一道含洛倫茲力的動力學問題分析

廣東 閔 鑫

一、速度時間關系與軌跡方程

對小球在管道內運動的任意時刻t分析

設小球速度與水平方向的夾角為θ，由題意小球水平方向速度滿足

小球位置坐標(x，y)

對小球在y軸方向上由牛頓第二定律有

聯(lián)立①③可以得到關于vy與時間t的微分方程

②⑤為軌跡的參數方程，聯(lián)立削去t即可得到軌跡方程

二、小球飛離塑料管道時速度的大小和方向

三、作用力F與時間關系、F做的功與時間關系

對小球在x方向上由牛頓第二定律

F-Bqvsinθ=ma⑥

注意到vy=vsinθ

由于塑料管質量不計，拉著管道的外力大小與⑦計算相同，則

①⑦帶入⑧得

重力做功與時間的關系

四、計算動能的變化以驗證洛倫茲力確實沒有做功

我們知道這個過程洛倫茲力總是與速度方向垂直，是不做功的！但是洛倫茲力不做功為什么小球的動能和勢能都增加了呢？先看下面的計算驗證

洛倫茲力確實是沒有做功的！

外力F做功消耗了其他形式的能，一部分轉化成了重力勢能，一部分轉化成了小球的動能。洛倫茲力的豎直分量做正功，水平分量做負功，總功為零。洛倫茲力的存在起到了傳遞能量的作用。

補充說明：洛倫茲力不做功不一定非要管道勻加速，不做功的本質原因是洛倫茲力總是與速度方向垂直。上面只是通過一個特例幫助同學們理解這一事實。

下面換一個方式來說明

取任意一小段時間Δt，在此小段時間內動能的變化

=mvxΔvx+mvyΔvy①

小球動量的變化是與洛倫茲力有關的，根據動量定理

mΔvx=(F-fx)Δt

mΔvy=(fy-mg)Δt②

由于洛倫茲力與速度垂直，如圖4

fx=Bqvsinθ=Bqvy

fy=Bqvcosθ=Bqvx③

聯(lián)立①②③得

ΔEk=(F-Bqvy)vxΔt+(Bqvx-mg)vyΔt

=FvxΔt-mgvyΔt

=FΔx+(-mgΔy)