探索動(dòng)態(tài)生成，激發(fā)思維活力

［摘 要］ 探索課堂動(dòng)態(tài)生成是教師及時(shí)捕捉課堂信息，使之成為有效的教學(xué)資源，從而實(shí)現(xiàn)教學(xué)效果提升的教學(xué)策略. 課堂教學(xué)具有豐富性、復(fù)雜性和可變性等特征，探索課堂教學(xué)中的動(dòng)態(tài)生成能夠激發(fā)師生智慧，使課堂教學(xué)更具活力. 研究者著手探究概念教學(xué)、公式和定理教學(xué)以及解題教學(xué)實(shí)踐中的動(dòng)態(tài)資源，旨在分析保障數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的策略，并尋求最大化提升學(xué)生學(xué)習(xí)效果的方法.

［關(guān)鍵詞］ 動(dòng)態(tài)生成；高效教學(xué)；思維活力

教學(xué)是師生互動(dòng)的動(dòng)態(tài)過程，好課不僅源自教師預(yù)設(shè)，更在于師生智慧的共同生成. 課堂動(dòng)態(tài)生成包括教學(xué)資源與教學(xué)過程的生成. 合理且科學(xué)地運(yùn)用教學(xué)過程中產(chǎn)生的即時(shí)資源，能夠引導(dǎo)學(xué)生深入探究，從而激發(fā)課堂的活力. 探索課堂動(dòng)態(tài)生成要求教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，能夠及時(shí)將預(yù)設(shè)以外的動(dòng)態(tài)資源轉(zhuǎn)化為課堂教學(xué)資源，從而促進(jìn)課堂預(yù)設(shè)與課堂生成的統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)高效教學(xué). 本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，闡述在課堂教學(xué)中探索動(dòng)態(tài)生成的教學(xué)策略.

探索概念教學(xué)動(dòng)態(tài)生成，強(qiáng)化思維認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)概念是對事物數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)概括，具有抽象性和邏輯性. 針對概念指導(dǎo)，即數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的前提媒介，更是教學(xué)知識(shí)全面滲透給學(xué)生的精髓. 教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生全面分析數(shù)學(xué)概念，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)技能. 因此，在探索數(shù)學(xué)概念教學(xué)動(dòng)態(tài)生成的過程中，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生自主探索并深刻體驗(yàn)概念形成的過程，在概念辨析中深化學(xué)生的理解，從而提高他們的認(rèn)知水平.

案例1 三角函數(shù)線.

引導(dǎo)學(xué)生分析弧度制，通過激發(fā)他們聯(lián)想和想象，促進(jìn)對弧度與弧長之間轉(zhuǎn)換的直觀理解. 采用類比方法，對幾何圖形進(jìn)行任意角的函數(shù)值轉(zhuǎn)換，包括有正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值和正切函數(shù)值，從而獲得相應(yīng)的定義. 這一過程有助于學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)內(nèi)化吸收. 部分學(xué)生能夠輕松地分析出正弦線和余弦線的定義，但在學(xué)習(xí)正切線的概念時(shí)卻遇到了問題.

生1：正弦線和余弦線都是在單位圓與角α的終邊交點(diǎn)處作垂線獲得的，為什么正切線是在單位圓與x軸的非負(fù)半軸交點(diǎn)處作切線來確定的呢？

在講解過程中，學(xué)生對正切線的定義產(chǎn)生了超出筆者預(yù)期的疑問. 那么，如何消除這些疑惑，使學(xué)生信服呢？為了強(qiáng)化學(xué)生對概念的理解，筆者引導(dǎo)學(xué)生展開了討論.

師：你們知道正切線可以用哪一個(gè)點(diǎn)作為起始點(diǎn)嗎？

生1：我覺得可以用單位圓與x軸的負(fù)半軸相交的點(diǎn)A′（-1，0）作為起始點(diǎn)，不一定只能用點(diǎn)A（1，0）作為起始點(diǎn).

師：很好，下面我們一起探討一個(gè)問題. 若存在一個(gè)角α，其終邊位于第二象限，過點(diǎn)A′（-1，0）構(gòu)建單位圓的切線，切線與角α的終邊相交于點(diǎn)B′，則有向線段可以表示角α的正切線嗎？若角α的終邊在第三象限、第四象限呢？

學(xué)生分組討論，交流想法，展示成果.

生2：當(dāng)角α的終邊位于第二象限時(shí)，對應(yīng)的正切值是負(fù)數(shù)，而與y軸的非負(fù)半軸同向，通常被標(biāo)記為正值. 可見兩者之間存在矛盾，因此不能用有向線段來表示角α的正切線. 同理，當(dāng)角α的終邊位于第三象限時(shí)，也不能用有向線段來表示角α的正切線；而當(dāng)角α的終邊位于第四象限時(shí)，則可以用有向線段來表示角α的正切線.

師：很好，經(jīng)過大家的深入討論，我們明確了正切線必須以點(diǎn)A（1，0）作為起始點(diǎn). 這一過程也讓我們深刻體會(huì)到了數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性.

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中常有疑問，即使與教師的預(yù)設(shè)不符，教師也不能直接否定，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探索證明，使之真正理解并信服. 在本例中，筆者用正切線引導(dǎo)學(xué)生分析知識(shí)點(diǎn)，并分類組織研究活動(dòng)，通過交流釋疑解惑，動(dòng)態(tài)強(qiáng)化對數(shù)學(xué)概念的理解.

