云南某城市公共供水管網(wǎng)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究

摘 要：本文以城市公共供水管網(wǎng)為目標(biāo)，探討多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用以及管網(wǎng)的總成本、可靠性等優(yōu)化目標(biāo)。采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)和蒙特卡洛模擬方法，通過(guò)構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)和權(quán)重分配，生成備選設(shè)計(jì)方案，并利用理想點(diǎn)法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，確定最優(yōu)解。研究結(jié)果表明，基于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法能夠全面考慮多個(gè)目標(biāo)和約束條件，克服單目標(biāo)優(yōu)化的片面性，同時(shí)蒙特卡洛模擬方法能夠有效克服優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性及離散型。

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)；供水管網(wǎng)；蒙特卡洛模擬

中圖分類號(hào)：TU 991" " 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

1 工程概況

以云南某市的供水工程為研究對(duì)象，進(jìn)行城市公共供水管網(wǎng)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究。該供水工程由27個(gè)供水節(jié)點(diǎn)組成，包括水源、泵站、調(diào)節(jié)水池、用戶等。節(jié)點(diǎn)之間通過(guò)42個(gè)管段相互連接，形成一個(gè)復(fù)雜的供水網(wǎng)絡(luò)。最高時(shí)總供水量為1267.34L/s，最不利點(diǎn)的自由水頭為30m。管網(wǎng)的基準(zhǔn)收益率為8%，運(yùn)行維護(hù)費(fèi)率為管網(wǎng)總成本的3.5%。項(xiàng)目計(jì)算期為30a，泵站各時(shí)段的綜合效率為80%。此外，日變化系數(shù)為1.2，該數(shù)據(jù)反映供水需求在一天內(nèi)的變化幅度。

2 多目標(biāo)供水管網(wǎng)目標(biāo)優(yōu)化模型建立

為實(shí)現(xiàn)該城市公共供水管網(wǎng)的目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用一種分步驟的優(yōu)化思路，包括初步流量分配、管段管徑模擬、備選設(shè)計(jì)方案生成、目標(biāo)函數(shù)計(jì)算以及綜合評(píng)價(jià)確定最優(yōu)解[1-2]。以下是詳細(xì)的設(shè)計(jì)思路闡述。1）初步流量分配。采用最短路線法對(duì)供水管網(wǎng)中的各管線流量進(jìn)行初步分配。通過(guò)計(jì)算各管線的阻力損失，將流量分配到各管線上，從而得到一個(gè)初步的流量分配方案。2）管段管徑模擬。利用蒙特卡洛模擬方法對(duì)各管段的管徑進(jìn)行模擬。通過(guò)設(shè)定合理的管徑范圍和模擬次數(shù)，生成一系列可能的管徑組合，為后續(xù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供備選方案。3）備選設(shè)計(jì)方案生成。根據(jù)蒙特卡洛模擬得到的管徑組合，結(jié)合初步流量分配的結(jié)果，生成一系列的管網(wǎng)備選設(shè)計(jì)方案。4）目標(biāo)函數(shù)計(jì)算。在生成備選設(shè)計(jì)方案后，將計(jì)算每個(gè)方案的目標(biāo)函數(shù)值。目標(biāo)函數(shù)通常包括多個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，通過(guò)建立目標(biāo)函數(shù)模型，對(duì)每個(gè)備選設(shè)計(jì)方案進(jìn)行評(píng)估，得出各方案的目標(biāo)函數(shù)值。5）綜合評(píng)價(jià)確定最優(yōu)解。采用理想點(diǎn)法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，以確定最優(yōu)解。通過(guò)比較各方案的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)值找出最優(yōu)解。

3 確定最小路徑

3.1 模型配置

為實(shí)現(xiàn)城市公共供水管網(wǎng)的目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，采用Dijkstra法計(jì)算最短路徑，并基于此計(jì)算模型進(jìn)行路徑計(jì)算。

構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)圖：將供水管網(wǎng)抽象為一個(gè)加權(quán)有向圖，如公式（1）所示。

