(fā)展？

二、需要改進(jìn)和研討的問(wèn)題。

實(shí)驗(yàn)區(qū)的試卷在表現(xiàn)出上述較好特點(diǎn)的同時(shí)，也在命題理念、基本立意或命題技術(shù)等方面存在一些需要改進(jìn)和研究的問(wèn)題。

1.需要改進(jìn)的問(wèn)題。

（1）考查內(nèi)容超出《標(biāo)準(zhǔn)》的要求。

數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試的考查內(nèi)容必須限定在《標(biāo)準(zhǔn)》的要求之內(nèi)，這是不容置疑的，但仍然有個(gè)別試卷疏忽了這一點(diǎn)，使得試卷內(nèi)出現(xiàn)了要求學(xué)生做出“頻率分布圖”等《標(biāo)準(zhǔn)》不要求的試題，應(yīng)當(dāng)杜絕。同時(shí)，另一些“隱性”超標(biāo)的現(xiàn)象也應(yīng)當(dāng)引起注意，如對(duì)基本代數(shù)運(yùn)算技能和幾何證明技能的要求過(guò)高。

（2）試題的科學(xué)性與合理性問(wèn)題。

作為學(xué)業(yè)考試的試題必須慎重思考其科學(xué)性與合理性，但在這一點(diǎn)上一些試卷尚需改進(jìn)———尤其在統(tǒng)計(jì)樣本的確認(rèn)、應(yīng)用性試題的背景敘述等方面。

例：初中學(xué)生的視力狀況已受到全社會(huì)廣泛關(guān)注。

某市有關(guān)部門對(duì)全市20萬(wàn)名初中學(xué)生視力狀況進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查，從中隨機(jī)抽查了10所中學(xué)全體初中學(xué)生的視力，圖1、圖2是2004年抽樣情況統(tǒng)計(jì)圖。

請(qǐng)你根據(jù)下圖解答以下問(wèn)題：①2004年這10所中學(xué)初中學(xué)生的總?cè)藬?shù)有多少人？

②2004年這10所中學(xué)的初中學(xué)生中，視力在4.75以上的學(xué)生人數(shù)占全市初中學(xué)生總?cè)藬?shù)的百分比是多少？

③2004年該市參加中考的學(xué)生達(dá)66000人，請(qǐng)你估計(jì)2004年該市這10所中學(xué)參加中考的學(xué)生共有多少人？1

【點(diǎn)評(píng)】這是一個(gè)有關(guān)統(tǒng)計(jì)的試題，題干表明：該統(tǒng)計(jì)活動(dòng)是對(duì)本市初中學(xué)生視力狀況的一個(gè)調(diào)查，采用的是“抽樣調(diào)查”的方式。但該試題有幾個(gè)值得商榷的地方：首先，在樣本的選取方式上，試題有一個(gè)比較明顯的不妥之處———將學(xué)校，而不是學(xué)生作為隨機(jī)抽樣的對(duì)象。這使得樣本的代表性受到質(zhì)疑。其次，統(tǒng)計(jì)活動(dòng)本身是關(guān)注學(xué)生視力情況的，但試題中的主要問(wèn)題都只是關(guān)注樣本的具體數(shù)量，其結(jié)果對(duì)從事這項(xiàng)調(diào)查活動(dòng)的初衷似乎幫助不大，不能體現(xiàn)抽樣調(diào)查目的是“借助樣本了解總體”這一基本統(tǒng)計(jì)思想。

（3）簡(jiǎn)單借用陳題。

應(yīng)當(dāng)說(shuō)，模仿成功的命題方法或一道良好試題的基本結(jié)構(gòu)模式是快速編擬試題的一種有效方法，在一般性試題的編制中常常使用，而在學(xué)業(yè)考試這種具有高利害關(guān)系的試題的編制中則需要審慎而行。但有一些實(shí)驗(yàn)區(qū)的試卷中出現(xiàn)了基本照搬往年其他地區(qū)個(gè)別中考試題的情況，應(yīng)當(dāng)予以改進(jìn)。

