數(shù)：宛若人生

柯　耳

擺在我面前的是一本很破很舊的書：《數(shù)，科學(xué)的語言》，我讀她已經(jīng)十多遍了，每次都給我無窮的思索和掩飾不住的喜悅。我有一種強(qiáng)烈的沖動(dòng)，想把她推薦給所有想對數(shù)學(xué)有所了解的人。

該書作者丹齊克在數(shù)學(xué)界和數(shù)學(xué)哲學(xué)界都是一位名不見經(jīng)傳的人物。本書的標(biāo)題“數(shù)，科學(xué)的語言”也很容易使人誤認(rèn)為是專談“自然科學(xué)”的，從而令人文學(xué)者望而卻步。可是我覺得這本書是用數(shù)來詮釋人生，所以書名改為“數(shù)，人生的語言”或許更恰當(dāng)些。

從“譯者的話”看，蘇仲湘先生曾帶著極大的熱情研讀過該書，從中得到的智性上的歡娛或許更甚于我。他認(rèn)為該書“脈絡(luò)清明，條理詳晰，抑且目光四射，取材廣博，兼引文史，莊諧互出。”“內(nèi)容生動(dòng)廣博，深淺咸宜，專家們可以從中擷取豐富的材料，青少年和一般讀者可從中得到對數(shù)學(xué)乃至文化發(fā)展的了解，實(shí)可有助于窮搜原委，開闊眼界，豐富學(xué)養(yǎng)，剖析學(xué)理，有助于學(xué)習(xí)的探求和發(fā)展。”本文試圖對貫穿這本書的數(shù)與人生的主題作一概要的評述。

人是萬物的尺度

人類在進(jìn)化的蒙昧?xí)r期有一種感知層次上的數(shù)覺的才能：當(dāng)在一個(gè)小的集合里邊，增加或者減少一個(gè)東西，盡管他未曾直接知道增減，也能夠辨認(rèn)到其中有所變化。據(jù)動(dòng)物學(xué)家觀測，有幾種昆蟲和鳥也有這種“數(shù)覺”。但實(shí)驗(yàn)表明，不管是動(dòng)物還是人，數(shù)覺能力都是非常有限的。

那么是什么使我們贏得了用數(shù)來表達(dá)我們的宇宙的驚人成就呢?丹齊克認(rèn)為，經(jīng)歷了一連串漫長的特殊的環(huán)境，人類在極為有限的數(shù)覺之外，學(xué)會(huì)了另一種技巧來給他幫忙，這技巧就是計(jì)數(shù)。正是計(jì)數(shù)，才使具體的不同質(zhì)的表達(dá)多寡的概念結(jié)合為統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念。前者是原始人的特點(diǎn)，后者則是數(shù)學(xué)發(fā)展的前提。

用什么來計(jì)數(shù)呢?依據(jù)語言學(xué)家的研究，數(shù)學(xué)語言的結(jié)構(gòu)，幾乎是普遍一致的。無論什么地方，人的十根手指都留下了不可磨滅的印跡。我們的十根手指毫無疑義地影響了我們數(shù)制基底的“選擇”。除了十進(jìn)制外，還有其他兩種相當(dāng)普遍的基底，它們的特征相當(dāng)普遍地表明了我們計(jì)數(shù)方法的擬人化性質(zhì)，這就是五進(jìn)制和二十進(jìn)制。五進(jìn)制起源于慣用一只手計(jì)數(shù)的民族，二十進(jìn)制則起源于計(jì)數(shù)時(shí)手指腳趾并用的原始部族。

然而，從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，十進(jìn)制無論如何都不是一個(gè)很好的選擇，如果讓一群專家來選擇基底的話。實(shí)用家可能堅(jiān)持要用有最多因數(shù)的數(shù)，如十二，大博物學(xué)家畢封就曾經(jīng)提議舉世公用十二進(jìn)制。數(shù)學(xué)家則堅(jiān)持要用質(zhì)數(shù)，例如七或十一之類作基底，如數(shù)學(xué)家拉格朗日宣稱：用質(zhì)數(shù)作基底有絕大好處!可是，從文化史的觀點(diǎn)來看，改變數(shù)制的基底，即使可行，也是極不受歡迎的。計(jì)數(shù)這一人類精神生活的最重要方面之一，是起源于人類自身。設(shè)想要是人類沒有屈伸自如的手指，而只有兩只“不分關(guān)節(jié)”的禿拳，那么我們會(huì)采用什么進(jìn)制呢?

