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    循環(huán)ALC+的固定點存在性研究

    2015-09-30 09:28:50陳麗萍
    關(guān)鍵詞:固定點術(shù)語命題

    張 勇,陳麗萍

    (巢湖學(xué)院計算機(jī)與信息工程學(xué)院,安徽巢湖238000)

    描述邏輯[1]是一階謂詞邏輯的可判定子集,是語義Web本體語言O(shè)WL Lite和OWL DL的邏輯基礎(chǔ)[2-6].含有循環(huán)定義的描述邏輯一直是研究的難點[7-9],其中很多含有不同構(gòu)子及關(guān)系的語言不僅語義問題沒有得到很好解決,而且推理也存在困難.很多時候描述邏輯TBox中的循環(huán)[10-11]是有意義的,而且可以豐富和擴(kuò)充語言的表達(dá)力,降低知識庫的復(fù)雜度,特別是在具體的領(lǐng)域知識表示中.對于非循環(huán)TBox,每一個名稱符號都可用基本符號唯一表示,要給定TBox中所有基本符號解釋后,該TBox存在唯一模型[12],對其語義通常稱為描述語義.而對于含有循環(huán)定義的TBox則使用固定點[13-14]來刻畫循環(huán)定義的語義,模型擴(kuò)展集合上的偏序關(guān)系可以誘導(dǎo)出完備格,但是并不是每一個TBox都存在固定點模型,即使存在也不一定存在最大固定點模型或最小固定點模型.構(gòu)子(也稱算子)是描述邏輯表達(dá)能力和計算復(fù)雜性的決定性因素,表達(dá)能力的增強(qiáng)同時意味著推理復(fù)雜性的增強(qiáng).ALC是最小的命題封閉的描述邏輯語言[15],含有否定、交、并、值限定和存在性限定等構(gòu)子.在實際應(yīng)用中,傳遞關(guān)系經(jīng)常是存在的而且是有意義的,所以研究帶有傳遞關(guān)系的循環(huán)ALC其TBox固定點模型的存在性是有意義的.

    目前國內(nèi)對于描述邏輯的研究主要集中在基礎(chǔ)研究、擴(kuò)展研究和應(yīng)用研究,基礎(chǔ)研究主要針對描述邏輯的構(gòu)造算子、表示和推理的基本問題,擴(kuò)展研究主要應(yīng)用在時序擴(kuò)展[16]和模糊擴(kuò)展[17]等方面,應(yīng)用研究主要將描述邏輯做為領(lǐng)域中知識表示的工具.對于含有循環(huán)定義的描述邏輯目前很多語義及推理問題還沒有解決,當(dāng)前的研究主要集中在一些基本的理論問題[18-19].國內(nèi)也有學(xué)者研究了不帶有傳遞關(guān)系的循環(huán)描述邏輯模型的判定[20].帶有傳遞關(guān)系的循環(huán)描述邏輯研究也集中在推理方面,也有研究在帶有傳遞關(guān)系的循環(huán)描述邏輯中引入其他構(gòu)子[21],總體上對于固定點語義的研究主要針對ALC語言,沒有考慮傳遞關(guān)系,傳遞關(guān)系是一種特殊關(guān)系,可以很好增強(qiáng)語言的表達(dá)能力.為此,筆者研究了含有傳遞關(guān)系的ALC-TBox具有固定點語義的條件,由于否定構(gòu)子的存在,使得討論充要條件變得困難,提出了否定深度的算法,進(jìn)一步得出其固定點語義存在的充分非必要條件.

    1 ALC+語法及語義

    1.1 ALC+語法 描述邏輯中基本的描述是原子概念和原子關(guān)系,復(fù)雜的描述建立在基本的描述和算子之上.對于復(fù)雜描述主要由TBox和ABox組成,TBox又稱術(shù)語集,其術(shù)語定義是概念和關(guān)系之間的聯(lián)系,ABox是概念斷言的集合,其斷言是使得一個個體是TBox中一個給定概念描述的實例.

    定義1 TBox中出現(xiàn)在術(shù)語定義左側(cè)的概念稱為名稱符號,所有名稱符號集合記為NT;TBox中僅僅出現(xiàn)在術(shù)語定義右側(cè)的概念稱為基本符號,所有基本符號集合記為NB.

    定義2 TBox中任一個術(shù)語定義式,若術(shù)語定義左側(cè)的原子概念為A,A NT,定義函數(shù)f:NT→NT,f(A)表示該定義式右側(cè)的原子概念集合,f(A)?NT.若?A,B,C NT,B f(A),C f(B),則 C f(A).

    定義3 TBox中若存在定義式A≡T(A),使得A f(A),則稱該TBox為循環(huán)TBox.

    定義4 ?β NB,J是對 β的解釋,稱為基解釋,記為 βJ,βJ?ΔJ.?A NT,I是對A的解釋記為AI,AI?ΔI,若 ΔI=ΔJ,則稱 I是 J的一個擴(kuò)展.