一般而言，在編制主觀性試題時(shí)，如果要借鑒某種命題方法或使用某道先前的試題（包括其有價(jià)值的構(gòu)思方式）時(shí)，一定要對(duì)問(wèn)題情景或設(shè)問(wèn)方式做較大的改變，即在借鑒時(shí)應(yīng)做帶有實(shí)質(zhì)性的替換或改造工作，否則，就會(huì)不恰當(dāng)?shù)胤糯罂荚噷?duì)教學(xué)的負(fù)面影響———導(dǎo)致實(shí)際教學(xué)中的大運(yùn)動(dòng)量、覆蓋式的題海訓(xùn)練，而不利于引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注對(duì)數(shù)學(xué)的理解，從而真正提高其數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（4）題型選用不當(dāng)。

【點(diǎn)評(píng)】本題有不少可取之處，如果學(xué)生先解出帶參數(shù)的不等式后，再提供觀察圖形，求解方程以確定a的取值，那么就較好地考查了幾方面的知識(shí)、技能與某些思想方法，是有價(jià)值的;如果學(xué)生將數(shù)據(jù)逐個(gè)代入驗(yàn)證以得出答案，就僅僅考查了解簡(jiǎn)單不等式的技能，兩種方法在思維能力的表現(xiàn)上差異較大。如果命題者以考查前者為目標(biāo)，而設(shè)置成了選擇題，那么就大大降低了試題的效度;如果命題者一開始就認(rèn)為這兩種解答都是合理的，后者可以考查學(xué)生的機(jī)靈性，那么就會(huì)在一定程度上引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注應(yīng)試技巧而不是數(shù)學(xué)能力本身，這一導(dǎo)向是不值得提倡的。實(shí)際上，將本題改成填空題后，上述問(wèn)題就解決了?？梢娨_(dá)到合理的考查目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)念}型也是非常重要的。不同的題型有不同的功能，這是在命題時(shí)要有所考慮的。

此外，還存在著某些試題的表述還不夠嚴(yán)謹(jǐn)、脫離學(xué)生實(shí)際的現(xiàn)象，這些都需要努力加以改進(jìn)。

2.需要研究的問(wèn)題。

2004年的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試試卷表現(xiàn)出了許多新穎且富有價(jià)值的特點(diǎn)與形式，各地在學(xué)業(yè)考試的命題過(guò)程中，勇于實(shí)踐、大膽創(chuàng)新，提出了許多比較有效或值得探討的命題思路和方法，也命制了許多好題和新題。但也應(yīng)當(dāng)看到，基于《標(biāo)準(zhǔn)》的命題工作總體上還處于探索的階段，不可避免地存在著“摸著石頭過(guò)河的現(xiàn)象，因而出現(xiàn)一些問(wèn)題也是很正常的，特別是那些屬于“前進(jìn)中的問(wèn)題”。為了盡快提升數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試試題編制水平，促進(jìn)命題工作的規(guī)范性和高效性，現(xiàn)提出如下一些具體問(wèn)題供老師們研討。

（1）關(guān)于應(yīng)用性試題。

作為一種嘗試，在中考和學(xué)業(yè)考試的數(shù)學(xué)試卷中加入應(yīng)用性試題已經(jīng)得到了廣泛的認(rèn)同。但因此而產(chǎn)生的許多問(wèn)題也是需要我們共同研究的，如：

——應(yīng)用性試題通常有一定的文字閱讀量，文字量的多少、文字表述的可理解性等等，都會(huì)影響著學(xué)生的答題水平。

那么，就一道題目而言，文字量大體上在什么范圍內(nèi)才合理？——應(yīng)用性試題常常有一個(gè)相對(duì)“真實(shí)”的背景解題都是在理解背景“真實(shí)”含義的基礎(chǔ)之上進(jìn)行的而對(duì)背景“真實(shí)”含義的理解也是造成學(xué)生解答試題的又一個(gè)重要障礙，因此，怎樣在“背景真實(shí)性”與“問(wèn)題可理解性”之間形成一種平衡？（2）關(guān)于個(gè)性化評(píng)價(jià)。關(guān)注對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面?zhèn)€性特征的考查無(wú)疑是值得提倡的。

