探析2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷第9題

摘" 要：動點(diǎn)的軌跡問題是歷年高考和全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽的重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，特別是新課程改革以來，注重考查學(xué)生的創(chuàng)新意識、運(yùn)算能力、分析問題及解決問題的能力等.求軌跡方程實(shí)質(zhì)上是數(shù)形結(jié)合的最直接體現(xiàn)，同時在建構(gòu)函數(shù)方程、轉(zhuǎn)化與化歸思想等方面均有體現(xiàn).

關(guān)鍵詞：聯(lián)賽；動點(diǎn)；軌跡方程

中圖分類號：G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A""" 文章編號：1008-0333（2024）22-0050-04

收稿日期：2024-05-05

作者簡介：賀鳳梅（1979—），女，湖北省隨州人，本科，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

近年來，全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽與高考試題、名校的強(qiáng)基計(jì)劃試題都緊密聯(lián)系，研究聯(lián)賽試題對于高三復(fù)習(xí)，甚至對于高一高二的尖子生的培養(yǎng)都大有裨益.2023年聯(lián)賽試卷中的解析幾何試題就是一道很好的高考復(fù)習(xí)素材，下面分享一下研究內(nèi)容，以饗讀者.

1" 試題呈現(xiàn)

試題" （2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試第9題）平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線τ：y2=4x，F(xiàn)為τ的焦點(diǎn)，A，B為τ上兩個不重合的動點(diǎn)，使得線段AB的一個三等分點(diǎn)P位于線段OF上（含端點(diǎn)）.記Q為線段AB的另一個三等分點(diǎn)，求點(diǎn)Q的軌跡方程.

2" 總體分析

此題是2023年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷一試第9題，試題難度適中，涉及求動點(diǎn)的軌跡方程.此類試題可以利用直接法設(shè)點(diǎn)，結(jié)合幾何等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，也可以利用相關(guān)點(diǎn)法進(jìn)行求解，還可以利用參數(shù)法建立x與y的聯(lián)系，然后消去參數(shù)，得出動點(diǎn)的軌跡方程.同時一定要關(guān)注題中的隱含限制條件，即求解過程中常說的定義域問題.

3" 試題解答

視角1" 常規(guī)設(shè)點(diǎn)，借助定比分點(diǎn)公式解答.

解法1" 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），依題意可知AP=12PB，且λ=12.

由定比分點(diǎn)公式可得

xP=x1+x2/21+（1/2）=2x1+x23.

同理yP=2y1+y23.

所以點(diǎn)P（2x1+x23，2y1+y23）.

而AQ=2QB，

易得點(diǎn)Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OF上，則有

0≤2x1+x23≤1，①

2y1+y23=0.②

由②解得y2=-2y1.

不妨設(shè)y1=t，則y2=-2t.

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線y2=4x上，

所以x1=y214=t24，

x2=y224=t2.

代入①整理，得0≤12t2≤1.

由題設(shè)可知A，B兩點(diǎn)不重合.

所以t≠0.

故0lt;t2≤2.

結(jié)合以上轉(zhuǎn)化可求得xQ=34t2，yQ=-t，且0lt;34t2≤32.

從而點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此法屬于常規(guī)解法，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用定比分點(diǎn)公式得出點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)P的位置得出y2=-2y1以及橫坐標(biāo)的范圍.接著用中間量替換以及點(diǎn)A，B在拋物線上進(jìn)行必要轉(zhuǎn)化與求解，找出點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)聯(lián)，最終求出點(diǎn)Q的軌跡方程.當(dāng)然，要想獲得滿分其實(shí)不容易，考生往往易忽視軌跡的范圍（包括端點(diǎn)）［1］.

解法2" 結(jié)合解法1知，P（2x1+x23，2y1+y23），Q（x1+2x23，y1+2y23）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OF上，

所以y2=-2y1.

即y22=4y21.

又點(diǎn)A，B在拋物線上，

即y21=4x1，y22=4x2.

