微量作用大 析微而知著

張錦洲

摘 要：所謂微量法，即將研究對(duì)象分割成許多具有代表性且遵循相同規(guī)律的“微量對(duì)象”，只需研究這些“微量對(duì)象”，然后再將“微量對(duì)象”進(jìn)行必要的物理思想處理，這是分析微小部分而推知整體的思維方法。

關(guān)鍵詞：無(wú)窮小量；化曲為直；化變量為常量；化瞬時(shí)為平均；顯現(xiàn)隱性條件

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）4-0036-4

所謂“微量”， 亦稱(chēng)無(wú)窮小量，是指選取的研究對(duì)象所包含的時(shí)間、長(zhǎng)度、面積、體積、電量、角度、功、質(zhì)量、能量等可能為連續(xù)分布的無(wú)限逼近零值但又不為零值的物理量。

微量法是一種放眼整體從局部入手的思維方法，中學(xué)物理中常見(jiàn)類(lèi)型有：

1 微量隔離

用無(wú)限分割的手段獲取微量的研究對(duì)象，是用微量法解決問(wèn)題的關(guān)鍵。通過(guò)微量手段隔離出的微量對(duì)象，可以是物體，也可以是某個(gè)過(guò)程，或者說(shuō)是某種場(chǎng)景。

在隔離對(duì)象的過(guò)程中，要注意研究問(wèn)題的整體特征，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分割，將整體的內(nèi)部關(guān)系轉(zhuǎn)化為微量部分與其余部分的相互關(guān)系，進(jìn)而應(yīng)用能反映物體間相互聯(lián)系的物理規(guī)律，獲得以小博大的效果。

例1 一質(zhì)量為M、均勻分布的圓環(huán)，其半徑為r，幾何軸與水平面垂直，若它能經(jīng)受的最大張力為T(mén)，求此圓環(huán)可以繞幾何軸旋轉(zhuǎn)的最大角速度。

2 微量虛擾

我們所說(shuō)的虛擾，是指對(duì)處在力的作用下的平衡狀態(tài)的物體一個(gè)虛擬的微小干擾或者位移，再利用虛功原理解決。在這類(lèi)問(wèn)題中，不可避免地要涉及微量運(yùn)算。

例2 如圖2所示，一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)，質(zhì)量為m的均勻繩子兩端分別掛在A和B的兩點(diǎn)上，A、B兩點(diǎn)的高度差為h。若已知繩子在A點(diǎn)的張力等于TA，求繩子在B點(diǎn)的張力。

3 微量比值

在中學(xué)物理中，很多物理量是通過(guò)微量之間的比值來(lái)定義的，比如：

如果物理量是變化的，或物理量的分布是不均勻的，或作用是不均勻的，則相應(yīng)物理量的比值定義，都應(yīng)采用微量比值定義的形式，定義式中的微量雖然都是趨近于零的，但是，它們的比值通常情況下都是有限值。

例3 （2014年江蘇高考卷）一汽車(chē)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，然后剎車(chē)做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，直到停止。下列速度v和位移x的關(guān)系圖像中，能描述該過(guò)程的是（ ）

例4 （2009年清華大學(xué)自主招生試題）一根質(zhì)量為M，長(zhǎng)L的鐵鏈豎直懸空，下端恰與臺(tái)秤接觸，現(xiàn)自由釋放，如圖4所示。求臺(tái)秤的最大示數(shù)是鐵鏈重力的多少倍。

分析與解 在下落過(guò)程中鏈條作用于臺(tái)秤的壓力實(shí)質(zhì)就是鏈條對(duì)臺(tái)秤的“沖力”加上落在臺(tái)秤上那部分鏈條的重力。根據(jù)牛頓第三定律，這個(gè)沖力也就等于同一時(shí)刻臺(tái)秤對(duì)鏈條的反作用力，這個(gè)力的沖量，使得鏈條落至臺(tái)秤時(shí)的動(dòng)量發(fā)生變化。由于各質(zhì)元原來(lái)的高度不同，落到地面的速度不同，動(dòng)量改變也不相同。我們?nèi)∧骋粫r(shí)刻一微小段鏈條（微元）作為研究對(duì)象，就可以將變速?zèng)_擊變?yōu)楹闼贈(zèng)_擊。

設(shè)開(kāi)始下落的時(shí)刻t=0，在t時(shí)刻落在臺(tái)秤上的鏈條長(zhǎng)為x，未到達(dá)臺(tái)秤部分鏈條的速度為v，并設(shè)鏈條的線密度為ρ。由題意可知，鏈條落至臺(tái)秤后，速度立即變?yōu)榱恪膖時(shí)刻起取很小一段時(shí)間△t，在△t內(nèi)又有△M=ρ△x落到臺(tái)秤上靜止。臺(tái)秤對(duì)△M作用的沖量為（F-ΔMg）Δt=ΔI，