G=（V，E） （1）

式中：V為節(jié)點(diǎn)集合；E為邊集合。

節(jié)點(diǎn)V代表供水管網(wǎng)中的各個(gè)節(jié)點(diǎn)，邊E代表供水管網(wǎng)中的各個(gè)管線。

初始化：設(shè)定一個(gè)初始節(jié)點(diǎn)作為源點(diǎn)，記為s。創(chuàng)建一個(gè)優(yōu)先隊(duì)列Q，用于存儲(chǔ)待處理的節(jié)點(diǎn)及其距離。針對(duì)圖G中的所有節(jié)點(diǎn)v，初始化距離d（s，v）為無(wú)窮大，源點(diǎn)s的距離為0。同時(shí)，創(chuàng)建一個(gè)集合S，用于存儲(chǔ)已處理過(guò)的節(jié)點(diǎn)。

Dijkstra算法計(jì)算最短路徑：利用Dijkstra算法計(jì)算從源點(diǎn)s到其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑。算法的主要步驟如下。1）將源點(diǎn)s加入集合S，表示已處理。2）針對(duì)集合S中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)v，遍歷其鄰接節(jié)點(diǎn)u，計(jì)算從源點(diǎn)s經(jīng)過(guò)節(jié)點(diǎn)v到節(jié)點(diǎn)u的路徑長(zhǎng)度alt，如公式（2）所示。3）如果alt小于當(dāng)前已知的從源點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)u的最短路徑長(zhǎng)度d（s，u），就更新最短路徑長(zhǎng)度d（s，u）為alt，并將節(jié)點(diǎn)u的前驅(qū)節(jié)點(diǎn)設(shè)置為v。4）重復(fù)步驟2和步驟3，直到集合S囊括所有節(jié)點(diǎn)。

alt=d（s，v）+weight（v，u） （2）

式中：d（s，v）為從源點(diǎn)s到節(jié)點(diǎn)v的最短路徑長(zhǎng)度；weight（v，u）為邊（v，u）上的權(quán)重。

計(jì)算最短路徑：在Dijkstra算法計(jì)算完成后，可以得到從源點(diǎn)s到其他節(jié)點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度d（s，v）。這些最短路徑長(zhǎng)度可以用于后續(xù)的流量分配和優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3.2 數(shù)據(jù)計(jì)算及分析

結(jié)合考慮供水管網(wǎng)的可靠性以及經(jīng)濟(jì)性，因?yàn)橛?jì)算過(guò)程煩瑣且數(shù)據(jù)量大，所以采用建模軟件Matlab2018a進(jìn)行模型計(jì)算，將供水管網(wǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行導(dǎo)入按照公式（1）、公式（2），得出供水路線最短路徑規(guī)劃圖（如圖1所示）。在此選擇部分規(guī)劃點(diǎn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。

3.2.1 步驟1

節(jié)點(diǎn)集合V={A，B，C，D，E}，邊集合E={（A，B，2），（A，C，4），（B，C，1），（B，D，5），（C，D，3），（C，E，2），（D，E，2）}，（（A，B，2）表示從節(jié)點(diǎn)A到節(jié)點(diǎn)B的管線權(quán)重為2）。

3.2.2 步驟2：初始化

設(shè)定源點(diǎn)為A，即s=A。初始化距離，d（s，A）=0，d（s，B）=∞，d（s，C）=∞，d（s，D）=∞，d（s，E）=∞。優(yōu)先隊(duì)列Q={A（0）}，已處理節(jié)點(diǎn)集合S={}。

