淺談一類帶有時(shí)滯線性切換系統(tǒng)的魯棒二次鎮(zhèn)定性

姜亞婷

【摘要】在實(shí)際的工程控制中，頻繁地出現(xiàn)一類帶有時(shí)滯的線性切換系統(tǒng)，涉及領(lǐng)域廣泛，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性等性能有著一定的影響.考慮到切換系統(tǒng)的控制問(wèn)題時(shí)，一個(gè)理想的環(huán)境是切換的控制器與系統(tǒng)的切換狀態(tài)同步，所以，考慮一個(gè)系統(tǒng)的線性狀態(tài)反饋魯棒二次鎮(zhèn)定方法也變得非常重要.

【關(guān)鍵詞】線性切換系統(tǒng)；動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器；閉環(huán)系統(tǒng)；魯棒二次鎮(zhèn)定方法

考慮下列線性切換系統(tǒng)：

x·（t）=Aσ（t）x（t）+Bσ（t）μ（t）+Eσ（t）x（t-h），

x（θ）=φ（θ），θ∈[-h，0]，

y（t）=Cσ（t）x（t）.（1）

由下面的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器：

ζ·（t）=Gσ（t）ζ（t）+Lσ（t）y（t），

μ（t）=Kσ（t-τd）ζ（t）.（2）

應(yīng)用動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器（2）到系統(tǒng)（1）中，我們可得到下列閉環(huán)系統(tǒng)：

x·（t）=A～σ（t）x（t）+E～σ（t）x（t-h（t）），（3）

則我們引入無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制率μ（t）=Kσ（t-τd）ζ（t）后，閉環(huán)系統(tǒng)可寫為

x=x

ξ，

A～σ（t）=A-σ（t）B-σ（t）Kσ（t-τd）

Lσ（t）Cσ（t）Gσ（t），

E～σ（t）=E-σ（t）0

00.

考慮如下的Lyapunov函數(shù)：

V（x（t），t）=xT（t）Px（t）+∫tt-h（t）xT（s）R1x（s）ds.

沿閉環(huán)系統(tǒng)V·（x，t）=2xTP[A+ΔA（t）]x≤-α‖x‖2關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為：

V·（x（t），t）=x·（t）Px（t）+x（t）Px·（t）+xT（t）R1x（t）-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））

=xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）+xT（t-h（t）） E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）+xT（t）R1x（t）-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））.（5）

其中，P為正定矩陣，R1∈Rn×n，標(biāo)量ε>0.

由V·（x（t），t）=-ε‖x（t）‖2等價(jià)于

xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）

+xT（t-h（t））E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）

+xT（t）（R1+εI）x（t）

-（1-h·（t））xT（t-h（t））R1x（t-h（t））<0.（6）

考慮到滿足條件0≤h（t）≤h<∞，且h·（t）≤ρh<1，其中存在正實(shí)數(shù)h，ρh對(duì)所有的t，上式等價(jià)于

xT（t）A～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PA～σ（t）x（t）

+xT（t-h（t））E～Tσ（t）Px（t）+xT（t）PE～σ（t）x（t）

+xT（t）（R1+εI）x（t）

-（1-ρh）xT（t-h（t））R1x（t-h（t））<0.（7）

上式可以表示成

xT（t）xT（t-h（t））ΞxT（t）

xT（t-h（t））<0，（8）

其中

Ξ=A～Tσ（t）P+PA～σ（t）+R1+εIPE～σ（t）

-（1-ρh）R1.

對(duì)所有的（x（t），t）∈Rn×R，t>0及初始條件x（t）=φ（t），t∈[-max（h（t）），0] 不等式都滿足.顯然其等價(jià)于Ξ<0，則系統(tǒng)（1）是魯棒二次可鎮(zhèn)定的.

【參考文獻(xiàn)】

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[2]L Vu，M A Kristi.Stability of time-delay feedback switched linear systems[J].IEEE Trans.Automat.Control，2010，55（10）：2385-2389.

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