所以，在t時(shí)刻鏈條對(duì)臺(tái)秤的總壓力為：

當(dāng)鏈條全部落地時(shí)，

x=L，臺(tái)秤的最大示數(shù)是鐵鏈重Mg的3倍。

4 微量積累

物理學(xué)中的許多物理量都是通過(guò)積累的方式進(jìn)行定義的，比如：

沖量（I）——力對(duì)時(shí)間的積累：

I=∑FiΔti

功（W）——力對(duì)位移的積累：

W=∑FicosθiΔli

式中θi為力Fi與Δli方向的夾角。

質(zhì)量是密度對(duì)空間的積累、熱量是熱容量對(duì)溫度的積累、能量是能量密度對(duì)空間的積累等等。

如果所有積累量通過(guò)坐標(biāo)圖像反映，則是圖像與坐標(biāo)軸所圍的面積，F(xiàn)-t圖像中的曲線與時(shí)間軸所圍的面積，即表示力在這一段時(shí)間內(nèi)的沖量。

例5 （2012北約自主招生）如圖5，平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，一端接有阻值為R的電阻，整個(gè)導(dǎo)軌處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一根質(zhì)量為m的金屬桿置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直并接觸良好。己知金屬桿在導(dǎo)軌上開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的初速度大小為v0，方向平行于導(dǎo)軌。忽略金屬桿與導(dǎo)軌的電阻，不計(jì)摩擦。證明金屬桿運(yùn)動(dòng)到總路程的λ（0≤λ≤1）倍時(shí)，安培力的瞬時(shí) 將區(qū)間[0，t]分為n小段，設(shè)第i微小段的時(shí)間間隔為Δti，桿在此段時(shí)間的位移為Δxi，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量定理得：

需要說(shuō)明的是在處理微量積累的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)候最終要涉及數(shù)列求和的運(yùn)算。微量比值與微量積累互為逆運(yùn)算，可以將這兩種運(yùn)算結(jié)合起來(lái)掌握。

5 微量關(guān)聯(lián)

在微量法中，我們選取的對(duì)象可能涉及多個(gè)微量，雖然單個(gè)微量都是趨近于零的量，它們與宏觀量相比較，往往是可以忽略不計(jì)的。但這些小量之間卻是可以比較的，正如在前面微量比值中所說(shuō)的，兩個(gè)微量之間的比值可能是恒定的。在研究這些涉及微量的問(wèn)題時(shí)，常常需要尋找這種微量之間的關(guān)聯(lián)。這種關(guān)聯(lián)以線度關(guān)聯(lián)為主，然后再推演到面積、體積、速度、加速度、力、能量等等。

例6 如圖6，在某鉛垂面上有一固定的光滑直角三角形細(xì)管軌道ABC，光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn)A處?kù)o止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間。這里假設(shè)鉛垂軌道AB與水平軌道BC的交接處B有極小的圓弧，可確保小球無(wú)碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì)。

在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖6中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓?。ㄗ饔猛希壍谰鶑腁點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值。

解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長(zhǎng)分別記為l1、l2、l3，如圖7所示，小球從A到B的時(shí)間記為T(mén)1，再?gòu)腂到C的時(shí)間為T(mén)2，而從A直接沿斜邊到C所經(jīng)歷的時(shí)間記為T(mén)3，由題意知T1+T2=T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，

t2的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降微量Δl1，便接一段水平微量Δl2，這兩個(gè)微量之間恒有Δl2=Δl1cotα，角α即為∠ACB，水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一微量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖8所示的微齒形軌道，由于Δl1、Δl2均為微量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間微量Δt1i與Δt2i之間有如下關(guān)聯(lián)：

從上述解答可以看出，直接用原始的微量關(guān)聯(lián)，解題簡(jiǎn)明且不必限定v為恒量。尋找微量之間的線度關(guān)聯(lián)，其目的是尋找宏觀物理量之間的關(guān)聯(lián)。

6 微量近似

由于微量相對(duì)于有限量而言，很多情況下是可以忽略不計(jì)的，在涉及微量運(yùn)算的具體過(guò)程中，一般應(yīng)遵循如下原則：

1）有限量A與微量的乘積AΔx仍為微小量；

2）有限量A與微量BΔx相加，后者可略，和仍為A，A+BΔx≈A；

3）微量Δx與更高級(jí)微小量B（Δx）2相加，其和仍為微量Δx，即高級(jí)微量可略，如

AΔx+B（Δx）2=（A+BΔx）Δx≈AΔx。

例7 已知地球半徑為R0，地表面的重力加速度為g0，求離地面h高處的重力加速度g（h<

即在地表附近不大的區(qū)域內(nèi)，重力加速度隨高度線性地減小。

通過(guò)上面幾種類(lèi)型的討論，我們可以看出，微量法應(yīng)用功能主要有：顯現(xiàn)隱性條件； 化“曲”為“直”；化瞬時(shí)值為平均值；化變量為常量。只要平時(shí)多注意歸納總結(jié)，對(duì)于訓(xùn)練思維大有裨益。

參考文獻(xiàn)：

[1]沈晨.更高更妙的物理[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2007.

[2]李社軍.高中知識(shí)清單[M].北京：首都師范大學(xué)出版社，2011.

（欄目編輯 羅琬華）