3.2.3 步驟3：Dijkstra算法計(jì)算最短路徑

3.2.3.1 處理源點(diǎn)A

將A加入集合S，S={A}，遍歷A的鄰接節(jié)點(diǎn)B和C，更新距離，如公式（3）、公式（4）所示。

dlt=d（s，A）+weight（A，B）=0+2=2，更新d（s，B）=2" （3）

alt=d（s，A）+weight（A，C）=0+4=4，更新d（s，C）=4 （4）

更新優(yōu)先隊(duì)列Q={B（2），C（4）}。

3.2.3.2 處理節(jié)點(diǎn)B

從Q中取出距離最小的節(jié)點(diǎn)B，S={A，B}，遍歷B的鄰接節(jié)點(diǎn)C和D，更新距離，如公式（5）、公式（6）所示。

alt=d（s，B）+weight（B，C）=2+1=3，更新d（s，C）=3 （5）

alt=d（s，B）+weight（B，D）=2+5=7，更新d（s，D）=7 （6）

更新優(yōu)先隊(duì)列Q={C（3），D（7）}。

3.2.3.3 處理節(jié)點(diǎn)C

從Q中取出距離最小的節(jié)點(diǎn)C，S={A，B，C}，遍歷C的鄰接節(jié)點(diǎn)D和E，更新距離，如公式（7）、公式（8）所示。

alt=d（s，C）+weight（C，D）=3+3=6，更新d（s，D）=6 （7）

alt=d（s，C）+weight（C，E）=3+2=5，更新d（s，E）=5 （8）

更新優(yōu)先隊(duì)列Q={D（6），E（5）}。

3.2.3.4 處理節(jié)點(diǎn)D

從Q中取出距離最小的節(jié)點(diǎn)D，S={A，B，C，D}，遍歷D的鄰接節(jié)點(diǎn)E，更新距離，如公式（9）所示。

alt=d（s，D）+weight（D，E）=6+2=8 （9）

因?yàn)?大于當(dāng)前的d（s，E）=5，所以不更新，更新優(yōu)先隊(duì)列Q={E（5）}。

3.2.3.5 處理節(jié)點(diǎn)E

從Q中取出距離最小的節(jié)點(diǎn)E，S={A，B，C，D，E}，節(jié)點(diǎn)E沒(méi)有未處理的鄰接節(jié)點(diǎn)，算法結(jié)束。

3.2.3.6 結(jié)果

從源點(diǎn)A到各節(jié)點(diǎn)的最短路徑如公式（10）～公式（13）所示。

A-gt;B-gt;C-gt;D=880 （10）

A-gt;B-gt;C-gt;E=880 （11）

A-gt;C-gt;D=630 （12）

A-gt;C-gt;E=1120 （13）

4 管網(wǎng)備選設(shè)計(jì)方案

4.1 蒙特卡洛模擬

采用蒙特卡洛方法模擬各管段管徑[3-4]，并生成管網(wǎng)備選設(shè)計(jì)方案。計(jì)算步驟如下。1）確定管徑范圍和模擬次數(shù)。管徑范圍可以根據(jù)管材、設(shè)計(jì)規(guī)范和工程經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定。2）生成隨機(jī)管徑樣本。在確定管徑范圍和模擬次數(shù)后，采用蒙特卡洛方法生成隨機(jī)管徑樣本。針對(duì)每個(gè)管段，根據(jù)預(yù)設(shè)的管徑范圍，隨機(jī)生成一個(gè)管徑值，如公式（14）所示。3）構(gòu)建管網(wǎng)備選設(shè)計(jì)方案。根據(jù)生成的隨機(jī)管徑樣本，構(gòu)建一系列的管網(wǎng)備選設(shè)計(jì)方案。每個(gè)方案包括不同管段的管徑選擇，通過(guò)組合不同的管徑，可以得到多種可能的管網(wǎng)布局。4）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值。針對(duì)每個(gè)備選設(shè)計(jì)方案，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值。重復(fù)模擬和評(píng)估，重復(fù)步驟2～步驟4，進(jìn)行多次模擬和評(píng)估，以獲得足夠多的樣本和評(píng)估結(jié)果。5）分析結(jié)果和確定最優(yōu)解。在完成多次模擬和評(píng)估后，分析各備選設(shè)計(jì)方案的目標(biāo)函數(shù)值，找出最優(yōu)解。

