十進(jìn)位值制記數(shù)法教學(xué)思考與實踐

十進(jìn)位值制是一種記數(shù)法，它既是十進(jìn)制的，又是位值制的。十進(jìn)制就是通常所說的“滿十進(jìn)一”；位值制指一個數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值，也就是數(shù)位不同，計數(shù)單位就不同。筆者通過對比分析小學(xué)數(shù)學(xué)各版本教材，發(fā)現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識、運算及應(yīng)用，以及計量單位的認(rèn)識等內(nèi)容與十進(jìn)位值制緊密關(guān)聯(lián)，所以在理清課程脈絡(luò)的基礎(chǔ)上著力探析“種子課”（可供遷移、生長的關(guān)鍵課）的教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生在直觀數(shù)數(shù)中感知，在運算探究中理解，在實際應(yīng)用中建模，促進(jìn)其理解和運用十進(jìn)位值制記數(shù)法。

一、在直觀數(shù)數(shù)中感知

數(shù)（shǔ）產(chǎn)生數(shù)（shù），量（liánɡ）產(chǎn)生量（liànɡ）。一年級學(xué)生入學(xué)前已經(jīng)有了唱數(shù)的經(jīng)驗，能夠數(shù)出蘋果、小雞等實物的數(shù)量，但對于每個數(shù)所表達(dá)的意義并不十分清楚?；诖?，在認(rèn)識數(shù)的階段，筆者引入直觀學(xué)具小棒，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)小棒的過程中逐步完成從實物模型到一般模型的過渡，感知自然數(shù)的組成及意義。數(shù)數(shù)時，筆者注重引導(dǎo)學(xué)生用“+1”的方式理解和認(rèn)識數(shù)，這符合自然數(shù)公理系統(tǒng)（皮亞諾公理）中用后繼數(shù)定義自然數(shù)的方法。

隨著數(shù)的增大，在10～20各數(shù)的認(rèn)識中，學(xué)生開始接觸十進(jìn)位值制記數(shù)法。史寧中教授指出，在位值制概念教學(xué)中要讓學(xué)生思考為什么引進(jìn)新單位，感受創(chuàng)造出新單位的必要性。因此，在教學(xué)北師大版數(shù)學(xué)《古人計數(shù)》這節(jié)“種子課”時，筆者先引導(dǎo)學(xué)生解決“10是怎么來的”和“計數(shù)單位‘十’產(chǎn)生的必要性”兩個問題。筆者在課堂中設(shè)置了“數(shù)到9后再數(shù)1個是多少？”“10是幾位數(shù)，它與1～9有什么區(qū)別？”“10里面的1是什么意思？”等問題，讓學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識“再創(chuàng)造”的過程，感知十進(jìn)位值制中蘊含的智慧。學(xué)生有了數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，很快回答出“從9往后再數(shù)1個數(shù)就是10”，但此時學(xué)生的思維還停留在逐一數(shù)數(shù)的層面。于是，在第二個問題的引導(dǎo)下，學(xué)生通過對比，發(fā)現(xiàn)“10是兩個數(shù)字組成的數(shù)，而1～9都只有一個數(shù)字”。這樣的對比分析，為學(xué)生認(rèn)識計數(shù)單位和數(shù)位埋下伏筆。隨著筆者的追問，學(xué)生產(chǎn)生了對1和10里面的“1”各表示什么意義的認(rèn)知沖突。通過思考、討論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)10里面的“1”表示1個十，這與1表示1個一不同?；诖耍P者引出計數(shù)單位“十”以及個位、十位的概念，明確1放在十位上就表示1個十。同時，筆者借助小棒教學(xué)，讓學(xué)生將10根小棒捆成1捆，直觀感知“10個一就是1個十”，初步建立“十進(jìn)制”的直觀印象。

二、在運算探究中理解

有了數(shù)小棒的經(jīng)驗之后，學(xué)生就要逐步進(jìn)入運算理解階段。筆者在運算教學(xué)中引入計數(shù)器，以及“毛毛蟲”、數(shù)尺、數(shù)線等數(shù)軸類學(xué)具。