所以x2=4x1.

因?yàn)閤P=2x1∈（0，1］，

所以x1∈（0，12］.

結(jié)合以上轉(zhuǎn)化與求解易得xQ=3x1，yQ=-y1.

因?yàn)閥21=4x1，

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 解法2是在解法1的基礎(chǔ)上進(jìn)行簡化，沒有介入中間量，而是結(jié)合點(diǎn)A，B在拋物線上直接尋找點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系，這樣處理相對簡潔，當(dāng)然對運(yùn)算能力與轉(zhuǎn)化能力的要求更高.另外變量的范圍不容忽視，屬于易丟分點(diǎn)［2］.

視角2" 利用參數(shù)方程，借助定比分點(diǎn)公式解答.

解法3" 設(shè)拋物線τ：y2=4x的參數(shù)方程為x=t2，y=2t（t為參數(shù)），

設(shè)A（a2，2a），B（b2，2b），

由定比分點(diǎn)公式，得

P（2a2+b23，4a+2b3），Q（a2+2b23，2a+4b3）.

因?yàn)辄c(diǎn)P在線段OF上，則有

0≤2a2+b23≤1，③

4a+2b3=0.④

由④解得b=-2a.

代入③整理得0lt;a2≤12（A，B兩點(diǎn)不重合，a≠0）.

結(jié)合以上轉(zhuǎn)化與求解易得

xQ=3a2，yQ=-2a.

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為 y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此法利用拋物線的參數(shù)方程設(shè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化與求解，參數(shù)相應(yīng)減少，點(diǎn)Q的橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系更明顯，當(dāng)然前提條件是考生必須熟練掌握參數(shù)方程，這也對化歸與轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力提出了更高的要求［3］.

視角3" 設(shè)點(diǎn)P及Q的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)A，B在拋物線上轉(zhuǎn)化求解.

解法4" 設(shè)Q（x，y），P（t，0）（0lt;t≤1），

由題可知，點(diǎn)P為AQ中點(diǎn)，點(diǎn)Q為PB中點(diǎn).

易知A（2t-x，-y），B（2x-t，2y）.

因?yàn)辄c(diǎn)A，B在拋物線上，

所以

y2=4（2t-x），（2y）2=4（2x-t）.

消y整理，得x=32t.

所以0lt;x≤32.

從而t=23x.

故可求得點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此解法直擊目標(biāo)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，直接設(shè)點(diǎn)Q（x，y），結(jié)合題設(shè)條件設(shè)點(diǎn)P（t，0）（0lt;t≤1），利用相關(guān)點(diǎn)法得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，而點(diǎn)A，B在拋物線上，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化即可求解.

視角4" 結(jié)合題設(shè)，通過減元處理求解.

解法5" 設(shè)A（t24，t），由題可知AP=12PB，且點(diǎn)P在線段OF上，由線段的定比分點(diǎn)公式，得

yP=2yA+yB3=0.

所以yB=-2yA=-2t.

又y2B=4xB，

所以xB=t2.

即點(diǎn)A（t2，-2t）.

結(jié)合定比分點(diǎn)公式可求得

xP=2xA+xB3=12t2.

由前面的解法易知0lt;t2≤2.

進(jìn)一步得xQ=34t2，yQ=-t.

所以點(diǎn)Q的軌跡方程為y2=43x（0lt;x≤32）.

評注" 此解法就是在厘清問題的本質(zhì)之后作減元處理.正所謂熟能生巧，萬變不離其宗，只要抓住問題的實(shí)質(zhì)，問題自然迎刃而解.

4" 追根溯源

定比分點(diǎn)公式在現(xiàn)行教材中未明確提出，但它卻是解析幾何中的一個重要知識.人教A版新教材必修第二冊第32至33頁的例9就是在探究這個知識點(diǎn)，值得大家關(guān)注.

設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2）.