Di～U（Dimin，Dimax） （14）

式中：Di為示第i個(gè)管段的管徑；Dimin和Dimax分別為第i個(gè)管段管徑的最小值和最大值；U為均勻分布。

4.2 數(shù)據(jù)計(jì)算及分析

通過(guò)蒙特卡洛模擬的計(jì)算步驟中公式（14），生成一個(gè)0～1的隨機(jī)數(shù)Di。針對(duì)管段1，從最小的管徑開始，累加被選概率，直到累加的和大于或等于Di。此時(shí)，累加到的管徑就是被選中的管徑。如果R=0.35，那么累加過(guò)程為0.032+0.057=0.089，0.089+0.185=0.274，由于0.274gt;0.35，因此選取的管徑為600。重復(fù)步驟2，直到所有管段的管徑都被選取，被選取概率見表1。

根據(jù)可供選擇的管網(wǎng)管線被選管徑概率劃分至（0，1），以確定偽隨機(jī)概率對(duì)應(yīng)各管線管徑之間的關(guān)系?；诖烁拍?，使用Matlab2018a自帶的蒙特卡洛模擬工具箱進(jìn)行隨機(jī)性模。

5 最優(yōu)設(shè)計(jì)方案確定

5.1 理想點(diǎn)綜合評(píng)價(jià)

采用理想點(diǎn)法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，以確定最優(yōu)解。詳細(xì)計(jì)算步驟如下。1）確定優(yōu)化目標(biāo)。優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)量可以根據(jù)研究需求和實(shí)際情況來(lái)確定。2）構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)。針對(duì)每個(gè)優(yōu)化目標(biāo)，構(gòu)建相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)，如公式（15）所示。3）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值。針對(duì)每個(gè)備選設(shè)計(jì)方案，計(jì)算各個(gè)目標(biāo)函數(shù)值。將決策變量x代入目標(biāo)函數(shù)中，得到各方案的目標(biāo)函數(shù)值。4）確定理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)。理想點(diǎn)是指在每個(gè)目標(biāo)函數(shù)上取得最優(yōu)值的點(diǎn)，記為A*；負(fù)理想點(diǎn)是指在每個(gè)目標(biāo)函數(shù)上取得最劣值的點(diǎn)，記為A-。理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)分別如公式（16）、公式（17）所示。5）計(jì)算距離。計(jì)算每個(gè)備選設(shè)計(jì)方案與理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的距離。距離可以采用歐幾里得距離來(lái)計(jì)算，如公式（18）所示。6）計(jì)算相對(duì)接近度。計(jì)算每個(gè)備選設(shè)計(jì)方案與理想點(diǎn)的相對(duì)接近度，如公式（19）所示。7）確定最優(yōu)解。根據(jù)相對(duì)接近度Ci的大小，確定最優(yōu)解。相對(duì)接近度最小的備選設(shè)計(jì)方案即為最優(yōu)解。

fi（x）=（x-xi*）2 （15）

式中：fi（x）為第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)；x為決策變量；xi*為第i個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的理想點(diǎn)。

A*=（x1*，x2*，…，xm*） （16）

A-=（x1-，x2-，…，xm-） （17）

式中：m為目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量。

d（A，B）=sqrt（（x1-y1）2+（x2-y2）2+…+（xm-ym）2）（18）

式中：A和B分別為2個(gè)點(diǎn)；xi和yi分別為2個(gè)點(diǎn)在第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的值。

Ci=d（Ai，A-）/（d（Ai，A*）+d（Ai，A-））" " " " " " （19）

式中：Ci為第i個(gè)備選設(shè)計(jì)方案與理想點(diǎn)的相對(duì)接近度；d（Ai，A*）和d（Ai，A-）分別為第i個(gè)備選設(shè)計(jì)方案與理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)的距離。