但是，在具體實(shí)施過(guò)程中，我們也面臨著許多需要進(jìn)一步研究的問(wèn)題：

———在設(shè)立自主選擇試題的過(guò)程中，從什么角度設(shè)置不同的供選擇試題？如何保證不同試題之間的公平性如何保證在考查能力方面的等價(jià)性與信度？所賦予的分值是否等價(jià)、給不同的試題賦予了不同的分值是否合理？

———開放性試題的結(jié)構(gòu)常常有一定的“不確定性”那么，“開放性試題”的表述怎樣才是恰當(dāng)?shù)摹冉o學(xué)生以充分的理解空間，又不至于造成對(duì)問(wèn)題的不理解？怎樣的開放題才是有價(jià)值的？如何把握“開放”的方向和程度，才是適宜的？怎樣保證開放題的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)合理、有效———給具有不同理解深度的答案賦予不同的分值，鼓勵(lì)考生充分發(fā)揮自己的才能，給出自己的“最佳”答案或“最富有創(chuàng)意”的答案？

三、展望2005年數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試。

展望2005年的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試，我們可以看到一方面，各地的命題將繼承和發(fā)展2004年值得倡導(dǎo)的做法;另一方面，《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的建議《2005年課程改革實(shí)驗(yàn)區(qū)初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)考試命題指導(dǎo)》（以下簡(jiǎn)稱《命題指導(dǎo)》）的精神和建議也將對(duì)各地的命題工作帶來(lái)較為明顯的影響。這里，我們將著重探索基于《標(biāo)準(zhǔn)》和《命題指導(dǎo)》的主要精神來(lái)命題，將可能使哪些方面成為考查的重心。

1.《標(biāo)準(zhǔn)》中的核心內(nèi)容將仍然是評(píng)價(jià)的重心之一。

正如前文所述，《標(biāo)準(zhǔn)》中的核心內(nèi)容（包括知識(shí)、技能、方法等層面）是指重要的而不僅僅是基礎(chǔ)的內(nèi)容，讓學(xué)生掌握這些內(nèi)容無(wú)疑是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要使命之一，當(dāng)然也就成為評(píng)價(jià)的重心之一。例如：

———代數(shù)運(yùn)算：理解運(yùn)算的意義、算理，合理地進(jìn)行基本運(yùn)算與估算;在實(shí)際情境中有效地使用代數(shù)運(yùn)算、代數(shù)模型及相關(guān)概念解決問(wèn)題，等等。這些應(yīng)當(dāng)是考查“代數(shù)運(yùn)算”學(xué)習(xí)的重心所在。

例：請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種合理的方法，估計(jì)一下一個(gè)行進(jìn)在小雨中的人5分鐘內(nèi)身上淋到的雨的質(zhì)量，簡(jiǎn)要敘述估算的過(guò)程。

例：算式2²+2²+2²+2²的結(jié)果是（）。

A.2⁴B.8⁴C.2⁸D.2¹⁶

———方程與不等式：求解基本的方程與不等式，并利用它們解決問(wèn)題會(huì)成為這部分內(nèi)容的考查要點(diǎn)。

例：設(shè)“●”、“▲”、“■”表示三種不同的物體，現(xiàn)用天平稱了兩次，情況如圖所示，那么●、▲、■這三種物體按質(zhì)量從大到小的順序排列應(yīng)為（）。

———函數(shù)：關(guān)注探索與表達(dá)給定的情境中（圖象、語(yǔ)言、活動(dòng)過(guò)程等）存在的數(shù)量關(guān)系及變化規(guī)律。

例：閱讀材料，解答問(wèn)題。

材料：小聰設(shè)計(jì)的一個(gè)電子游戲是：一電子跳蚤從點(diǎn)P1（-3，9）開始，按點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次增加1的規(guī)律，在拋物線y=x2上向右跳動(dòng)，得到點(diǎn)P2、P3、P4、P5……（如圖12所示）。

