聚焦一致性的數(shù)與運算教學策略

新課程標準對小學數(shù)學“數(shù)與運算”主題內(nèi)容的教學要求是：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關系，體會數(shù)的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識?！比绾卧诮虒W中落實新課程標準的上述要求呢？

一、立足計數(shù)單位，明確數(shù)與運算一致性的內(nèi)涵

從數(shù)的意義看，對于整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)，我們都可以從計數(shù)單位及其個數(shù)的角度加以認識。具體來說，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)都可以看作由若干計數(shù)單位組成的數(shù)，如8由8個一組成，0.8由8個0.1組成，[89]由8個[19]組成。學生理解了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性，也就打通了整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的概念，感悟到數(shù)的概念本質上的一致性。

從運算的意義看，無論是整數(shù)、小數(shù)還是分數(shù)，其四則運算的意義都一致。整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減法的算法雖有不同，但從算理看，無論是整數(shù)加減運算的相同數(shù)位對齊、小數(shù)加減運算的小數(shù)點對齊，還是分數(shù)加減運算的先通分再計算，其背后的道理都是相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減。同時，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的四則運算都是以加法為基礎的計數(shù)單位及其個數(shù)的變化：加法是計數(shù)單位的累加，減法是計數(shù)單位的減少，乘法是計數(shù)單位的倍增，除法是計數(shù)單位的細分。此外，現(xiàn)行的各版本數(shù)學教材都是先編排整數(shù)的四則運算內(nèi)容，再逐步編排小數(shù)、分數(shù)的四則運算內(nèi)容，這體現(xiàn)了數(shù)的運算學習路徑的一致性。

可見，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的概念都是對計數(shù)單位及其個數(shù)的描述，它們的四則運算本質上都是計數(shù)單位個數(shù)的增減。因此，小學階段“數(shù)與運算”主題內(nèi)容是一個有機的整體，具有高度的一致性。

二、錨定核心概念，統(tǒng)領數(shù)與運算一致性的教學

“數(shù)與運算”的核心是計數(shù)單位，計數(shù)單位應作為核心概念在相關的運算教學中發(fā)揮統(tǒng)領作用，以促進學生對數(shù)的運算本質上一致性的理解。下面以《異分母分數(shù)加減法》的教學為例做具體闡釋。

教學《異分母分數(shù)加減法》時，教師可以設計幾道計算題，如51+73，0.34-0.12，[15]+[35]，引導學生經(jīng)歷如下探究過程：①說一說每個式子中的數(shù)字1和3分別表示什么；②算一算這些題目；③想一想它們在計算上有哪些共同點。這3道題分別指向整數(shù)、小數(shù)、同分母分數(shù)三種類型的加減法，通過說一說和算一算，學生可以發(fā)現(xiàn)：在51+73中，數(shù)字1和3的計數(shù)單位都是“一”，相同計數(shù)單位的個數(shù)可以直接相加，和為4個一，數(shù)字5和7與此情況相同；在0.34-0.12中，數(shù)字3和1都在十分位上，可以直接相減，其他相同數(shù)位上的數(shù)字與此情況相同；在[15]+[35]中，1和3分別表示兩個加數(shù)中[15]這個計數(shù)單位的個數(shù)，因為計數(shù)單位相同，所以可以直接相加得到4個[15]，即和為[45]?；诖?，學生不難發(fā)現(xiàn)這三種類型加減法運算的共同點——相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減。通過這些題目，學生能夠切實感知計數(shù)單位在加減運算中的核心地位，理解整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的加減運算都要在相同計數(shù)單位下進行，初步體會到整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減運算的一致性。

接下來教學例題[16]+[14]，教師可以先放手讓學生基于已有的運算經(jīng)驗自主嘗試計算，然后出示如下幾種典型計算方法（包括正確的和錯誤的），引導學生通過對比分析掌握異分母分數(shù)加減法的算理和算法，加深對數(shù)的運算一致性的理解。

方法一：[16]+[14]=[1+16+4]=[210]=[15]

方法二：[16]≈0.17，[14]=0.25，[16]+[14]=0.42

方法三：[16]+[14]=[424]+[624]=[1024]=[512]

方法四：[16]+[14]=[212]+[312]=[512]

通過初步檢驗，學生可以發(fā)現(xiàn)：方法一得出的和是[15]，它小于其中一個加數(shù)[14]，顯然是錯誤的。通過觀察方法一，學生會發(fā)現(xiàn)：這種算法錯在沒有把兩個分數(shù)的計數(shù)單位統(tǒng)一后相加，而是直接用分子加分子得出和的分子，直接用分母加分母得出和的分母。分析方法二時，學生可以在教師的引導下總結得出：這種算法運用了轉化的思想方法，把分數(shù)加法轉化為學過的小數(shù)加法計算，計算過程做到了把相同計數(shù)單位的個數(shù)合起來，但是其中一個加數(shù)取了近似數(shù)，導致最后的計算結果不是準確數(shù)，所以不能算作正確。同時，教師要指出，如果把算式中的[16]改為一個可以化成有限小數(shù)的分數(shù)，如[15]，這種方法也是可取的。對于方法三和方法四，學生可以通過交流得出這兩種算法都運用了轉化的思想方法，結果都是正確的，其共同點是先統(tǒng)一計數(shù)單位，即先把異分母分數(shù)加法轉化為同分母分數(shù)加法，再把相同計數(shù)單位的個數(shù)合起來得出結果，只不過方法四選擇用[112]作為計數(shù)單位，其計算結果無需化簡，與方法三相比更簡潔一些。

