交叉測量協(xié)議對電阻抗成像病態(tài)性的影響

羅辭勇王 平 何 為 陳民鈾

(重慶大學(xué)電氣工程學(xué)院 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400044)

交叉測量協(xié)議對電阻抗成像病態(tài)性的影響

羅辭勇*王 平 何 為 陳民鈾

(重慶大學(xué)電氣工程學(xué)院 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400044)

研究在二維圓形場域和相鄰電流激勵條件下，電壓相鄰測量協(xié)議和交叉測量協(xié)議對病態(tài)性的影響。相比相鄰測量協(xié)議，交叉測量協(xié)議整體提高了Jacobian矩陣的奇異值，表明其 Jacobian矩陣列中的線性相關(guān)程度在下降。采用相鄰測量協(xié)議得到的Jacobian矩陣條件數(shù)是2.15×106，采用交叉測量協(xié)議對應(yīng)的條件數(shù)是1.21×105。計算結(jié)果表明交叉測量協(xié)議相對相鄰測量協(xié)議的Jacobian矩陣條件數(shù)的比值約為1∶18。本研究從理論上證明了交叉測量協(xié)議相比相鄰測量協(xié)議降低了電阻抗成像的病態(tài)性。

電阻抗成像;病態(tài)性;相鄰測量協(xié)議;交叉測量協(xié)議

Abstract:There exists an ill-posed problem in electrical impedance tomography(EIT)that small errors on measured data can result large errors in final images.The influence of the cross measurement protocol(CMP)on the ill-posed problem was investigated with 2D homogenous model.Compared with the adjacent measurement protocol(AMP)，CMP improved the whole singular values，indicating that the pertinence of Jacobian matrix’s columns was declined.The condition number of Jacobian matrix with CMP was 1.21× 105，and that of AMP was 2.15×106.The results indicated that the CMP decreased the condition number of Jacobian matrix.It could be inferred from mathematic results and experiments that CMP reduced the ill-posed problem of EIT.

Key words:electrical impedance tomography;ill-posed;adjacent measurement protocol;cross measurement protocol

引言

電阻抗成像(EIT)系統(tǒng)通過注入電流到研究場域，測量邊界電壓;然后根據(jù)測量電壓數(shù)據(jù)，重構(gòu)場域的絕對或相對電阻率分布。EIT技術(shù)目前存在的一個主要問題是成像分辨率較低，誤差較大。造成這個問題的根本原因在于成像過程中的病態(tài)性。所謂病態(tài)性:是指在對一個問題求解時，該問題中某些參數(shù)的微小擾動，使該問題的解產(chǎn)生很大的變化，給成像結(jié)果帶來了很大的誤差。但作為EIT研究的核心，病態(tài)性問題始終沒有得到較好解決［1］。

Breckon從數(shù)學(xué)層面研究電阻抗成像的病態(tài)性問題，并采用奇異值分解技術(shù)來對比幾種電流激勵模式(電壓相鄰測量)［2］。Lionheart等采用奇異值分解(SVD)和條件數(shù)等數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)闡述EIT病態(tài)性問題的分析方法［3］。Cheney等分析了 NOSER算法中Jacobian矩陣奇異值對重構(gòu)圖像的影響。小的奇異值會影響矩陣的求逆，即便能夠求逆，逆矩陣會使微小的誤差被急劇放大。Cheney采用正則化法，試圖去除小的奇異值［4］。Avis和Barber基于濾波反投影算法分析了相鄰和相對兩種電流激勵模式的病態(tài)性，分析的方法是研究B矩陣的奇異值和秩的大小［5］。盡管相對驅(qū)動模式使場域中心的電流密度增強，對中心部分的靈敏度增加，但是相對驅(qū)動模式反投影B矩陣的秩較相鄰驅(qū)動模式的秩明顯減小，其病態(tài)性增強。因此Avis等建議采用濾波反投影算法時，應(yīng)該盡量避免采用相對驅(qū)動模式［5］。Barber在對 Sheffield大學(xué)的EIT研究工作進(jìn)行回顧時指出:由于病態(tài)性問題，在相鄰激勵相鄰測量模式下，不能得到高分辨率的圖像，尤其在中心部分［6］。