    J所有擴(kuò)展的集合記為ExtJ,ExtJ={Ii|Ii是J的擴(kuò)展},如果一個TBox每一個基解釋僅有一個擴(kuò)展,則此擴(kuò)展是其一個模型,則稱該TBox是可定義的.

    定義5 A≡T(A)是TBox中一個術(shù)語定義式,J是TBox基解釋,J所有擴(kuò)展的集合為ExtJ,定義映射TJ:ExtJ→ExtJ,顯然若 IExtJ,TJ(I)ExtJ,TJ(I)由 ATJ(I)=T(A)I定義,如果 I=TJ(I),即 ?A NT,有AI=ATJ(I),那么,I是TJ的一個固定點.

    1.2 ALC+語義 ALC+解釋I=(ΔI,.I),解釋域ΔI由非空集合組成,解釋函數(shù).I將概念映射成ΔI的子集,將關(guān)系映射成ΔI×ΔI的子集,并且滿足下列語義(tr(R)表示R的傳遞閉包)

    2 ALC+的固定點語義的充分非必要條件

    命題1 循環(huán)ALC+-TBox,每一個術(shù)語定義式右邊所有名稱符號前不含否定構(gòu)子是TBox擁有固定點語義的充分非必要條件.

    證明 1)充分性

    設(shè)J是TBox的基本解釋,ExtJ表示J的所有擴(kuò)展集合.TJ:ExtJ→ ExtJ表示I到TJ(I)的映射,其中I ExtJ以下證明中簡記ExtJ為E,Ii為i,則IiExtJ可表示為i E.

    ExtJ上的偏序關(guān)系≤定義為:i≤j當(dāng)且僅當(dāng) Ai?Aj,其中 i,jExtJ,A NT,

    1)對于 0,1 E,定義 0= ∪iEi則 A0= ∪iEAi,1= ∩iEi則 A1= ∩iEAi,?i,j E,有 i≤0,j≤0,1≤i,1≤j,所以<E,≤ >是格.由數(shù)學(xué)歸納法易證E的任一有限非空子集必有上確界和下確界.所以<E,≤>是完備格.

    2)設(shè)A,B,C是原子概念,且每一個術(shù)語定義式右邊所有名稱符號前不含否定構(gòu)子,其中B,C可以是A,? i,j E,i≤j

    ①若 A≡B∩C,則 Ti(A)=Bi∩Ci,Tj(A)=Bi∩Cj,由于 Bi?Bj,Ci?Cj,顯然 Ti(A)?Tj(A);

    ②若 A≡B∪C,則 Ti(A)=Bi∪Ci,Tj(A)=Bi∪Cj,由于 Bi?Bj,Ci?Cj,顯然 Ti(A)?Tj(A);

    ③若 A≡?R.B,則 Ti(A)={x|? y Δi∧ < x,y > Ri→y Bi},由于 Bi?Bj,則若 y Bi必有 y Bj,則?x Ti(A),有?y Δj∧ <x,y> Rj→y Bj,所以 Ti(A)?Tj(A);

    ④若 A≡?R.B,則 Ti(A)={x|?y Δi∧ < x,y > Ri∧y Bi},由于 Bi?Bj,則若 y Bi必有 y Bj,則?x Ti(A),有?y Δj∧ <x,y> Rj∧y Bj,所以 Ti(A)?Tj(A);

    ⑤若A≡?R+.B,R+是特殊的R,所以由③得Ti(A)?Tj(A);

    ⑥若A≡?R+.B,R+是特殊的R,所以由④得Ti(A)?Tj(A).

    可知完備格<E,≤>上的函數(shù)E→E單調(diào).

    1)和2)根據(jù)Tarski固定點定理[15]有充分性成立.

    2)非必要性

    舉一反例:TBox僅含術(shù)語定義 A=?R.┐A,J是基解釋,I是 J的擴(kuò)展,ΔI={x,y},RI={<x,y>},AI={x},顯然I是TBox一固定點模型.

    由1)和2)命題得證.

    證畢.

    命題1考慮術(shù)語定義式右邊所有名稱符號前不含否定構(gòu)子的情形,對于含有否定構(gòu)子的情形,需考慮概念的否定深度.下面給出求TBox中每個概念的否定深度的算法:

    輸入 TBox中所有術(shù)語定義式.

    給術(shù)語定義式排序:使得前一個定義式右邊出現(xiàn)的某一名稱符號必出現(xiàn)在下一術(shù)語定義式的左邊,最后一個術(shù)語定義式右邊出現(xiàn)的名稱符號必出現(xiàn)在第一個術(shù)語定義式左邊;

    while(NiNT)

    if(Ni前有否定構(gòu)子)Ndeep(Ni)=1;

    else Ndeep(Ni)=0;

    遍歷排序后的TBox中每一個術(shù)語定義式A≡T(A),出現(xiàn)在T(A)中的每一個名稱符號Ni,Ndeep(Ni)=Ndeep(Ni)+Ndeep(A);

    輸出 Ndeep(Ni);//概念Ni的否定深度

    推論1 循環(huán)ALC+-TBox,每一個術(shù)語定義式中名稱符號的否定深度非奇是TBox擁有固定點語義的充分非必要條件.

