基于殘差修正GM(1,1)灰色動(dòng)態(tài)模型群的城市用水量預(yù)測研究

摘 要：【目的】探究殘差修正GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群在城市用水量預(yù)測中的應(yīng)用。【方法】在傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型的基礎(chǔ)上，采用對數(shù)曲線對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行殘差擬合修正，分別構(gòu)建傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型和殘差修正GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群，利用濟(jì)寧市2013—2022年實(shí)際城市用水量數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證和預(yù)測分析。【結(jié)果】相對于傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型，殘差修正GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群擬合精度和預(yù)測精度均有明顯提升，傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型擬合相對誤差為0.22%～4.22%，預(yù)測相對誤差為0.91%～2.74%，預(yù)測平均相對誤差為1.62%，預(yù)測均方誤差為0.143，殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群擬合相對誤差在0.02%～3.09%，預(yù)測相對誤差為0.75%～2.42%，預(yù)測平均相對誤差為1.32%，預(yù)測均方誤差為0.102?！窘Y(jié)論】濟(jì)寧市未來用水量呈下降趨勢，這與濟(jì)寧市嚴(yán)格落實(shí)最嚴(yán)格水資源管理制度、剛性約束用水相關(guān)指標(biāo)、用水效率得到提升的情況吻合。殘差修正GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群能夠滿足城市用水量預(yù)測。

關(guān)鍵詞：殘差修正；灰色動(dòng)態(tài)模型群；用水量預(yù)測；濟(jì)寧市

中圖分類號：TV213.9" " "文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A" " 文章編號：1003-5168（2024）22-0090-05

DOI：10.19968/j.cnki.hnkj.1003-5168.2024.22.019

Prediction of Urban Water Consumption Based on Residual Modified GM（1，1） Grey Dynamic Model Group

Abstract：[Purposes] This paper aims to explore the application of residual modified GM（1，1） grey dynamic model group in urban water consumption prediction.[Methods] On the basis of the traditional single GM（1，1） gray model， the logarithmic curve was used to fit and correct the residual results， and the traditional single GM（1，1） gray model and the residual modified GM（1，1） gray dynamic model group were constructed， the actual urban water consumption data of Jining City from 2013 to 2022 were used for case verification and prediction analysis. [Findings] Compared with the traditional single GM（1，1） gray model， the fitting accuracy and prediction accuracy of the traditional single GM（1，1） gray model group were significantly improved， and the fitting relative error of the traditional single GM（1，1） gray model was 0.22%～4.22%， the prediction relative error was 0.91%～2.74%， the prediction average relative error was 1.62%， the prediction mean square error was 0.143， and the residual modified GM（1，1）0 gray dynamic model group fitting relative error was 0.02% ～3.09%， the relative error of prediction is 0.75%～2.42%， the average relative error of prediction is 1.32%， and the mean square error of prediction is 0.102.[Conclusions] Through the prediction results of Jining's water consumption from 2023 to 2030， it can be seen that Jining's future water consumption is on a downward trend， which is consistent with Jining's strict implementation of the strictest water resources management system， rigid constraints on water-related indicators， and the improvement of water use efficiency.And the residual modified GM （ 1，1 ） gray dynamic model group can meet the prediction of urban water consumption.

Keywords：residual correction; grey dynamic model group; water consumption forecasting; Jining City

0 引言

灰色模型因具有建模所需數(shù)據(jù)樣本較少、計(jì)算簡單且預(yù)測精度較好等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用［1］。目前，灰色模型在地質(zhì)演變、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)、氣候環(huán)境等方面的預(yù)測應(yīng)用較多［2］。在城市用水量預(yù)測中，大多學(xué)者采用基于單一灰色模型用水量的預(yù)測［3-4］，但灰色模型本身具有隨預(yù)見期增長誤差增大的特點(diǎn)。為解決這一問題，蔣白懿等［5］提出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與灰色模型相結(jié)合的計(jì)算方法，該方法提高了預(yù)測精度，但需要較多的原始數(shù)據(jù)變量，對原始數(shù)據(jù)的要求高，而且單一灰色模型難以消除氣候變化、政策調(diào)整等不確定因素的影響，會(huì)造成預(yù)測結(jié)果不準(zhǔn)確。因此，本研究在傳統(tǒng)GM（1，1）灰色模型的基礎(chǔ)上提出構(gòu)建殘差修正GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群。該方法計(jì)算簡便，能夠克服氣候變化、政策調(diào)整等不確定因素的影響，提高預(yù)測精度以濟(jì)寧市為研究對象，對構(gòu)建的模型進(jìn)行實(shí)例驗(yàn)證和預(yù)測分析，探索灰色模型在城市用水量預(yù)測中的應(yīng)用，為濟(jì)寧市水資源優(yōu)化配置提供參考。