過(guò)P1、P2、P3分別作P1H1、P2H2、P3H3垂直于x軸，垂足為H1、H2、H3，

問(wèn)題：（1）求四邊形P1P2P3P4和P2P3P4P5的面積（要求：寫出其中一個(gè)四邊形面積的求解過(guò)程，另一個(gè)直接寫出答案）;（2）猜想四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2的面梯形P1H1H3P3S△P1P2P3S=-梯形P1H1H2P2S-梯形P2H2H3P3S=（9+1）×2-（9+4）×1-（4+1）×1121212=1●●●▲●▲■▲■■▲xy0P5P7P649P3P1P2-1-2-3（P4）圖12H3H2H1ABCEDF-2-101234-2-101234甲乙xyPn+2Pn+1PnPn-10圖13積，并說(shuō)明理由（利用圖13）;（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2+bx+c，其他條件不變，猜想四邊形Pn-1PnPn+1Pn+2的面積（直接寫出答案）。

———空間觀念：使用不同的方式表達(dá)幾何對(duì)象的大小、形狀和相對(duì)位置關(guān)系;進(jìn)行幾何圖形的分解與組合;理解對(duì)稱等重要的幾何觀念;對(duì)某些圖形進(jìn)行簡(jiǎn)單的變換，并借此解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

例：請(qǐng)畫出一個(gè)只有兩條對(duì)稱軸的六邊形。

———數(shù)學(xué)證明：能夠借助數(shù)學(xué)證明的方法確認(rèn)數(shù)學(xué)命題的正確性，包括探索命題與證明命題的正確性。

例：如圖，AB=AC，D、E分別是線段AC、AB上的點(diǎn)，且AD=AE，BD交CE于F，試在圖中找出3對(duì)全等三角形和3個(gè)等腰三角形，并對(duì)其中一個(gè)結(jié)論給出證明。

———數(shù)據(jù)處理：理解統(tǒng)計(jì)量的意義，能夠結(jié)合實(shí)際需要有效地表達(dá)數(shù)據(jù)特征，會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)結(jié)果做合理的預(yù)測(cè)。

例：不通過(guò)計(jì)算，比較下圖中甲、乙兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。

例：據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局?jǐn)?shù)據(jù)分析表明：2004年底我國(guó)大陸人口達(dá)到129988萬(wàn)，平均每天凈增人口約2.08萬(wàn)。

（1）你能據(jù)此預(yù)測(cè)我國(guó)大陸哪一天達(dá)到13億人口嗎？說(shuō)說(shuō)你是如何估計(jì)的。

（2）據(jù)報(bào)道，1月6日0時(shí)02分，北京婦產(chǎn)醫(yī)院出生了一名男嬰，有關(guān)部門向其頒發(fā)我國(guó)大陸第13億個(gè)公民證書。

你如何看待這件事情，你能從統(tǒng)計(jì)的角度提出幾個(gè)問(wèn)題嗎？———概率：了解概率的基本含義，能夠借助概率模型或通過(guò)設(shè)計(jì)具體活動(dòng)解釋一些事件發(fā)生的可能性、求解相應(yīng)的概率值。

例：通過(guò)學(xué)習(xí)，小明知道隨機(jī)地拋擲一枚均勻的硬幣，落地后國(guó)徽朝上和朝下的概率相等?？墒切∶髯隽?00次實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其中52次國(guó)徽朝上，48次國(guó)徽朝下。

因此，他認(rèn)為這枚硬幣不均勻，你的觀點(diǎn)如何，說(shuō)說(shuō)你的理由。有條件的地區(qū)還應(yīng)當(dāng)考查學(xué)生能否使用計(jì)算器解圖160°120°圖2決相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題和從事有關(guān)探索規(guī)律的活動(dòng)。

例：已知方程x3+2x-15=0恰有一個(gè)正根，請(qǐng)利用計(jì)算器估計(jì)該根的大?。ㄒ笳`差小于0.05），并寫出你的估算過(guò)程。

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程。

作為《標(biāo)準(zhǔn)》提出的一個(gè)新的課程目標(biāo)，學(xué)生從事數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的過(guò)程應(yīng)當(dāng)納入我們的評(píng)價(jià)視野，具體說(shuō)來(lái)，根據(jù)《命題指導(dǎo)》，以下方面將成為考查的指標(biāo)：學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中所表現(xiàn)出來(lái)的思維方式、思維水平，對(duì)活動(dòng)對(duì)象、相關(guān)知識(shí)與方法的理解深度;從事探究、證明等活動(dòng)的意識(shí)、能力和信心等都可以成為考查對(duì)象，問(wèn)題是怎么考。我們認(rèn)為：能否通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等活動(dòng)獲得數(shù)學(xué)猜想，并尋求證明猜想的合理性;能否使用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)語(yǔ)言有條理地表達(dá)自己的數(shù)學(xué)思考過(guò)程，可以成為具體的命題思路。