確定性與不確定性

人的命運(yùn)可以說從第一位舊石器時(shí)代的戰(zhàn)士偶然地被石塊絆倒時(shí)起就被說開了。一方面很多宗教都宣揚(yáng)人的命運(yùn)前定；另一方面，唯意志論者強(qiáng)調(diào)自由意志的作用，好像人的命運(yùn)完全由自己所把握。當(dāng)你我處在人生的十字路口，面臨多種選擇時(shí)只能選擇其中一條路，所以經(jīng)常有人感嘆：“假如我當(dāng)初……”然而由于時(shí)間的不可逆性，這種“假如”是根本不存在的，因?yàn)槊總€(gè)人的人生只有—條軌跡。這一條道路是上帝決定的還是你自己決定的呢?爭論是無止境的。但是我們從可預(yù)見性來看，人的命運(yùn)的確定性和不確定性并存。數(shù)，非常準(zhǔn)確地刻畫了我們?nèi)祟愃幍臓顟B(tài)。

自然數(shù)序列乃是算術(shù)的基礎(chǔ)。算術(shù)以其法則的極大普遍性和簡單性，使得最笨的人也能領(lǐng)悟，其道理就在于機(jī)械性。丹齊克引用芝諾的話，“說過一遍的話可以永遠(yuǎn)重復(fù)”，以說明自然數(shù)序列的哲學(xué)基礎(chǔ)：“當(dāng)一個(gè)動(dòng)作一旦可能，我們的心靈就能夠設(shè)想這個(gè)動(dòng)作的無限次重復(fù)?！边@就是對將來確定性的把握。

另一方面，質(zhì)數(shù)序列是數(shù)論的基石。數(shù)論是數(shù)學(xué)中所有部門里面最最難的一門，其所以難，是因?yàn)樗懈嗟膶?shí)驗(yàn)科學(xué)的氣味。數(shù)論中很多問題，如哥德巴赫猜想，至今仍在向許多最偉大的數(shù)學(xué)家的能力挑戰(zhàn)。質(zhì)數(shù)的序列，我們已經(jīng)證明是無限的，然而若干世紀(jì)以來，人們千方百計(jì)企圖找出一個(gè)適用于所有質(zhì)數(shù)的普遍的數(shù)學(xué)公式，以便對質(zhì)數(shù)有一個(gè)確定的把握，然而各種嘗試都失敗了。我們已經(jīng)找到的最大質(zhì)數(shù)是2756839－1，然而我們要想找到下一個(gè)質(zhì)數(shù)卻不知何時(shí)。它不像我們對偶數(shù)的尋找，當(dāng)我們說第n個(gè)偶數(shù)是2n，那么我們一定知道下一個(gè)偶數(shù)是2n＋2，對于偶數(shù)的序列我們可以心滿意足地說：“我們?nèi)贾懒??！睂ふ屹|(zhì)數(shù)倒像我們對明天所作的判斷一樣?！懊魈鞎?huì)出太陽，是一種假設(shè)；也就是說，我們不知道它是否會(huì)出來”(維特根斯坦)。人的命運(yùn)若說是早已注定的，但我們現(xiàn)在并不能預(yù)見將來怎么樣；然而若你說它是不確定的，由于人生的不可逆性，好像早就確定了下來，但這種確定并不是我們自己所能把握的，正像全部質(zhì)數(shù)序列超出我們?nèi)祟惏盐盏哪芰σ粯印?/p>

從微觀上看，這種確定性和不確定性表現(xiàn)在有理數(shù)和無理數(shù)的小數(shù)表示上。有理數(shù)等價(jià)于無限循環(huán)小數(shù)。通過把有理數(shù)化為小數(shù)，我們就得到有理數(shù)的循環(huán)性，序列的確定性。然而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)。沒有一個(gè)無理數(shù)的小數(shù)表示實(shí)質(zhì)上能被我們準(zhǔn)確掌握住的，它意味著不確定性。圓周率的小數(shù)表示仍然是數(shù)學(xué)的一個(gè)研究領(lǐng)域，我們只能算到哪兒說哪兒。

持決定論的人認(rèn)為一切都是必然的，沒有偶然性，“任何一個(gè)被我們稱之為偶然性的東西，其惟一的原因都是由于我們?nèi)狈ν陚涞闹R”(斯賓諾莎)。在數(shù)學(xué)上，人們確實(shí)曾經(jīng)嘗試用確定的、有限的方法來把握全部質(zhì)數(shù)序列和無理數(shù)，然而一次次我們失敗了。用康托爾的話說，我們對無理數(shù)的把握要用到無限算法。黑格爾用“惡無限”來表達(dá)對偶然性的厭惡，“總有新鮮的血液不斷循環(huán)，這樣下去真會(huì)使人發(fā)癲”。