1 GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型群的構(gòu)建

1.1 單一傳統(tǒng)GM（1，1）灰色預(yù)測模型構(gòu)建

傳統(tǒng)GM（1，1）灰色模型的構(gòu)建主要有3個(gè)步驟：一是對收集的原始樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理使其呈現(xiàn)指數(shù)規(guī)律；二是構(gòu)建一階微分方程并計(jì)算結(jié)果；三是對計(jì)算結(jié)果累減得到預(yù)測值。

1.1.1 GM（1，1）模型微分方程。設(shè)初始非負(fù)數(shù)據(jù)序列見式（1）。

[X（0）=x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）]" " " " " " （1）

通過累加運(yùn)算后得到X（0）的一階累加序列可以弱化x（0）的擾動(dòng)，見式（2）。

Z（1）是X（0）的緊鄰均值生成的序列見式（3）、式（4）。

得 GM（1，1）模型對應(yīng)微分方程為式（5）。

[x（0）（k）+az（1）（k）=b] （5）

式中：z（1）為GM（1，1） 模型的背景值。

1.1.2 構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y。矩陣B和向量Y見式（6）。

1.1.3 預(yù)測模型公式?；疑⒎址匠痰淖钚《斯烙?jì)參數(shù)列滿足式（7）。

[u=abT=BTB-1BTY]" " " " " " "（7）

式中：a為發(fā)展系數(shù)，決定樣本序列的演化趨勢和速度；b為灰色作用量，體現(xiàn)樣本序列的變動(dòng)關(guān)聯(lián)。?

構(gòu)建傳統(tǒng)GM（1，1）灰色模型的一階微分方程并計(jì)算結(jié)果，計(jì)算結(jié)果經(jīng)過累減即為模型預(yù)測結(jié)果。方程為式（8）。

1.2 單一殘差修正GM（1，1）灰色預(yù)測模型構(gòu)建

為提升殘差修正效果，需要對殘差進(jìn)行正化處理，根據(jù)殘差正負(fù)符號，構(gòu)建殘差符號矩陣C式（19）。

利用傳統(tǒng)GM（1，1）灰色預(yù)測模型計(jì)算擬合值與實(shí)際值的殘差序列，對殘差序列進(jìn)行正化處理，建立正化殘差序列見式（11）。

殘差修正目的是將所有殘差序列的平方和最小化，此時(shí)的曲線就是新建立的殘差非線性的擬合曲線，再使用該殘余偏差曲線調(diào)整所有的預(yù)測值，以此達(dá)到提高估計(jì)準(zhǔn)確性的目的。通過對照試驗(yàn)取可用對數(shù)公式校正殘差，校正方法見式（12）。

式中：a0、a1為系數(shù)。

采用公式（12）對正化殘差序進(jìn)行擬合，得到修正正殘差序列[ε+0（k）]。

將得到的殘差修正值進(jìn)行正負(fù)符號恢復(fù)，見式（13）。

1.3 殘差修正灰色動(dòng)態(tài)模型群構(gòu)建

以GM（1，1）表示傳統(tǒng)灰色模型，以GM（1，1）0表示殘差修正灰色模型。對于灰色模型，構(gòu)建模型使用的樣本數(shù)據(jù)的數(shù)量應(yīng)至少4個(gè)。假定樣本數(shù)據(jù)序列X（1）（k）的數(shù)量為n，那么樣本數(shù)據(jù)序列的最后一個(gè)數(shù)的組合數(shù)為n－3，則可建立起n－3個(gè)子模型共同構(gòu)建的灰色動(dòng)態(tài)預(yù)測模型群，單一殘差修正GM（1，1）0灰色模型按式（14）構(gòu)建，以單一模型預(yù)測值的算術(shù)平均值作為灰色動(dòng)態(tài)模型群的預(yù)測值。