研究公式和定理的生成過程，促進(jìn)學(xué)生提升思維能力

數(shù)學(xué)公式和定理是學(xué)生解題和邏輯推理的依據(jù)，反映事物間的關(guān)系，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵內(nèi)容. 教授數(shù)學(xué)公式和定理的運(yùn)用是教學(xué)基本任務(wù). 機(jī)械記憶難以讓學(xué)生真正理解，反而會(huì)影響能力提升. 因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和體會(huì)公式和定理的含義，形成自我認(rèn)知，理解數(shù)學(xué)本質(zhì).

案例2 推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：（講述國際象棋棋盤上放置麥粒的故事）我們該如何計(jì)算出所有麥粒的總數(shù)呢？這個(gè)問題引出了我們今天的新課程內(nèi)容：如何計(jì)算等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. 具體來說，就是計(jì)算S=1+2+22+23+…+263.

（2）問題探究，總結(jié)公式

師：如何推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式呢？

生3：我們可以在等式的兩邊同時(shí)乘上公比q.

師：你是怎么知道這種計(jì)算方法的呢？

生3：我是從教材中看到的.

學(xué)生預(yù)習(xí)了計(jì)算方法但不明原因，這在筆者的預(yù)料之中. 在這種情況下，筆者并未立即發(fā)表評論，而是繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入探究，以理解公式的深層含義.

師：想必大家一定記得在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)使用的倒序相加法，那么它能不能應(yīng)用到等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)中呢？

師：在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，我們的目標(biāo)是構(gòu)造出相同的項(xiàng)；相應(yīng)地，推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式也可以朝向這個(gè)目標(biāo).

學(xué)生在實(shí)踐操作中發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列的每一項(xiàng)乘上公比q后，結(jié)果等同于其后一項(xiàng). 基于這一特性，學(xué)生理解了在等式兩邊同時(shí)乘上公比q的原理.

生4：我有其他方法. 在等式S=a+aq+aq2+…+aqn-1的右邊提取公比q，可得S=a+q（a+aq+...+aqn-2）. 這個(gè)等式右邊括號中的式子可以看作等比數(shù)列｛ａ｝的前n-1項(xiàng)的和，這樣S=a+qS. 因?yàn)閍=S-S，所以S=a+q（S-a），（1-q）S=a（1-qn）. 接下來對（1-q）進(jìn)行分類討論.

師：非常好，生4給我們提供了另一種推導(dǎo)方法，那么推導(dǎo)過程還有需要完善的嗎？

生5：因?yàn)镾要有意義，所以n必須大于等于2.

為了讓學(xué)生在應(yīng)用公式和定理解決問題時(shí)能夠得心應(yīng)手，必須讓他們經(jīng)歷推導(dǎo)和證明全過程. 在本例中，筆者指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比等差數(shù)列求和的方法，探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，從而幫助學(xué)生深入理解公式和定理. 在推導(dǎo)過程中，學(xué)生提出了新方法. 筆者并未急于發(fā)表評論，而是引導(dǎo)學(xué)生在討論中不斷優(yōu)化解題策略，從而促進(jìn)他們思維能力的提升，并在動(dòng)態(tài)互動(dòng)中孕育課堂智慧，實(shí)現(xiàn)高效課堂教學(xué).

探索解題教學(xué)動(dòng)態(tài)生成，拓展思維空間

解決數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一. 在解題過程中，學(xué)生不僅要應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，而且要進(jìn)行知識(shí)遷移，從而開展再創(chuàng)造和再發(fā)現(xiàn). 分析解決問題的動(dòng)態(tài)資源，本質(zhì)上有助于鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，提升他們的學(xué)習(xí)能力，并發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力. 這要求數(shù)學(xué)教師真正將學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交到學(xué)生手中，激發(fā)他們的主觀能動(dòng)性，使他們勇于表達(dá)自己的觀點(diǎn)，進(jìn)而拓展他們的思維空間.

案例3 求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.

例題：已知等差數(shù)列｛ａ｝，前10項(xiàng)和為310，前20項(xiàng)和為1220，求S.

師：請大家分組進(jìn)行討論，并嘗試運(yùn)用多種方法解題.

第一組：運(yùn)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解題. S=10a+45d=310，S=20a+190d=1220，求得a=4和d=6，所以S=2730.

第二組：證明S，S-S，S-S為等差數(shù)列，所以2（S-S）=S+（S-S），直接求得S=2730.

在這一解題思路的啟發(fā)下，課堂思維活力得到了激發(fā). 學(xué)生運(yùn)用發(fā)散性思維，提出了更多不同的解決方案，這不僅使課堂氣氛變得更加活躍，還進(jìn)一步增強(qiáng)了他們的學(xué)習(xí)興趣.

第三組：假設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S=An2+Bn，由此可得=An+B. 我們證明是等差數(shù)列，根據(jù)第二組的結(jié)論求出S=2730.

在引導(dǎo)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的過程中，教師應(yīng)當(dāng)創(chuàng)造一個(gè)適宜的活動(dòng)空間和氛圍，以促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用和遷移知識(shí). 在本例中，筆者引導(dǎo)學(xué)生采用多種解題方法，探索課堂動(dòng)態(tài)生成，從而培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，促進(jìn)知識(shí)遷移，并構(gòu)建全新的數(shù)列結(jié)構(gòu)模型. 這一過程不僅拓寬了學(xué)生的知識(shí)視野，而且提升了數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量.

綜上所述，探索課堂動(dòng)態(tài)生成是打造精彩課堂和實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)的關(guān)鍵. 因此，教師應(yīng)充分發(fā)揮教學(xué)智慧，以學(xué)生的發(fā)展為立足點(diǎn)，及時(shí)捕捉課堂生成信息，以此使課堂教學(xué)更加生動(dòng)和有效.