然而我們確確實(shí)實(shí)知道，今天與昨天不一樣，有很多事情是先前未預(yù)見到的，也就是說偶然性占據(jù)了我們的生活。

丹齊克從狄德金分劃對實(shí)數(shù)的刻劃為此作了一個(gè)非常巧妙的解說。狄德金公理：“若將直線上的所有點(diǎn)分為兩組，使第一組上各點(diǎn)都在第二組各點(diǎn)之左，則有且僅有一點(diǎn)能產(chǎn)生此種分劃法，而使所有各點(diǎn)分為兩組，并使直線截為兩段。”這條公理恰是我們賦予時(shí)間以基本性質(zhì)的一個(gè)巧妙解說。我們的直覺能教我們用心理的動(dòng)作將所有的時(shí)間劃分為兩組，即過去與將來，二者互不相容，總括起來則包括了整個(gè)的時(shí)間永恒?，F(xiàn)刻就是分離一切過去和一切未來的分劃：過去的每一瞬間都曾經(jīng)當(dāng)過—次現(xiàn)刻。未來的每瞬間轉(zhuǎn)眼又將是一次現(xiàn)刻，所以每一瞬間本身又都可以作這樣的一個(gè)分劃法。然而有理數(shù)分劃所產(chǎn)生的有理數(shù)和無理數(shù)分劃所產(chǎn)生的無理數(shù)卻有一個(gè)根本的區(qū)別。產(chǎn)生有理數(shù)分劃的數(shù)本身是屬于兩組中的一組，猶如一位政治家分裂一政黨，自己參加了右翼或者左翼；產(chǎn)生無理數(shù)分劃的數(shù)則完全是黨外的：猶如一個(gè)爭論使政黨分裂，爭論本身卻既不屬于左翼，也不屬于右翼。有理數(shù)的特點(diǎn)在于它屬于一組，而無理數(shù)的特點(diǎn)則恰在于它不屬于任何一組。將它們賦予時(shí)間，則有理數(shù)說明現(xiàn)在或者是過去產(chǎn)生的結(jié)果和延續(xù)，或者是將來產(chǎn)生的原因和開始；而無理數(shù)卻意味著現(xiàn)在既不屬于過去也不屬于將來，即現(xiàn)在既不是過去的結(jié)果也不是將來的原因。丹齊克說：“還有一層，雖然看來是荒謬的，然而在狄德金所用的意義上，現(xiàn)刻則是真正的無理數(shù)。因?yàn)樽鳛榉謩?，它既不屬于過去，也不屬于未來。所以在一種以純粹時(shí)間為基礎(chǔ)的算術(shù)，又如果這種算術(shù)是可能的話，則在這種算術(shù)里，無理數(shù)才是當(dāng)然之事，而我們邏輯性所努力尋求的原將是致力于建立有理數(shù)的存在?！?/p>

人生的確定性與不確定性像一塊金幣的兩面一樣是嵌鑲在一起的!

約束與自由

我們的數(shù)學(xué)教科書給人的印象是：數(shù)學(xué)家們幾乎理所當(dāng)然地從自然數(shù)到無理數(shù)，又從無理數(shù)到超限數(shù)。然而丹齊克向我們揭示：數(shù)的進(jìn)化充滿了蒙昧和偏見，健全的判斷經(jīng)常因效忠于傳統(tǒng)而被淹沒，理性長期屈服于習(xí)俗。

縱觀數(shù)的進(jìn)化史，從自然數(shù)是“自自然然的數(shù)”，到畢達(dá)哥拉斯的“萬物皆數(shù)”中的數(shù)，指的是“有理的”數(shù)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)成員希波蘇斯發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的斜邊無法用直角邊度量從而發(fā)現(xiàn)了另一種數(shù)——“無理取鬧的”數(shù)，據(jù)說希波蘇斯就因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)被扔到大海里，因?yàn)樗谟钪骈g搞出了這樣—個(gè)東西否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。經(jīng)過若干世紀(jì)，人們慢慢接受了無理數(shù)，并被認(rèn)為是實(shí)在的一部分，于是把有理數(shù)和無理數(shù)稱為“實(shí)實(shí)在在的”數(shù)。再后來發(fā)現(xiàn)*.1的平方根不是實(shí)數(shù)，于是取了一個(gè)諢名“虛無縹緲的”數(shù)，好像數(shù)學(xué)家在選用這個(gè)術(shù)語時(shí)就自認(rèn)這種數(shù)量的虛幻性了。

到十九世紀(jì)，大多數(shù)數(shù)學(xué)家如柯西、高斯等都認(rèn)為無限只不過是言語上的一個(gè)比喻，而決不是數(shù)學(xué)的對象。然而康托爾經(jīng)過多年的深思熟慮，將無限劃分為幾個(gè)層次，創(chuàng)立了超限數(shù)理論。