1.4 模型精度檢驗(yàn)

模型殘差精度檢驗(yàn)采用相對誤差法（MAPE）和均方誤差法（MSE）。利用參加模型構(gòu)建的用水量數(shù)據(jù)實(shí)際值與擬合值計(jì)算擬合相對誤差，未參加模型構(gòu)建的用水量數(shù)據(jù)實(shí)際值與預(yù)測值計(jì)算預(yù)測相對誤差和預(yù)測均方誤差。

2 實(shí)例驗(yàn)證與預(yù)測應(yīng)用

2.1 研究區(qū)域概況

濟(jì)寧市位于山東省魯西南腹地，與泰安、臨沂、菏澤、棗莊、江蘇徐州接壤，降雨量空間分布不均勻，降水量自東南向西北遞減。根據(jù)《第三次濟(jì)寧市水資源調(diào)查評價(jià)報(bào)告》，濟(jì)寧市多年平均年降水量為695.3 mm，多年平均天然水資源總量為224 960萬m3。濟(jì)寧市降水年內(nèi)分布變化較大，汛期降水占全年降水量的70%以上，季節(jié)性缺水、工程性缺水的問題依然突出。因此，開展?jié)鷮幨谐鞘行杷款A(yù)測具有重要意義。根據(jù)《濟(jì)寧市水資源公報(bào)》濟(jì)寧市2013—2022年用水量見表1。

2.2 不同模型對比分析

2.2.1 濟(jì)寧市用水量灰色模型群構(gòu)建。采用濟(jì)寧市2013—2019年用水量數(shù)據(jù)，分別構(gòu)建傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型和4個(gè)殘差修正GM（1，1）0灰色模型，4個(gè)殘差修正GM（1，1）0灰色模型組成濟(jì)寧市GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群。傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型采用2013—2019年數(shù)據(jù)構(gòu)建，單一殘差修正GM（1，1）0模型1采用2016—2019年數(shù)據(jù)，模型2采用2015—2019年數(shù)據(jù)，模型3采用2014—2019年數(shù)據(jù)，模型4采用2013—2019年數(shù)據(jù)，殘差修正GM（1，1）0模型群的輸出結(jié)果為4個(gè)單一殘差修正GM（1，1）0模型的平均值。本次以單一殘差修正GM（1，1）0模型4為例，說明單一灰色模型構(gòu)建方法。

首先構(gòu)建傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型，采用2013—2019年濟(jì)寧市用水量數(shù)據(jù)，因此X（0）=（24.10，22.39，23.60，23.50，21.59，21.53，21.36），X1（0）=（24.10，46.49，70.08，93.58，115.18，136.71，158.06）。

根據(jù)式（6）構(gòu)建數(shù)據(jù)矩陣B及數(shù)據(jù)向量Y，見式（16）。

矩陣B和向量Y帶入式（8）得a=0.017，b=23.87，因此，傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型為式（17）。

（k）=-1 380.02e-0.017（k-1）+1 404.12 （17）

k=2，…，n

根據(jù)式（11）模型的殘差修正公式為式（18）。

按照上述方法構(gòu)建4個(gè)不同的濟(jì)寧市用水量預(yù)測殘差修正GM（1，1）0灰色模型，構(gòu)建公式見表2。

4個(gè)不同的濟(jì)寧市用水量預(yù)測殘差修正GM（1，1）0灰色模型組成灰色動(dòng)態(tài)模型群，取各模型輸出結(jié)果的算數(shù)平均作為灰色動(dòng)態(tài)模型群的預(yù)測結(jié)果。