    可以歸納證明,循環(huán)ALC+-TBox,每一個術(shù)語定義式中名稱符號的否定深度非奇都等價于,所有名稱符號前不含否定構(gòu)子的術(shù)語定義式,由命題1可知,推論1成立.

    3 ALC+固定點模型需滿足的條件

    定義6 P(RI)={x|x ΔI∧ <x,y> RI}.

    定義7 N(RI)={y|y ΔI∧ <x,y> RI}.

    由于篇幅僅給出命題2和命題5的證明,其他證明方法相同,在此略去.

    命題2 循環(huán)ALC+-TBox定義式右邊使用值限定構(gòu)子?R.A,如B≡?R.A(A,B均為原子概念且可以為同一概念),若I為其固定點模型,則需滿足

    1)N(RI)?AI;

    2)BI?P(RI).

    證明 ?y N(RI),X BI,則 < x,y > RI,所以 y AI,即 N(RI)?AI,BI={x|?y ΔI∧ < x,y >RI→y AI}?{x|?y ΔI∧ <x,y > RI}=P(RI),即 BI?P(RI).

    命題3 循環(huán)ALC+-TBox定義式右邊使用存在性限定構(gòu)子?R.A,如B≡?R.A(A,B均為原子概念且可以為同一概念),若I為其固定點模型,則需滿足

    1)N(RI)∩AI≠?;

    2)BI?P(RI).

    命題4 循環(huán)ALC+-TBox定義式右邊使用值限定構(gòu)子?R+.A,如B≡?R+.A(A,B均為原子概念且可以為同一概念),若I為其固定點模型,則需滿足

    1)若 <x,y> (R+)I,則 xP((R+)I),yN((R+)I);

    若 <x,y > (R+)I,則不存在 z使得 < x,z> (R+)I且 <z,y> (R+)I;

    2)P((R+)I)∩N((R+)I)≠?.

    命題5 循環(huán)ALC+-TBox定義式右邊使用存在性限定構(gòu)子?R+.A,如B≡?R+.A(A,B均為原子概念且可以為同一概念),若I為其固定點模型,則需滿足

    1)BI?P((R+)I);

    2)AI∩N((R+)I)≠?;

    3)P((R+)I)∩N((R+)I)≠?;

    或者對于 xP((R+)I),yN((R+)I),則不存在 z使得 <x,z> (R+)I且 <z,y> (R+)I.

    證明 BI={x|?y ΔI∧ <x,y> tr(R)I∧y AI}?{x|?y ΔI∧ <x,y> tr(R)I}=P((R+)I),若AI∩N((R+)I)=?,則不存在y使得 <x,y> tr(R)I且y AI,所以必有AI∩N((R+)I)≠?,對于 <x,y> (R+)I,x P((R+)I),y N((R+)I),若存在 z使得 < x,z> (R+)I且 < z,y> (R+)I,則 P((R+)I)∩N((R+)I)≠?.

    證畢.

    4 應(yīng)用

    通過下面的例子來介紹以上命題的應(yīng)用,由于篇幅這里僅介紹命題3的一個應(yīng)用.

    TBox中有術(shù)語定義式:A=﹁B∩?R.C,B=﹁A∩?R.C,J是TBox基解釋,J所有擴(kuò)展的集合為ExtJ,定義映射 TJ:ExtJ→ExtJ,現(xiàn)有 ΔI={a,b,c,d},I1,I2 ExtJ,TJ(I1)ExtJ,TJ(I2)ExtJ,AI1={a},AI2={a,b},CI1=CI2={a,b,c},BI1=j5i0abt0b,BI2={c,d},RI1={< c,b > ,< b,a > ,< c,a >},RI2={< d,c>,<c,b>,<d,b>},則有

    顯然,AI1≠ATJ(I1),AI2≠ATJ(I2),BI1≠BTJ(I1),BI2≠BTJ(I2),由定義得出 I1,I2 不是 TJ 的固定點.

    若根據(jù)命題3,由于AI1={a},P(RI1)={b,c},顯然AI1?P(RI1)不滿足,即命題3第2個條件不成立,所以得出I2不是TJ的固定點;由于AI2={a,b},P(RI2)={d,c},顯然AI2?P(RI2)不滿足,即命題3第2個條件不成立,所以得出I2不是TJ的固定點.

    5 結(jié)束語

    本文主要討論了術(shù)語定義中使用存在性限定和值限定算子,對于其他算子由于篇幅的原因未能分析.對于各種描述邏輯TBox中否定構(gòu)子的出現(xiàn)都可能會影響其是否具有模型,但否定存在有時也是必須的,而且其位置可以是任意的,下一步工作將對這一問題作深入研究,從其他途徑尋找解決方案.

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