董秀珍等分析影響生物電阻抗斷層成像質(zhì)量的因素，指出決定病態(tài)性及其程度的因素主要是圖像重構(gòu)模型問題、圖像重構(gòu)算法以及驅(qū)動模式［1］。在EIT技術(shù)研究中，圖像重構(gòu)模型通常采用有限元法將模型剖分成有限個單元。當(dāng)剖分單元數(shù)較小時，剖分單元的面積都較大，則測量對象中心單元和邊界單元的阻抗變化對測量信號的影響差別不大或者說病態(tài)性很輕微。為了能達(dá)到一定的圖像分辨率，重構(gòu)模型需要增加剖分單元數(shù)。但是，單元數(shù)的增加使得中心區(qū)的單元對測量的影響要小得多，邊界測量數(shù)據(jù)的一點擾動或誤差將導(dǎo)致重構(gòu)圖像的中心區(qū)域存在較大誤差，呈現(xiàn)較強病態(tài)性。并且病態(tài)性隨著剖分單元數(shù)的增大而變得更加嚴(yán)重，最終導(dǎo)致重構(gòu)失敗［1］。

在有限元模型單元數(shù)相同條件下，EIT驅(qū)動測量模式對EIT病態(tài)性也產(chǎn)生很大影響。在同一測量系統(tǒng)下，電流激勵模式和電壓測量協(xié)議影響原始數(shù)據(jù)的信息量和信噪比［7］。對電流激勵模式和電壓測量協(xié)議進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，最大程度地提取中心區(qū)域的阻抗分布信息，有助于改善電阻抗成像的病態(tài)性問題［1］。

本研究分析電壓交叉測量協(xié)議(cross measurement protocol，CMP)對病態(tài)性的影響。作者于先前工作中，在不增加硬件復(fù)雜程度條件下，采用CMP來提高測量信號的信噪比［8-9］。目的是從數(shù)學(xué)角度分析CMP對電阻抗成像病態(tài)性的影響。分析結(jié)果表明CMP相比相鄰測量協(xié)議(adjacent measurement protocol，AMP)減小了 Jacobian矩陣的條件數(shù)，其病態(tài)性問題得到了改善。

1AMP和CMP

當(dāng)在相鄰電極激勵電流、在相鄰電極上測量電壓，稱為相鄰測量協(xié)議(AMP)。電流先在1、2號電極施加，有13個獨立測量電壓值，如圖1(a)所示意。當(dāng)電流從2、3號電極施加，可得另一組13個電壓測量值［10］。以此類推，16電極系統(tǒng)總共可獲得16×13=208個測量值。

交叉測量協(xié)議(CMP)是為了提高電阻抗成像測量信號的抗噪聲性能而提出的。CMP是在所有非電流注入電極對上做靈活選擇，使得測量電壓的幅值普遍高于相鄰測量協(xié)議的電壓幅值。采用有限元正問題方法，在單位條件下電流從1和2號電極施加，可計算所有非電流注入電極上的電壓(電極數(shù)用L表示)，對于L=16電極系統(tǒng)，總共有(L-2)(L-3)/2=91次。把單位條件下相鄰測量的最大信號作為閥值。如果測量電極對上計算出的電壓小于閥值則被舍棄，否則被保留。根據(jù)這一原則，產(chǎn)生了48個電壓測量電極對，如圖1(b)所示。下一組電流施加在2和3號電極上，圖1中的測量電極編號依次順序改變。對一個16電極系統(tǒng)，獲得16×48=864 個電壓測量值［8］。

圖1 電壓測量電極組序列。(a)相鄰測量協(xié)議;(b)交叉測量協(xié)議。點線表示測量電極對。Fig.1 Measurement electrode pairs.(a)AMP;(b)CMP.The dot lines indicate measurement electrode pairs.

2 分析EIT病態(tài)性問題的方法

采用奇異值和條件數(shù)來分析病態(tài)性問題［3］。對實際問題中的近似線性關(guān)系，一般認(rèn)為矩陣中列的近似線性關(guān)系對應(yīng)著較小的奇異值。病態(tài)性則用矩陣的條件數(shù)來界定。方陣P的條件數(shù)為:

式中，σmax和σmin為P的最大、最小奇異值。條件數(shù)越大，病態(tài)越強。同理可推廣至一般矩陣A:n×p的條件數(shù):