類似的，在《小數(shù)加減法》的教學中，教師可以分組呈現(xiàn)“25+135，0.25+1.35”“32+165，3.2+1.65”“320-165，3.2-1.65”“400-165，4-1.65”等題目，引導學生經(jīng)歷“嘗試計算—對比辨析—明確算理—歸納算法”的學習過程，通過對比分析明確整數(shù)加減運算與小數(shù)加減運算的一致性：小數(shù)加減運算中的小數(shù)點對齊與整數(shù)加減運算中的相同數(shù)位對齊都是為了保證相同數(shù)位上的數(shù)字相加減，也就是保證相同計數(shù)單位的個數(shù)相加減。

在計數(shù)單位這個核心概念的統(tǒng)領下，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的乘法運算也具有一致性——都是計數(shù)單位相乘得到積的計數(shù)單位，計數(shù)單位的數(shù)量相乘得到積的計數(shù)單位的數(shù)量。例如：60×700=（10×100）×（6×7）；0.6×0.07=（0.1×0.01）×（6×7）；[67]×[78]=（[17]×[18]）×（6×7）。統(tǒng)一計數(shù)單位后，整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)的除法運算也具有一致性——都是用計數(shù)單位的數(shù)量相除。例如：90÷20=（9×10）÷（2×10）=9÷2；9÷0.2=（90×0.1）÷（2×0.1）=90÷2；[59]÷[12]=（10×[118]）÷（9×[118]）=10÷9

總之，錨定計數(shù)單位這個核心概念進行對比教學，有助于學生借助轉化的思想方法深入體會整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算的一致性，而不只是機械記憶和積累碎片化的運算知識與技能。

三、融通算理算法，強化數(shù)與運算一致性的認知

除法是在學生不同程度地學習了加法、減法和乘法的基礎上分階段教學的，它既是相同數(shù)連減的簡便運算，又是乘法的逆運算，其試商與調商過程不斷地用到乘法。除法相關知識的教學能有效促進學生深入理解數(shù)的運算一致性，增強運算能力和推理意識。下面以小數(shù)除法的起始課《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》例1教學為例展開分析。

在學習《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》之前，學生已經(jīng)學習了整數(shù)除法，掌握了其算法模型“一商、二乘、三減”。教學《除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法》例1時，教師可以引導學生在理解算理的基礎上，先按照整數(shù)除法的算法模型自主探究這類小數(shù)除法的算法，然后通過對比，發(fā)現(xiàn)整數(shù)除法與除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法本質上都是不斷細分計數(shù)單位且分完為止，以深化學生對除法運算一致性的理解。

具體來說，教師可以先出示熱身題224÷4，讓學生回顧整數(shù)除法的計算方法。算法是程序性知識，學生能夠比較容易地歸納出“一商、二乘、三減”的整數(shù)除法算法模型。接著，教師可以改編教材例1“4周跑步22.4千米，平均每周應跑多少千米”的情境，呈現(xiàn)“買4本同樣的書一共用22.4元，每本書多少錢”的問題。這樣改編有利于啟發(fā)學生通過實物操作體會不斷細分計數(shù)單位的過程，或者將“22.4元”轉化為“224角”后探究計算結果，因為元、角之間的進率是10，與整數(shù)、小數(shù)相鄰計數(shù)單位之間的進率相同，這種轉化不僅能為計算提供方便，還能從不同視角體現(xiàn)整數(shù)除法與小數(shù)除法的聯(lián)系。

在學生列出算式22.4÷4后，教師可以為學生提供小棒、方格圖等自主探究材料，并給出如下探究支架：①估一估，每本書的價格可能在哪兩個整數(shù)之間；②算一算，運用已有的知識嘗試列豎式計算這道題；③說一說，這道題與整數(shù)除法224÷4在計算上有哪些異同點。估一估旨在增強學生的估算意識；算一算旨在鍛煉學生遷移運用已有知識解決新問題的能力，并滲透轉化思想；說一說旨在引導學生在操作小棒、細分方格圖表征除的過程的基礎上，對比兩個豎式的異同點（如圖1所示）。

通過自主探究、小組交流，學生可以總結：22.4÷4的計算方法是先分22個一，商是5個一，就把5寫在商的個位上，剩下的2個一與4個十分之一合起來得到24個十分之一，接著把它平均分成4份，每份是6個十分之一，就把6寫在商的十分位上；224÷4的計算方法是先分22個十，再分24個一，這樣就分完了。通過對比分析，學生可以發(fā)現(xiàn)兩道題的算理完全一致，不同點在于具體算法，即計算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法時，被除數(shù)的整數(shù)部分除完以后，要在商的個位后面點上小數(shù)點，再按照整數(shù)除法的計算方法接著除。最后，學生在教師的點撥下可以歸納出計算除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的關鍵點：按照整數(shù)除法的計算方法計算；注意商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊。這樣教學能夠有效勾連整數(shù)除法與小數(shù)除法，讓學生深切體會除法運算的一致性。

算理看似抽象，實則可以通過實物直觀呈現(xiàn)；算法看似直觀，實則是不斷總結、抽象出來的結果。因此，算理直觀，能促進理解；算法抽象，能促進掌握。算理與算法是運算教學的“一體兩翼”。教師要著重引導學生整體感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)四則運算在算理、算法上的一致性，融通算理與算法，發(fā)展運算能力和推理意識。

祝存東，湖北省特級教師，湖北省青年教學能手，孝感市五一勞動獎章獲得者，孝感市小學數(shù)學名師工作室主持人，指導工作室成員執(zhí)教的課例多次獲得部級、省級獎項。近年來，工作室聚焦大概念教學展開研究，在數(shù)與運算的一致性教學方面取得了一定的經(jīng)驗。