略談多體平拋運動問題的求解

河北 陳寶友

所謂多體平拋運動問題，是指多個物體在同一豎直平面內(nèi)平拋時所涉及的問題。常見的多體平拋運動一般有如下幾種情況，我們分別進(jìn)行討論：

一、物體同時從同一點 (或同一高度)拋出

若兩物體同時從同一點 (或同一高度)拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運動。

【例1】(2017·全國卷Ⅰ第15題)發(fā)球機(jī)從同一高度向正前方依次水平射出兩個速度不同的乒乓球(忽略空氣的影響)。速度較大的球越過球網(wǎng)，速度較小的球沒有越過球網(wǎng)。其原因是

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A.速度較小的球下降相同距離所用的時間較多

B.速度較小的球在下降相同距離時在豎直方向上的速度較大

C.速度較大的球通過同一水平距離所用的時間較少

D.速度較大的球在相同時間間隔內(nèi)下降的距離較大

【答案】C

【解析】本題考查平拋運動水平方向的運動規(guī)律。理論知識簡單，重點要理解題意，難在由題意分析出水平方向運動的特點。由題意知，速度大的球先過球網(wǎng)，即同樣的時間速度大的球水平位移大，或者同樣的水平距離速度大的球用時少，故C正確，ABD錯誤。

【例2】(2017·江蘇卷第2題)如圖1所示，A、B兩小球從相同高度同時水平拋出，經(jīng)過時間t在空中相遇，若兩球的拋出速度都變?yōu)樵瓉淼?倍，則兩球從拋出到相遇經(jīng)過的時間

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圖1

【答案】C

【解析】本題的關(guān)鍵信息是兩球運動時間相同，水平位移之和不變。設(shè)第一次拋出時A球的速度為v1，B球的速度為v2，則A、B間的水平距離x=(v1+v2)t，第二次兩球的速度為第一次的2倍，但兩球間的水平距離不變，則x=2(v1+v2)T，聯(lián)立得T=t2，所以C正確，ABD錯誤。

【例3】如圖2所示，半圓形容器豎直放置，從其圓心O點處分別以水平初速度v1、v2拋出兩個小球(可視為質(zhì)點)，最終它們分別落在圓弧上的A點和B點，已知OA與OB互相垂直，且OA與豎直方向成θ角，則兩小球的初速度之比為

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圖2

【答案】C

二、物體從不同高度拋出

若兩物體同時從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運動和豎直高度差決定。

【例4】(2012·全國卷第15題)如圖3，x軸在水平地面內(nèi)，y軸沿豎直方向。圖中畫出了從y軸上沿x軸正向拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡，其中b和c是從同一點拋出的。不計空氣阻力，則

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圖3

A.a的飛行時間比b的長

B.b和c的飛行時間相同

C.a的水平速度比b的小

D.b的初速度比c的大

【答案】BD

【例5】如圖4所示，在距水平地面分別為H和4H的高度處，同時將質(zhì)量相同的a、b兩小球以相同的初速度水平拋出，則以下判斷正確的是

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圖4

A.a、b兩小球同時落地

B.兩小球落地速度的方向相同

C.a、b兩小球水平位移之比為1∶2

D.a、b兩小球水平位移之比為1∶4

【答案】C

三、物體從同一點先后拋出

若兩物體從同一點先后拋出，兩物體豎直高度差隨時間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運動和豎直分運動。

【例6】如圖5，水平地面上有一個坑，其豎直截面為半圓，圓心為O，AB為沿水平方向的直徑。若在A點以初速度v1沿AB方向拋出一小球，小球運動t1時間后擊中坑壁上的C點;若在A點以較大的初速度v2沿AB方向拋出另一小球，小球運動t2時間后擊中坑壁上的D點。已知OC、OD與AB的夾角均為60°，不計空氣阻力，則t1∶t2= ，v1∶v2= 。

圖5

【答案】1∶1 1∶3

【例7】如圖6所示，一架在2 000 m高空以200 m/s的速度水平勻速飛行的轟炸機(jī)，要想用兩枚炸彈分別炸山腳和山頂?shù)哪繕?biāo)A和B，已知山高720 m，山腳與山頂?shù)乃骄嚯x為1 000 m，若不計空氣阻力，g取10 m/s2，則投彈的時間間隔應(yīng)為

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圖6

A.4 s B.5 s C.9 s D.16 s

【答案】C

四、物體從不同高度先后拋出

若兩物體從不同高度先后拋出，可以比較兩物體豎直高度及兩物體的水平位移的大小關(guān)系，然后進(jìn)行分析判斷。

【例8】甲、乙兩球位于同一豎直線上的不同位置，甲比乙高h(yuǎn)，如圖7所示，將甲、乙兩球分別以v1、v2的初速度沿同一水平方向拋出，不計空氣阻力，下列條件中有可能使乙球擊中甲球的是

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圖7

A.同時拋出,且v1

B.甲比乙后拋出,且v1>v2

C.甲比乙早拋出,且v1>v2

D.甲比乙早拋出,且v1

【答案】D

【解析】兩球豎直方向均做自由落體運動，甲球由于位置比較高，所以必須甲比乙早拋出才可能相遇。因為水平位移相同，乙球的初速度必須大。顯然，本題正確答案為D。

【例9】如圖8所示，A、B兩點都在y軸上，它們的縱坐標(biāo)值分別為2.5h和2h。將兩個小球分別從A、B兩點沿水平方向拋出，它們在縱坐標(biāo)值為h的P點相遇。已知重力加速度為g，不計空氣阻力，關(guān)于兩小球拋出的時間間隔和拋出的初速度之比，下列說法正確的是

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圖8

【答案】AC

五、類平拋運動

將類平拋運動分解為沿初速度方向的勻速直線運動和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的勻加速直線運動。兩分運動彼此獨立，互不影響，且與合運動具有等時性。對于有些問題，可以過拋出點建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將加速度a分解為ax、ay，初速度v0分解為vx、vy，然后分別在x、y方向列方程求解。

【例10】(2014·山東卷第18題)如圖9，場強(qiáng)大小為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場中有一矩形區(qū)域abcd，水平邊ab長為s，豎直邊ad長為h。質(zhì)量均為m、帶電荷量分別為+q和-q的兩粒子，由a、c兩點先后沿ab和cd方向以速率v0進(jìn)入矩形區(qū)(兩粒子不同時出現(xiàn)在電場中)。不計重力，若兩粒子軌跡恰好相切，則v0等于

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圖9

【答案】B