對一道涉及復(fù)合場競賽題的思考與討論

王潁水

(河南省鄭州市第一高級中學(xué),河南鄭州 450000)

對一道涉及復(fù)合場競賽題的思考與討論

王潁水

(河南省鄭州市第一高級中學(xué),河南鄭州 450000)

圖1

分析:本題是一道求解帶電質(zhì)點在復(fù)合場中的運動問題.現(xiàn)在有不少競賽輔導(dǎo)資料選用此題做為能力訓(xùn)練題.但學(xué)生普遍感到這類問題比較難,往往不知如何下手,并會產(chǎn)生一些疑惑,概括起來共有以下3點:①帶電質(zhì)點在復(fù)合場中的軌跡方程怎樣建立?②質(zhì)點在運動過程中會不會出現(xiàn)勻速直線運動過程?③如果質(zhì)點能運動到最低點,那么在最低點的曲率半徑與該點到x軸的距離有什么關(guān)系?

下面首先運用牛頓第二定律這一最基本的解題方法求出軌跡方程,然后對軌跡方程進行分析,從而找出更巧妙的解題方法,并進行討論,回答學(xué)生的有關(guān)疑問.

解法1:利用牛頓定律求解

令t=0時,質(zhì)點在O點的速度為v0,方向沿y軸正方向,t時刻質(zhì)點到達(dá)p點,受有重力mg和洛倫茲力qvB,如圖 2所示,將速度v分解為沿x軸和y軸的兩個分量vx和vy.則洛倫茲力在x方向和y方向的分量分別為

圖2

思考:全國中學(xué)生物理競賽明文規(guī)定,在處理競賽問題時,要求學(xué)完中學(xué)階段的全部初等數(shù)學(xué)知識.不要求用微積分進行推導(dǎo)和運算.那么本題能否用初等數(shù)學(xué)知識求解呢?答案是肯定的.因為根據(jù)(14)和(15)兩式可知,帶電質(zhì)點的軌跡形狀是一根擺線(又稱旋輪線).在數(shù)學(xué)上,一個動圓沿著一條直線作純滾動時,動圓圓周上一點所畫出的平面曲線就是擺線.因此在物理上,從運動的合成和分解的角度來看,本題中帶電質(zhì)點在磁場的運動可視為兩個分運動:①沿x軸正方向做勻速直線運動,②相對于動圓圓心做勻速圓周運動.下面從這一觀點推導(dǎo)出質(zhì)點的軌跡方程.

解法2:利用運動合成和分解的方法求解

如圖3所示,在t=0時,將v0分解為沿正x軸方向的速度v1和傾斜向下的速度v2且使v1滿足

圖3

可見:質(zhì)點m在磁場中的運動是這樣的兩個分運動,①從坐標(biāo)原點開始沿正x軸方向做勻速直線運動,其速度大小為v1=2m/s,②繞動圓圓心O′逆時針做勻速圓周運動.其速度大小為v2=22 m/s.而動圓圓心的速度為v1=2 m/s,方向沿x軸正方向.

因為洛倫茲力充當(dāng)向心力,即

設(shè)t時刻的質(zhì)點位于動圓上的P點,如圖4所示.

圖4

討論:①由(18)和(19)兩式可知,帶電質(zhì)點的ax和ay不可能同時為零,即質(zhì)點運動過程中其加速度不可能為零,因此質(zhì)點不可能從某一時刻開始做勻速直線運動.

②設(shè)磁場上、下邊界之間的距離L足夠大,則質(zhì)點在運動過程中與x軸的最大距離H和此時軌跡的曲率半徑r的關(guān)系是

證明如下:

據(jù)圖5知,質(zhì)點在第一次下降的最大距離為

如圖6,設(shè)質(zhì)點在最低點D處的速度為v,據(jù)速度合成定理知

又在最低點,據(jù)牛頓第二定律

③一個復(fù)雜的運動可以分解為幾個較簡單的運動來處理,這種化難為易,化繁為簡的解題思想方法在高中物理競賽中經(jīng)常應(yīng)用,較簡單的運動主要是指勻速直線運動,勻加速直線運動,勻速圓周運動等.我們只有在平時的教學(xué)中,將基礎(chǔ)知識活化,對習(xí)題進行拓展和挖掘,才能使學(xué)生會用最基本的知識去解決較繁,較難的問題,這就是能力的培養(yǎng)過程.

④在教學(xué)中,我們要正確處理高考與競賽,學(xué)科內(nèi)與學(xué)科間,中學(xué)與大學(xué)中某些知識點的交匯關(guān)系,(如本題中的擺線就是一個常見的曲線,涉及知識點比較多,但中學(xué)數(shù)學(xué)沒有涉及這一內(nèi)容.)我們要將這些內(nèi)容有機的銜接,因為在這些銜接中教師的解題思想和解題方法會對學(xué)生產(chǎn)生潛移默化的影響.長此以往,會使學(xué)生的學(xué)科思想和解題能力得到大幅度的提高,終身受益.

2010-07-21)