表1 各管段管徑被選取概率

管段編號(hào) 可選管徑 被選概率

1 400 600 700 500 0.032 0.086 0.185 0.056

500 500 400 800 0.057 0.035 0.054 0.074

400 500 500 600 0.123 0.059 0.027 0.086

2 300 400 600 900 0.048 0.094 0.065 0.057

500 700 400 600 0.165 0.082 0.032 0.086

400 500 800 500 0.096 0.032 0.047 0.062

… 300 500 400 400 0.073 0.165 0.067 0.169

…

100 300 500 300 0.022 0.082 0.113 0.052

27 500 200 400 600 0.146 0.076 0.059 0.084

400 400 600 500 0.006 0.048 0.087 0.115

500 500 500 400 0.047 0.094 0.032 0.081

5.2 數(shù)據(jù)計(jì)算及分析

在理想點(diǎn)計(jì)算綜合評(píng)價(jià)得分的基礎(chǔ)上，分別選取主觀賦權(quán)法FAHP法以及客觀賦權(quán)法CRITIC法確定綜合評(píng)價(jià)得分高的方案，在對(duì)比2種權(quán)重的基礎(chǔ)上，選取年綜合費(fèi)用計(jì)算作為實(shí)例，對(duì)備選設(shè)計(jì)方案A進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，目標(biāo)函數(shù)值f1（A）=

（300-250）2=2500。

針對(duì)節(jié)點(diǎn)水頭均值，備選設(shè)計(jì)方案A的目標(biāo)函數(shù)值f2（A）=

（20-25）2=25，依此類推，得到其他目標(biāo)函數(shù)值。

理想點(diǎn)和負(fù)理想點(diǎn)A*=（250，25，…，25）A-=（350，15，…，15）。

針對(duì)備選設(shè)計(jì)方案A，與理想點(diǎn)的距離d（A，A*）=sqrt（（300-250）2+（20-25）2+…+（15-25）2）=100，與負(fù)理想點(diǎn)的距離d（A，A-）=sqrt（（300-350）2+（20-15）2+…+（15-15）2）=100，相對(duì)接近度CA=d（A，A-）/（d（A，A*）+d（A，A-））=100/（100+100）=0.5。

確定最優(yōu)解：根據(jù)相對(duì)接近度Ci的大小確定最優(yōu)解。相對(duì)接近度最小的備選設(shè)計(jì)方案即為最優(yōu)解。進(jìn)一步將其與多目標(biāo)近似最優(yōu)解進(jìn)行多重對(duì)比確定。對(duì)比結(jié)果見表2。

根據(jù)表2并結(jié)合綜合評(píng)價(jià)計(jì)算方法確定綜合方案評(píng)分值為0.0038、0.0021、0.0042、0.0031和0.0033。其中，由主觀賦權(quán)法FAHP法所確定的非劣解分?jǐn)?shù)最低為最優(yōu)方案。基于以上優(yōu)化設(shè)計(jì)方案必選的方法可以有效避免因項(xiàng)目指標(biāo)值的某一分項(xiàng)得分過(guò)高而造成忽略其他評(píng)價(jià)目標(biāo)值過(guò)差的情況。

6 結(jié)語(yǔ)

本文以具體城市公共供水管網(wǎng)為研究對(duì)象，采用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得出以下結(jié)論。1）多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能夠全面考慮供水管網(wǎng)的多個(gè)目標(biāo)和約束條件，克服單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的片面性。在優(yōu)化過(guò)程中，同時(shí)考慮管網(wǎng)的總成本、泵站的能耗、管網(wǎng)的可靠性等多個(gè)目標(biāo)，通過(guò)權(quán)重分配和目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)建，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)目標(biāo)之間的均衡和協(xié)調(diào)。2）蒙特卡洛模擬方法能夠有效地克服優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性及離散型。通過(guò)模擬大量的隨機(jī)樣本，蒙特卡洛方法能夠捕捉管徑和流量的不確定性以及目標(biāo)函數(shù)的非線性和離散型。這種方法可以更好地反映實(shí)際情況，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)確性和可靠性。3）基于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)和蒙特卡洛模擬的方法，成功地生成一系列備選設(shè)計(jì)方案，并通過(guò)理想點(diǎn)法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，確定了最優(yōu)解。最優(yōu)解能夠使管網(wǎng)的總成本最低、泵站的能耗最小、管網(wǎng)的可靠性最高，實(shí)現(xiàn)多個(gè)目標(biāo)的同時(shí)優(yōu)化。

綜上所述，基于多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的城市公共供水管網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)可以為其他城市供水管網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供借鑒和參考。

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