當(dāng)A的列正交時，有 κ(A)=1，此時條件數(shù)達(dá)到下界。當(dāng)A列中有精確線性關(guān)系時出現(xiàn)零奇異值。當(dāng)A列中存在近似線性關(guān)系時，存在有“小”的奇異值，條件數(shù)κ(A)定義給出了病態(tài)性的標(biāo)準(zhǔn)，病態(tài)的程度依賴于最小奇異值與最大奇異值的比值［3］。

3 AMP和CMP病態(tài)性對比

3.1 圖像重構(gòu)算法

采用的重構(gòu)算法是快速一步牛頓誤差重構(gòu)算法(FNOSER)，其中正則化參數(shù) γ對病態(tài)性也有著重要影響。參數(shù)γ通過經(jīng)驗選取，目的是在圖像的穩(wěn)定性與圖像的對比度、清晰度之間尋求平衡。本研究中正則化參數(shù)γ均選擇為0.1。

3.2 有限元模型

為對比兩種測量協(xié)議對電阻抗成像病態(tài)性的影響，均采用了相同剖分模型和參數(shù)。在所有情況下，有限元采用如圖2所示的剖分模型，三角單元數(shù)是568，節(jié)點數(shù)是113，電極個數(shù)是16。

圖2 有限元模型Fig.2 FEM model

3.3 對比結(jié)果

分別采用 AMP和 CMP，計算 FNOSER重構(gòu)算法中的 Jacobian矩陣，然后對 Jacobian矩陣進(jìn)行奇異值分解，其結(jié)果見圖3(奇異值采用 log刻度繪制)。圖3顯示CMP的奇異值普遍大于AMP的奇異值，表明其Jacobian矩陣列中的線性相關(guān)程度在下降。

對兩種測量協(xié)議下的Jacobian矩陣奇異值進(jìn)行歸一化，歸一化方法是把所有的奇異值除以各組最大奇異值。歸一化后的奇異值采用log刻度繪制(見圖4)。圖4顯示，AMP的奇異值在250以后就快速減小(相比 CMP)，AMP最小歸一化奇異值小于CMP最小歸一化奇異值。而條件數(shù)等于矩陣最小歸一化奇異值的倒數(shù) (條件數(shù)等于最大奇異值除以最小奇異值)，所以圖4表明AMP的條件數(shù)大于CMP的條件數(shù)。

圖3 奇異值Fig.3 Singular values

圖4 歸一化奇異值Fig.4 Normalized singular values

表1顯示了AMP和CMP對應(yīng)Jacobian矩陣條件數(shù)。AMP的 Jacobian矩陣條件數(shù)約是 CMP的Jacobian矩陣條件數(shù)的18倍。根據(jù)病態(tài)性指標(biāo)的含義，可以判斷 CMP的 Jacobian矩陣的病態(tài)性較AMP得到有效降低，因此其抗干擾能力要優(yōu)于AMP。

通過實驗驗證CMP對病態(tài)性的影響。在直徑21 cm的水槽中放入鹽水溶液。實驗物理是一個直徑1.8 cm的鋁棒，分別將鋁棒仿真水槽中心和靠近邊界的位置。圖5顯示分別采用AMP和CMP的重構(gòu)圖像(采用FNOSER動態(tài)成像算法，除測量協(xié)議外兩者其它條件相同)。圖5表明CMP重構(gòu)圖像相比AMP圖像，偽跡較少，目標(biāo)物(鋁棒)更加明顯、清晰。另外，在實驗中由于AMP的病態(tài)性，噪聲等形成的偽跡會隨時間隨機變化，重構(gòu)圖像穩(wěn)定性較差;而CMP重構(gòu)圖像具有較好的穩(wěn)定性。實驗驗證CMP相比于AMP改善了EIT的病態(tài)性。

表1 兩種測量協(xié)議下Jacobian矩陣的條件數(shù)Tab.1 Condition numberofJacobian obtained by two protocols

圖5 水槽中放置一個鋁棒的重構(gòu)圖像(電阻率單位:Ω·cm)。(a)采用相鄰測量協(xié)議(鋁棒在中心);(b)采用交叉測量協(xié)議(鋁棒在中心);(c)采用相鄰測量協(xié)議(鋁棒在邊界距中心一半處);(d)采用交叉測量協(xié)議(鋁棒在邊界距中心一半處)Fig.5 Reconstructed images with one aluminum bar(The unit of difference resistivity scale is Ω·cm).(a)AMP(the aluminum bar is in the center);(b)CMP(the aluminum bar is placed in the half of radius);(c)AMP(the aluminum bar is in the center);(d)CMP(the aluminum bar is placed in the half of radius)