例如，設(shè)計(jì)一個(gè)“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)———或者是猜測(cè)與證明一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律，或者是設(shè)計(jì)一個(gè)解釋現(xiàn)象（問(wèn)題）特征的數(shù)學(xué)模型，或者是尋找一個(gè)解決問(wèn)題的途徑、方案。又如，設(shè)計(jì)一些多層次的問(wèn)題，使學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程中暴露自己的思維活動(dòng)過(guò)程，從而進(jìn)行有關(guān)過(guò)程性目標(biāo)的考查。

例：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求同學(xué)們先做下面的“循環(huán)分割”操作，然后再探索規(guī)律。

圖1是一張等腰梯形紙片，其腰長(zhǎng)與上底長(zhǎng)相等，且底角分別為60°和120°，按要求開始操作（每次分割，紙片均不得留有剩余）：

第1次分割：先將原等腰梯形紙片分割成3個(gè)全等的正三角形，然后將分割出的一個(gè)正三角形分割成3個(gè)全等的等腰梯形;第2次分割：先將上次分割出的3個(gè)等腰梯形中的一個(gè)分割成3個(gè)全等的正三角形;然后將剛分割出的一個(gè)正三角形分割成3個(gè)全等的等腰三角形。

以后按第2次分割的方法進(jìn)行下去……（1）請(qǐng)你在圖2中畫出第一次分割的方案圖。

（2）若原等腰梯形的面積為a，請(qǐng)你通過(guò)操作、觀察，將第2次、第3次分割后所得的一個(gè)最小等腰梯形面積分別填入下表：

（3）請(qǐng)你猜想，分割所得的一個(gè)最小等腰梯形面分割次數(shù)（n）123…一個(gè)最小等腰梯形面積（S）19a…積S與分割次數(shù)n有何關(guān)系？（請(qǐng)直接用含a的式子表示，不需寫推理過(guò)程。）

3.解決問(wèn)題。

這一方面的考查指標(biāo)在近年來(lái)的各地中考試卷中屢有涉及，而從《標(biāo)準(zhǔn)》的角度，對(duì)于考查指標(biāo)，可以更多地關(guān)注：能否從數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題、理解問(wèn)題并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，是否具有一定的解決問(wèn)題的基本策略，能否合乎邏輯地與他人交流，具有初步的反思意識(shí)等等，而在試題呈現(xiàn)的素材方面，更多地體現(xiàn)學(xué)生的現(xiàn)實(shí)性;對(duì)試題求解的要求也多樣化。

例：如圖1，過(guò)正方形ABCD中某點(diǎn)O任作直線m交AD和BC于H、F，過(guò)點(diǎn)O作HF的垂線n交AB、CD于E、G。

（1）觀察、猜想EG與FH之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

（2）當(dāng)點(diǎn)O沿HF向F移動(dòng)時(shí)，由題意確定的相應(yīng)直線n也在變化，當(dāng)直線n與線段AB沒有交點(diǎn)時(shí)，你能得到與（1）類似的結(jié)論嗎？證明這個(gè)結(jié)論并說(shuō)說(shuō)類似的理由。

（3）如圖2，點(diǎn)E、F在DA和CB的延長(zhǎng)線上。

現(xiàn)僅有能畫直角的工具，你如何在DC或者其延長(zhǎng)線上找到一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到EF的距離等于EF。

需要指出的是，限于篇幅，這里所探討的考查內(nèi)容并沒有覆蓋《標(biāo)準(zhǔn)》所要求的所有重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，事實(shí)上，許多應(yīng)當(dāng)考查的知識(shí)（包括概念、定理、法則等）和方法都沒有列入，但它們必將在試卷中出現(xiàn)。