（1）當(dāng)P是線段P1P2的中點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P是線段P1P2的一個三等分點(diǎn)時，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

探究：線段P1P2端點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是（x1，y1），（x2，y2），P是線段P1P2上的一點(diǎn)，

當(dāng)P1P=λPP2時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1+λx21+λ，y1+λy21+λ）.

評注" 人教A版新教材必修第二冊以例題及探究的形式將定比分點(diǎn)公式納入所學(xué)知識的范疇，足見定比分點(diǎn)公式是我們必須掌握和能夠靈活應(yīng)用到解題中去的. 當(dāng)然以上的解法中大家均可以用向量的坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，異曲同工，有興趣的同仁不妨一試.

5" 聯(lián)賽試題鏈接

（2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）如圖1，過拋物線y=x2上的一點(diǎn)A（1，1）作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C在拋物線上，點(diǎn)E在線段AC上，滿足AEEC=λ1，點(diǎn)F在線段BC上，滿足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，線段CD與EF交于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)C在拋物線上移動時，求點(diǎn)P的軌跡方程.

圖1" 2005年聯(lián)賽解析幾何題圖

解析" 易得切線AB的方程為y=2x-1.

所以點(diǎn)B（0，-1），D（12，0）.

所以D是線段AB的中點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)P（x，y），C（x0，x20），E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），

因?yàn)锳EEC=λ1，

由定比分點(diǎn)公式，得

x1=1+λ1x01+λ1，y1=1+λ1x201+λ1.

同理，由BFFC=λ2，得

x2=λ2x01+λ2，y2=-1+λ2x201+λ2.

利用兩點(diǎn)式寫出直線EF的方程，并整理得

［（λ2-λ1）x0-（1+λ2）］y=［（λ2-λ1）x20］x+1+x0-λ2x20.⑤

當(dāng)x0≠12時，直線CD：y=2x20x-x202x0-1.⑥

聯(lián)立⑤⑥，得x=1+x03，y=x203.

消去x0，得y=13（3x-1）2.

當(dāng)x0=12時，交點(diǎn)坐標(biāo)為（12，112），滿足以上軌跡方程.

而點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合，所以x0≠1，從而x≠23.

綜上，點(diǎn)P的軌跡方程為y=13（3x-1）2 （x≠23）.

評注" 本題是2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線AB方程，得出點(diǎn)B，D坐標(biāo)，設(shè)所需點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合定比分點(diǎn)公式作相關(guān)轉(zhuǎn)化，同時還需用到交軌法，可以求出相應(yīng)的軌跡方程，同樣需要考慮其中的限制條件，以上解答供大家參考.

6" 結(jié)束語

平面向量是新教材的一個亮點(diǎn)，而向量的定比分點(diǎn)公式結(jié)構(gòu)美觀，用來解決國內(nèi)外的一些競賽與聯(lián)賽試題快速、高效，別有一番風(fēng)味.比如第29屆IMO預(yù)選題，求線段比值，用定比分點(diǎn)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，問題迎刃而解；第23屆IMO試題，已知三點(diǎn)共線，求參數(shù)的值，利用定比分點(diǎn)公式巧妙化解難題；1995年國家集訓(xùn)隊(duì)試題，判斷三點(diǎn)位置關(guān)系時，結(jié)合定比分點(diǎn)公式，很容易證明三點(diǎn)共線.雖然現(xiàn)行的新教材將向量定比分點(diǎn)公式設(shè)置在例題中，但它是非常有用的！因此，在今后的學(xué)習(xí)中我們要多留心教材的例題和習(xí)題，深刻領(lǐng)悟編者意圖，擴(kuò)大知識面，提高解題能力，形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］

蔡玉書.向量的定比分點(diǎn)公式的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通訊，2012（Z3）：110-113.

［2］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［3］ 朱勝強(qiáng).線段定比分點(diǎn)向量公式的幾何意義及其應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2016，55（06）：31-33，39.

［責(zé)任編輯：李" 璟］