4 討論和結(jié)論

采用CMP具有明顯的實用性。在相鄰驅(qū)動時與驅(qū)動電極相對的電極電壓值很小，如果所采用的EIT系統(tǒng)的測量精度或信噪比不夠高，因而所測量得到數(shù)值相對誤差很大，從而影響圖像重建。采用CMP，使得測量電壓的幅值普遍高于相鄰測量協(xié)議的電壓幅值，可在某種意義上提高電阻抗成像測量信號的抗噪聲性能，可改善圖像重建結(jié)果。

CMP的數(shù)據(jù)是否可以通過AMP的數(shù)據(jù)進(jìn)行疊加呢?如果能夠疊加，只要有了圖1(a)所示的相鄰測量結(jié)果，圖1(b)所示的所有測量值都可以從該相鄰測量結(jié)果中獲得，無需再進(jìn)行圖1(b)的交叉測量。這樣 CMP，只會消耗測量時間，沒有明顯的意義。

電阻抗成像裝置通常施加20～100 kHz的交流電流，因此電阻抗成像是一個交流電磁場問題。電阻抗的含義也指明被測對象不是一個純電阻，是即含有電阻又含有電抗成分。電極之間的實際電壓是一個復(fù)數(shù)值，即有實部也有虛部，測量時通常都是取電壓的模。這樣考慮到復(fù)數(shù)的問題，電極1與2間的電壓加上電極2與3間的電壓測量值(模)，就不等于電極1與3的電壓測量值(模)。根據(jù)復(fù)數(shù)運算的特點，疊加的值要大于直接測量的值。

此外還通過實驗來比較直接測量電壓和疊加計算電壓的不同之處。在電極2與15間電壓的直接測量值約為80.4 uV，且比較穩(wěn)定。而通過2，3，Λ，15依次相鄰電極上的電壓疊加在一起得到的電壓值約為83.4 μV，并且這個數(shù)值波動很大。

因此通過理論分析和實驗表明:不能通過AMP的數(shù)據(jù)疊加得到CMP的數(shù)據(jù)。

兩種協(xié)議除了在Jacobian矩陣的條件數(shù)存在差異外，在靈敏度上也存在差異。已在前期工作中采用了靈敏度分析對兩種協(xié)議進(jìn)行了對比，研究結(jié)果表明相比AMP，CMP提高整體靈敏度，同時也提高了中心區(qū)的靈敏度百分比［9］。

在相鄰電極電流激勵條件下研究測量協(xié)議，研究工作可進(jìn)一步擴展到交叉電極電流激勵模式。文獻(xiàn)［1］指出對電流激勵模式和電壓測量協(xié)議進(jìn)行改進(jìn)和創(chuàng)新，最大程度地提取中心區(qū)域的阻抗分布信息，有助于改善電阻抗成像的病態(tài)性問題。但如何評價以及得到更優(yōu)的電流激勵模式和電壓測量協(xié)議依然是一個非常復(fù)雜的問題。

電阻抗成像是一個病態(tài)性問題，電流激勵模式和電壓測量協(xié)議對病態(tài)性產(chǎn)生重要影響。相比AMP，CMP降低了 Jacobian矩陣的條件數(shù)，改善了Jacobian的病態(tài)性，從數(shù)學(xué)上證明CMP比AMP具有更好的抗干擾能力，能夠產(chǎn)生穩(wěn)定性和分辨率均較好的重構(gòu)圖像。

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Influence of Cross Measurement Protocol on the Ill-posed Problem of Electrical Impedance Tomography

LUO Ci-Yong*WANG Ping HE WeiCHEN Min-You
(School of Electrical Engineering，Chongqing University，State Key Laboratory of Power Transmission Equipment＆ System Security and New Technology，Chongqing，400044，China)

TM152

A

0258-8021(2010)02-0185-05

10.3969/j.issn.0258-8021.2010.02.005

2009-01-16，

2009-11-10

國家高技術(shù)研究發(fā)展(863)計劃重大項目(2006AA02Z4B7);國家111引智工程(B08036)

*通訊作者。 E-mail:luociyong@cqu.edu.cn