2.2.2 模型精度對比。對傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型和殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群的擬合精度和預(yù)測精度進(jìn)行對比。采用參加模型構(gòu)建的2013—2019年實(shí)際值和擬合值對比計(jì)算擬合相對誤差（MAPE），采用未參與模型構(gòu)建的2020—2022年用水量實(shí)際值和預(yù)測值對比計(jì)算預(yù)測相對誤差（MAPE）和預(yù)測均方差（MSE）。結(jié)果表明，傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型擬合相對誤差為0.22%～4.22%，擬合平均相對誤差為2.14%，預(yù)測相對誤差為0.91%～2.74%，預(yù)測平均相對誤差為1.62%，預(yù)測均方誤差為0.143。殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群擬合相對誤差在0.02%～3.09%，擬合平均相對誤差為0.03%～1.26%，預(yù)測相對誤差為0.75%～2.42%，預(yù)測平均相對誤差為1.32%，均方誤差為0.102?？梢?，相對于傳統(tǒng)單一GM（1，1）灰色模型，殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群相對誤差和均方誤差更小，擬合精度和預(yù)測精度均有提升。兩種模型擬合精度結(jié)果見表3，預(yù)測精度結(jié)果見表4。

2.2.3 濟(jì)寧市用水量預(yù)測。利用上述方法構(gòu)建殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群對2023—2030年濟(jì)寧市用水量預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表5?？梢钥闯鰸?jì)寧市用水量呈下降趨勢，到2025年用水量減少為20.22×108m3，比2022年下降2.9%；到2030年用水量減少為18.84×108m3，比2022年下降9.5%。用水量減少的主要影響因素是“十三五”以來，濟(jì)寧市嚴(yán)格落實(shí)水資源管理制度，將用水總量控制、萬元GDP用水量、萬元GDP用水量下降率、萬元工業(yè)增加值用水量下降率、工業(yè)用水重復(fù)利用率、農(nóng)田灌溉水有效利用系數(shù)等指標(biāo)作為濟(jì)寧市“十三五”和“十四五”規(guī)劃的剛性約束指標(biāo)。根據(jù)《濟(jì)寧市統(tǒng)計(jì)年鑒》《濟(jì)寧市水資源公報(bào)》，得到2013—2022年濟(jì)寧市用水效率指標(biāo)，濟(jì)寧市萬元GDP用水量和萬元工業(yè)增加值用水量呈下趨勢，2013—2022年的10年間，萬元GDP用水量由68.8m3下降到39.2m3，下降了43.0%；萬元工業(yè)增加值用水量由18.4m3下降到14.3m3，下降了22.3%。通過對2013—2022年濟(jì)寧市用水量與萬元GDP用水量、萬元工業(yè)增加值用水量之間的Pearson相關(guān)系數(shù)分析可以看出，濟(jì)寧市用水量與萬元GDP用水量相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.964，為極強(qiáng)相關(guān)等級，與萬元工業(yè)增加值用水量相關(guān)系數(shù)為0.557，為中等相關(guān)等級。可見，用水效率的提升是濟(jì)寧市用水量減少的重要因素之一。Pearson相關(guān)系數(shù)等級［6］見表6，濟(jì)寧市各指標(biāo)與用水量Pearson相關(guān)系數(shù)及相關(guān)程度見表7。

3 結(jié)論

①通過對傳統(tǒng)GM（1，1）灰色動(dòng)態(tài)模型和殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群的構(gòu)建和對比可以看出，殘差修正灰色動(dòng)態(tài)模型群的精度有了較大提升，殘差修正GM（1，1）0灰色動(dòng)態(tài)模型群可以應(yīng)用于用水量的預(yù)測。

②根據(jù)預(yù)測結(jié)果，濟(jì)寧市用水量呈下降趨勢，這與“十三五”以來濟(jì)寧市嚴(yán)格落實(shí)水資源管理制度，剛性約束用水相關(guān)指標(biāo)的情況吻合。參照預(yù)測結(jié)果，水資源管理部門可在水資源用水趨勢的預(yù)見期內(nèi)，提前布局，適時(shí)提升高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)規(guī)模，合理優(yōu)化配置水資源。

③構(gòu)建的殘差修正GM（1，1）0灰色模型群為動(dòng)態(tài)模型，隨時(shí)間推移可以不斷更新構(gòu)建模型的原始數(shù)據(jù)系列，達(dá)到提高預(yù)測精度的目的。

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