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    類2α分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的奇攝動

    2018-08-09 08:15:02朱紅寶
    關(guān)鍵詞:展開式邊值問題邊界層

    朱紅寶

    (安徽工業(yè)大學(xué)數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院,安徽馬鞍山243002)

    奇異攝動問題多年來一直是學(xué)術(shù)界關(guān)注的熱點(diǎn)問題,其攝動方法已成功地應(yīng)用于自然科學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域[1-2]。近年來,研究者嘗試將奇攝動問題與分?jǐn)?shù)階微分方程理論相結(jié)合,如:Beyer等[3]將分?jǐn)?shù)階微分問題運(yùn)用到具有阻尼的物理運(yùn)動中,詮釋了物理上有關(guān)震動問題;Thandapani等[4]研究一類分?jǐn)?shù)階偏微分問題的奇攝動,給出了解的形式及分?jǐn)?shù)階偏微分問題在實(shí)際問題中理論意義;Odibat等[5]運(yùn)用變分迭代方法研究一類分?jǐn)?shù)階奇攝動問題;莫嘉琪[6]研究一類非線性奇攝動分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解,得出解的漸近展開式并給出了解一致有效估計(jì);馮依虎等[7]研究分?jǐn)?shù)階奇攝動微分問題的漸近結(jié)論,利用伸展變量法構(gòu)造出解的形式展開式,證明了解的一致有效性。分?jǐn)?shù)階微分問題的研究,解決了物理上的諸如具有阻尼的震動問題、復(fù)雜的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象等用常規(guī)導(dǎo)數(shù)的微分方程所不能描述的問題,從而具有廣泛的實(shí)際意義。

    倪明康等[8]利用邊界層函數(shù)法討論了如下二階半線性微分方程(ε>0,為小參數(shù))的第一類邊值問題:

    在特定假設(shè)下,構(gòu)造了問題的形式漸近解,并證明了解的一致有效性。本文將該問題推廣到分?jǐn)?shù)階微分問題,利用奇攝動理論構(gòu)造一類分?jǐn)?shù)階微分方程的漸近解,并用微分不等式理論證明漸近解的一致有效性。

    探討2α分?jǐn)?shù)階奇異攝動邊值問題:

    這里ε為很小的正數(shù),函數(shù)y(x)的α分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

    其中:Γ為Gamma函數(shù);α為小于1的正分?jǐn)?shù)。

    假設(shè):

    H1函數(shù)f(x,y)及A(ε),B(ε)是關(guān)于其變量在其定義域內(nèi)為足夠光滑函數(shù);

    H2退化問題f(x,y)=0僅有唯一單調(diào)解y0=φ(x);

    H3函數(shù)f(x,y)在范圍內(nèi)滿足不等式,其中c為正的常數(shù)。

    由于退化問題f(x,y)=0是代數(shù)型,在以上假設(shè)下,其解一般不能滿足邊值條件(2)~(3),在x=0和x=1處會產(chǎn)生邊界層。

    1 形式漸近解的構(gòu)造

    用邊界層函數(shù)法構(gòu)造2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)的漸近解y(x,ε),令

    其中

    為正則級數(shù);

    為x=0附近邊界層級數(shù);

    為x=1附近邊界層函數(shù)。

    由假設(shè) H2知:,式(10)為代數(shù)方程,可依次得,其中的Fi是依次已知的函數(shù)。將代入(5),得原問題的正則項(xiàng)。

    在x=0附近的邊界層函數(shù)由以下方程決定:

    其中

    Hi為已知函數(shù)。由分?jǐn)?shù)階微分方程(11),可得如下Volterra積分系統(tǒng):

    其中C0,C1為任意常數(shù)。解此Volterra積分系統(tǒng)并結(jié)合條件(12)~(13)得Π0y(τ0)及C0和C1。將求出的Π0y(τ0)代入式(14),可化為廣義的 Volterra積分-微分方程,結(jié)合條件(15)~(16)可求出 Π1y(τ0),類似可得Π2y(τ0)…,且 Π0y(τ0),Π1y(τ0),…在x=0 附件具有激波層性態(tài)[9]:

    其中ki+1≤ki,i=0,1,…為正常數(shù)。將 Πiy(τ0)代入式(6),得原問題在x=0附近的邊界層級數(shù) Πy(τ0,ε)。

    類似地,在x=1附近的邊界層函數(shù)由以下方程決定:

    其中

    Gi為已知函數(shù)。由分?jǐn)?shù)階微分方程(23),得如下的Volterra積分系統(tǒng):

    其中D0,D1為任意常數(shù),解此Volterra積分系統(tǒng)(32)~(33)并結(jié)合條件(24)~(25)得R0y(τ1)及D0和D1。將R0y(τ1)代入式(26),可化為廣義的Volterra積分-微分方程,結(jié)合條件(27)~(28)可求出R1y(τ1),類似地可依次求出R2y(τ1)…,且R0y(τ1),R1y(τ1),… 在x=1附件具有激波層性態(tài)[9]:

    2 漸近展開式的一致有效性

    定義設(shè)存在光滑函數(shù),分別滿足:

    定理1在假設(shè)H1~H3的條件下,分別為2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題的上解和下解,則問題(1)~(3)存在一個(gè)解y(x,ε),且有

    證明先按以下迭代關(guān)系構(gòu)造函數(shù)序列

    由極值原理[10]得

    假設(shè)當(dāng)i=n-1時(shí),有,則

    由數(shù)據(jù)歸納法知

    類似可得

    由以上討論并結(jié)合Arzela-Ascoli定理,知2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)有一個(gè)解y(x,ε),使得

    證畢。

    定理2在假設(shè)HI~H3下,2α分?jǐn)?shù)階奇攝動邊值問題(1)~(3)有一個(gè)解y(x,ε),且具有如下關(guān)于ε的一致有效的漸近展開式:

    證明首先構(gòu)造輔助函數(shù)a(x,ε)和b(x,ε),

    其中r為正常數(shù),其大小在隨后的證明中給出。顯然,

    且對于足夠小的正數(shù)ε,存在一個(gè)正常數(shù)δ1,使得

    選取r≥δ1,可得

    同理可得

    下面證明

    由假設(shè)及式(22),(34),存在一個(gè)正常數(shù)δ2,使得

    再由式(41),(42)可知關(guān)系式(40)成立,定理2證畢。

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