打破“圓”規(guī)輪胎并不是非“圓”不可

在我們的日常生活中，無(wú)論是汽車、飛機(jī)，還是用來運(yùn)送貨物的推車，它們的輪胎都是圓形的。為什么會(huì)將輪胎設(shè)計(jì)為圓形？這利用了圓形的什么特殊性質(zhì)？其他形狀是否也可以“變身”為輪胎外形？接下來就和我們一起從數(shù)學(xué)角度探秘這些問題吧。

圓形為何備受青睞？

物理優(yōu)勢(shì)——圓形輪胎可以最大限度地減少輪胎與地面的接觸面積，從而減小摩擦力，節(jié)約前進(jìn)過程中的能源消耗，保障汽車等交通工具平穩(wěn)、安全地行駛。

圓形的半徑是確定的，其圓心到圓周任意一點(diǎn)的距離都相等，所以當(dāng)輪胎在地面滾動(dòng)時(shí)，輪胎中心與地面的距離總是等于車軸——即輪胎半徑，使車輛行駛起來極為平穩(wěn)。

在了解圓形輪胎背后的原理后，我們就可以大膽想象：世界上是否有其他圖形能夠滿足輪胎必備的平穩(wěn)性？若能找到另外能滿足“圖形中心與地面接觸任意一點(diǎn)的距離都相等”的圖形，設(shè)計(jì)師們就可以設(shè)計(jì)出其他形狀的輪胎。

現(xiàn)實(shí)中，確實(shí)有一種非圓形形狀的輪胎，它似三角形又似圓形，能支持自行車的使用。在數(shù)學(xué)世界里，我們把這樣的圖形稱為魯洛克斯（Reuleaux）三角形，又稱為萊洛三角形、圓弧三角形。

似圓又非圓

魯洛克斯三角形是一個(gè)獨(dú)特的三角形。它是一個(gè)以正三角形的頂點(diǎn)為中心、以邊長(zhǎng)為半徑構(gòu)建3段圓弧后，由這3段圓弧組成的“曲邊三角形”。

我們先畫出一個(gè)正三角形ABC，再以正三角形ABC的3個(gè)頂點(diǎn)為圓心、以其邊長(zhǎng)為半徑畫弧，便可以得到一個(gè)魯洛克斯三角形。

根據(jù)其畫法和特征，我們可以分析出它具備圓的等距性。

當(dāng)魯洛克斯三角形向任意方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，作與它運(yùn)動(dòng)軌跡相切的兩條平行直線，可以發(fā)現(xiàn)所作出的每組平行線都有相同的寬度。在數(shù)學(xué)上，這類在平面內(nèi)按一定規(guī)律旋轉(zhuǎn)一定角度后，仍能與原線段逆向重合的特殊幾何圖形，被命名為等寬曲線。

而這組平行線間的垂線段被稱為等寬曲線的寬。魯洛克斯三角形正是等寬曲線的一種，它能在兩條平行的直線（該直線與正三角形邊長(zhǎng)相等）間自由滾動(dòng)，距離與其圓弧半徑相等，并與這兩條平行線始終保持接觸。

圓形是等寬曲線中最常見的一種，根據(jù)等寬曲線的定義可以發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)具有奇數(shù)邊，且對(duì)角線相等而邊長(zhǎng)不一定相等的多邊形，都可以構(gòu)造出等寬曲線，而偶數(shù)邊的多邊形已被證明是不可能構(gòu)造出等寬曲線的。例如，以正五邊形的對(duì)角線為半徑畫5段圓弧，就能得到一個(gè)圓弧五邊形，還可以根據(jù)等寬曲線定義作出圓弧七邊形、圓弧九邊形等各種正多邊形的等寬曲線。

“玩轉(zhuǎn)”等寬曲線

那么，任意多邊形能否得到對(duì)應(yīng)的等寬曲線呢？以直角三角形為例，我們一起來探究一下它是否存在對(duì)應(yīng)的等寬曲線。

首先畫出一個(gè)具有勾三股四弦五特征的直角三角形，即直角三角形斜邊AB＝5，較長(zhǎng)直角邊AC＝4，較短直角邊BC＝3，便于作輔助線。

隨后，根據(jù)等寬曲線定義中的等寬性，分別以3個(gè)頂點(diǎn)為圓心，延長(zhǎng)直角三角形的邊長(zhǎng)，使得延長(zhǎng)后的相鄰兩條邊可成為一個(gè)圓的兩條半徑。