計數(shù)器作為一種半直觀半抽象的學(xué)具，在幫助學(xué)生認(rèn)識位值制方面具有天然的優(yōu)勢，因為它不僅標(biāo)出了數(shù)位，還隱含了十進(jìn)制。筆者執(zhí)教北師大版數(shù)學(xué)一年級下冊《拔蘿卜（兩位數(shù)加兩位數(shù)）》時，學(xué)生根據(jù)情境圖中的數(shù)學(xué)信息提出“一共拔了多少個蘿卜”的問題，并列出算式“36+23=（"）”。探究算理算法的過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助計數(shù)器撥一撥，并說清楚每個加數(shù)中的兩個數(shù)字分別在什么位置、代表什么意思，強(qiáng)化個位、十位等數(shù)位概念，然后通過演示計數(shù)器，與學(xué)生探討“為什么36十位上的3不能和23個位上的3直接相加”，讓學(xué)生在操作、思考、質(zhì)疑、辯駁中明白“相同數(shù)位才能相加減”的算理。當(dāng)學(xué)生通過操作直觀學(xué)具充分感知算理后，豎式計算的學(xué)習(xí)便水到渠成——他們能結(jié)合十進(jìn)位值制記數(shù)法的認(rèn)知基礎(chǔ)，借助計數(shù)器快速尋找到豎式計算的方法，即幾個十與幾個十相加、幾個一與幾個一相加，進(jìn)而理解加法豎式計算的本質(zhì)是相同計數(shù)單位的個數(shù)相加。

數(shù)軸類學(xué)具雖然無法直觀體現(xiàn)十進(jìn)制和位值制，但在幫助學(xué)生發(fā)展數(shù)感、理解加減法意義及探究算法方面具有很好的促進(jìn)作用。這類學(xué)具能夠直觀展示自然數(shù)從小到大排列的順序，讓學(xué)生感知到“向右數(shù)越來越大，可做加法；向左數(shù)越來越小，可做減法”。這樣，抽象的數(shù)字和運算便有了直觀的支撐。

三、在實際應(yīng)用中建模

學(xué)生通過直觀數(shù)數(shù)和運算學(xué)習(xí)，能逐步理解十進(jìn)位值制記數(shù)法的規(guī)則和運算的算法算理，對位值制有比較清晰的認(rèn)知，但往往難以對十進(jìn)制形成深刻理解，這就需要教師引導(dǎo)他們在后續(xù)計量單位的學(xué)習(xí)中深化理解，特別是借助“認(rèn)識人民幣”的教學(xué)建構(gòu)人民幣的十進(jìn)制計量模型。

“人民幣的認(rèn)識”安排北師大版數(shù)學(xué)教材。在二年級上冊第二單元“購物”中，整個單元分成《買文具》（認(rèn)識小面額人民幣）、《買衣服》（認(rèn)識大面額人民幣）、《小小商店》（解決簡單的購物問題）三個課時?？紤]到電子支付背景下學(xué)生較少接觸紙質(zhì)人民幣，以及在100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識和運算學(xué)習(xí)中經(jīng)常遇到用大面額人民幣描述的問題情境，筆者從單元整體的角度設(shè)計教學(xué)，將第1課時《買文具》作為構(gòu)建人民幣計量模型的“種子課”，并整合第三課時《小小商店》的教學(xué)內(nèi)容，提前在班上開設(shè)文具“小超市”。

通過訪談，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生對“積分兌換禮物”的生活場景比較熟悉，于是將“積分兌換”納入班級常規(guī)管理，用元、角、分人民幣模型代替積分獎勵發(fā)放給學(xué)生，明確“10分兌換1角，10角兌換1元”的規(guī)則，并設(shè)置“中央銀行”協(xié)助學(xué)生兌換貨幣。這些人民幣模型就是學(xué)生在文具“小超市”進(jìn)行交易的貨幣。有了這樣的生活經(jīng)驗做支撐，教學(xué)《買文具》時，學(xué)生很快就能說出“1元=10角，1角=10分，1元=100分”，從而構(gòu)建了元、角、分之間的進(jìn)率模型。

總之，在整個小學(xué)階段，學(xué)生對十進(jìn)位值制記數(shù)法的認(rèn)知是循序漸進(jìn)、螺旋式上升的，教師需要整體把握教材，以核心概念為統(tǒng)領(lǐng)，抓住進(jìn)率這條主線，讓學(xué)生逐步感知、深入理解，最終建立模型。

文字編輯"張敏