康托爾說過一句令那些想開拓新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的人激動(dòng)不已的名言：“數(shù)學(xué)的精髓在于它的自由。”數(shù)學(xué)是真正自由的嗎?自從有數(shù)學(xué)始，數(shù)學(xué)家群體正像一般的社會(huì)群體一樣總是分裂為保守派和自由派，當(dāng)我們用3去減2，求2、*.1的平方根，將無限作為完成的整體時(shí)，我們都面臨著“可能與不可能”的激烈交鋒?，F(xiàn)在我們知道，可能性與不可能性僅有相對的意義，不可能性幾乎永遠(yuǎn)是某種限制產(chǎn)生的結(jié)果，這種限制通常被傳統(tǒng)神圣化了，以致好像其本性就是如此，一旦除去限制，不可能性就消失了。但是我們每次從不可能到可能的同時(shí)又設(shè)置了新的不可能性障礙。被認(rèn)為最富有革命精神的超限數(shù)理論打破了“整體大于部分”的信條，但它仍保留了一條最重要的原則：一一對應(yīng)。

這種限制和自由存在于人類生活的方方面面，從法律到道德，既有一定的限制又有一定的自由。美國詩人弗羅斯特寫道：

一個(gè)人堅(jiān)持認(rèn)為，

有的東西就是不愛墻壁，

另一個(gè)人則堅(jiān)持

圍墻完好，鄰居和睦。

盡管這兩種說法似乎正好針鋒相對，但這兩者卻都是千真萬確的，人的生活中不能沒有墻壁——對于他們的自由的限制。但同時(shí)他們又反對所有的約束，一旦取消了約束，他們就感到快活!

數(shù)是我們的尺度

通過除去限制，我們從自然數(shù)得到整數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、虛數(shù)，再從有限數(shù)到超限數(shù)。那么這些數(shù)是不是客觀實(shí)在的呢?丹齊克認(rèn)為，除去一切形而上學(xué)廢話，除去哲學(xué)的行話，“我們稱作客觀實(shí)在的東西，歸根結(jié)底，就是許多能思維的生物所共有的東西，就是一切能思維的生物所能夠共有的東西”。

對于古希臘普通數(shù)學(xué)家不能理解的無理數(shù)，現(xiàn)在是有文化的人智力的一部分。僅僅一百年前，康托爾創(chuàng)立超限數(shù)時(shí)還是孤軍奮戰(zhàn)，其阻力曾使康托爾精神崩潰，然而康托爾的無限理論現(xiàn)在已被作為正統(tǒng)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，連伽利略、柯西、高斯這些大數(shù)學(xué)家也不能理解的東西，我們數(shù)學(xué)系的大學(xué)生可以與人津津有味地談?wù)摕o限的幾個(gè)層次了，好像是真的一樣，如果有人持異議的話，恐怕他不能搞這一行了。

今日的實(shí)在不過是昨日的幻象，然而它并不是素來如此熟悉的。在某個(gè)時(shí)代，它也教人迷茫不安，直到后來我們給它一種更為原始的幻象為止，這最后的一種又是曾經(jīng)經(jīng)過若干世紀(jì)的習(xí)慣才變成具體的。丹齊克由此得出他的實(shí)用主義哲學(xué)，幻象之能存留著，在于它可以幫助我們組織、整理和支配我們的經(jīng)驗(yàn)，因而對于人類的生存大有裨益。能夠保持和促進(jìn)人類的生存的就可以繁榮生長，從而贏得實(shí)在性的權(quán)利。

這種觀念使我終于理解了科學(xué)革命的本質(zhì)：“一個(gè)新的科學(xué)真理并不是靠使它的對手信服，并使他們領(lǐng)悟而獲勝的，不如說是因?yàn)樗膶κ纸K于死了，而熟悉這個(gè)真理的新的一代成長起來?！睌?shù)學(xué)家魏爾和波利亞就曾經(jīng)為數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)定理的實(shí)在性打賭，其標(biāo)準(zhǔn)就是幾十年后接受該定理的數(shù)學(xué)家的人數(shù)的多寡。

為什么我們要倡導(dǎo)學(xué)術(shù)自由呢?因?yàn)槲覀円试S新的觀念有一個(gè)可能由少數(shù)人接受變多數(shù)人接受的機(jī)會(huì)，這樣人類才會(huì)不斷進(jìn)步。所以客觀實(shí)在不過是一個(gè)民主的選擇罷了。當(dāng)你因?yàn)槟阋暈榧t的卻被我視為綠的就宣稱我是一個(gè)色盲時(shí)，如果不采取服從多數(shù)的方法，你又怎能證明你的判斷是真的呢?數(shù)，變成了我們的尺度!

當(dāng)我得出這么—種哲學(xué)的時(shí)候，又有誰否認(rèn)我不是因?yàn)樘煜ち恕稊?shù)，科學(xué)的語言》呢!

《數(shù)、科學(xué)的語言》【美】T.丹齊克著，蘇仲湘譯，商務(wù)印書館一九八五年四月第一版，1.55元。