①延長(zhǎng)BC至F，可將AB、BF看作一個(gè)圓的半徑；

延長(zhǎng)CB至G，可將AC、CG看作一個(gè)圓的半徑；

延長(zhǎng)AB至D、AC至E，可將AD、AE看作一個(gè)圓的半徑

②所以AB＝BF＝5" AC＝CG＝4" AD＝AE

使得CF＝CE＝AB－BC＝2 使得BG＝BD＝AC－CB＝1

③由此就可以得到：

AD＝AE＝AB＋BD＝5＋1＝6

最后，分別以C為圓心，以CF為半徑作從E到F的圓??；

以B為圓心，以BA為半徑作從F到A的圓?。?/p>

以C為圓心，以CA為半徑作從A到G的圓??；

以A為圓心，以AD為半徑作從D到E的圓??；

以B為圓心，以BG為半徑作從G到D的圓?。?/p>

得到5條圓弧，符合等寬曲線定義。

由此我們可以發(fā)現(xiàn)，只需要根據(jù)等寬曲線的定義，就可以構(gòu)造出任意奇邊形對(duì)應(yīng)的等寬曲線。

魯洛克斯三角形“動(dòng)起來”

那么，在平面中存在的等寬曲線是否在多維空間中存在立體形態(tài)呢？根據(jù)平面上魯洛克斯三角形的畫法，我們首先可以在立體空間里構(gòu)建一個(gè)正四面體，以各個(gè)頂點(diǎn)為球心以及對(duì)角線為半徑構(gòu)建球體，而中心的“圓潤(rùn)四面體”便是正四面體的三維定寬體——Meissner體，中文名稱為邁斯納四面體。

等寬曲線的獨(dú)特價(jià)值

由于具有等比例對(duì)稱美感、可分散力的工程學(xué)優(yōu)勢(shì)、節(jié)約空間優(yōu)勢(shì)及其他特殊性質(zhì)，等寬曲線在數(shù)學(xué)或設(shè)計(jì)等方面具有極高的研究?jī)r(jià)值。

例如，在研究最值問題時(shí)，高度相同的等寬曲線具有相同的周長(zhǎng)（等寬曲線的周長(zhǎng)公式為：寬度×π），在等寬曲線中，圓的面積最大，魯洛克斯三角形的面積最小。

魯洛克斯三角形憑借其滾動(dòng)性質(zhì)，還可以作為運(yùn)動(dòng)學(xué)問題中的曲線連桿。不僅如此，在設(shè)計(jì)方面，大到國(guó)家貨幣，小到撲克牌的創(chuàng)新，都有魯洛克斯三角形的身影。

英國(guó)以圓弧七邊形為靈感，設(shè)計(jì)了50便士與20便士的硬幣，這樣的硬幣給人一種圓潤(rùn)且不失比例的美感。

有研究人員還根據(jù)魯洛克斯三角形的邊、角均圓潤(rùn)的特點(diǎn)和人體工學(xué)知識(shí)，設(shè)計(jì)出了更方便人們使用的撲克牌，使它的弧度與握牌時(shí)手掌內(nèi)部的結(jié)構(gòu)相吻合。相比于傳統(tǒng)撲克牌的長(zhǎng)方形造型，新型撲克牌尖角朝下的抓牌方式，使得撲克牌在手中的抓握面積更小，更加美觀。

等寬曲線是一類好看且有趣的幾何圖形，希望各位青少年可以充分發(fā)揮想象力和創(chuàng)造力，動(dòng)手嘗試構(gòu)造自己喜愛的等寬曲線。

知識(shí)拓展

魯洛克斯三角形讓鉆頭變得更好用

德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛在設(shè)計(jì)方孔鉆頭時(shí)發(fā)現(xiàn)了魯洛克斯三角形，并憑借這個(gè)靈感發(fā)明創(chuàng)造出了方孔鉆頭。

固定了魯洛克斯三角形鉆頭后，鉆頭開始在一個(gè)邊長(zhǎng)為魯洛克斯三角形的正方形內(nèi)旋轉(zhuǎn)工作。萊洛發(fā)現(xiàn)，這個(gè)三角形在任何時(shí)候都有4個(gè)點(diǎn)可與正方形接觸，且這4個(gè)點(diǎn)的位置是不斷改變的，在旋轉(zhuǎn)之后可以獲得一個(gè)四角圓潤(rùn)的正方形孔洞。

運(yùn)用五邊形鉆頭則能得到正六邊形的鉆孔，這可以滿足一些特殊的工業(yè)設(shè)計(jì)需求。

（責(zé)任編輯 / 王佳璇 美術(shù)編輯 / 徐博宇）