數(shù)概念的一致性及其教學(xué)

摘"要：整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的一致性主要體現(xiàn)為都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)化和形式化方面。“讓學(xué)生感悟數(shù)概念的一致性”的教學(xué)策略有：多元表征，讓抽象的數(shù)直觀化；類比遷移，讓原有經(jīng)驗(yàn)豐富化；結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，讓分散知識(shí)整體化。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)的認(rèn)識(shí)；一致性；計(jì)數(shù)單位

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）在“課程內(nèi)容”中對(duì)小學(xué)階段“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域“數(shù)的認(rèn)識(shí)”部分提出了總的要求：初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。何為“數(shù)概念本質(zhì)上的一致性”？如何讓學(xué)生“感悟數(shù)概念本質(zhì)上的一致性”？本文談?wù)劰P者的看法。

一、數(shù)概念一致性的含義及價(jià)值

小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)三種數(shù)：（正）整數(shù)、（正）分?jǐn)?shù)、（正）小數(shù)。整數(shù)是在完整（或可以視作整體）的事物的計(jì)數(shù)過程中產(chǎn)生的；最初以“個(gè)”為計(jì)數(shù)單位，后來因?yàn)檎J(rèn)識(shí)方便（表達(dá)簡潔）的需要，產(chǎn)生了由若干個(gè)（通常為十個(gè)）小的計(jì)數(shù)單位合成的一個(gè)大的計(jì)數(shù)單位，即出現(xiàn)了進(jìn)制（通常為十進(jìn)制）。分?jǐn)?shù)則是由不完整（或可視作部分）的事物的計(jì)數(shù)需要而產(chǎn)生的，也是在整數(shù)除法運(yùn)算不夠除時(shí)產(chǎn)生的；它將“個(gè)”分成更小的計(jì)數(shù)單位。小數(shù)本質(zhì)上是分母為整十、整百、整千等的分?jǐn)?shù)；作為分?jǐn)?shù)的一種方便形式，它逆向運(yùn)用整數(shù)計(jì)數(shù)單位的合成方式（進(jìn)制），不斷將一個(gè)大的計(jì)數(shù)單位分成若干個(gè)小的計(jì)數(shù)單位。

所謂“一致性”，就是相同之處。不難發(fā)現(xiàn)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的一致性主要體現(xiàn)為都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)：整數(shù)、小數(shù)是一個(gè)或多個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)（如35就是3個(gè)十和5個(gè)一合起來，0.35就是3個(gè)十分之一和5個(gè)百分之一合起來），分?jǐn)?shù)是一個(gè)計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)（如3/5就是3個(gè)1/5）。

所以，新課標(biāo)在“教學(xué)建議”中特別指出：在理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的同時(shí)，理解整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于計(jì)數(shù)單位表達(dá)的一致性。

此外，新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”中分三個(gè)學(xué)段對(duì)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”部分提出了具體要求。從中不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)概念的一致性還體現(xiàn)在都是從實(shí)際情境的數(shù)量中抽象出來的（數(shù)學(xué)化），都要借助符號(hào)來表達(dá)（形式化）。

感悟數(shù)概念的一致性，除了有利于把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)等與抽象能力有關(guān)的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，還有助于理解數(shù)的大小比較、數(shù)的運(yùn)算等方法背后的道理，并厘清“數(shù)與運(yùn)算”主題的學(xué)習(xí)路徑，形成對(duì)“數(shù)與運(yùn)算”主題整體化的認(rèn)識(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)習(xí)效率。

二、相關(guān)教學(xué)策略

（一）多元表征，讓抽象的數(shù)直觀化

Lesh、Post和Behr在布魯納認(rèn)知表征系統(tǒng)（動(dòng)作—圖像—符號(hào)）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提出了概念的五種表征方式：現(xiàn)實(shí)生活情境、操作模型、圖像、口述語言、書面符號(hào)。［1］整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)不僅都有現(xiàn)實(shí)生活情境表征（意義）和書面符號(hào)表征（形式），而且可用其他方式來表征。尤其是用圖像來表征，可以讓抽象的數(shù)具體且直觀地呈現(xiàn)，特別有利于學(xué)生理解數(shù)的概念，也能夠很好地幫助學(xué)生感悟數(shù)概念的一致性。

例如，教學(xué)“小數(shù)的認(rèn)識(shí)”，可以借助現(xiàn)實(shí)生活情境來引入：小明測量出課桌面的長為5分米，那是多少米呢？先引導(dǎo)學(xué)生用語言描述：5分米是十分之五米，也就是0.5米。再引導(dǎo)學(xué)生用圖形表征，如圖1。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生歸納出：一位小數(shù)就是幾個(gè)0.1。然后追問：那兩位小數(shù)呢？……9個(gè)0.1是多少？10個(gè)0.1呢？……在思維的不斷碰撞中，學(xué)生看待小數(shù)的眼光也開始聚焦到十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、計(jì)數(shù)單位以及數(shù)位上。順勢提問：若一個(gè)一位小數(shù)的十位上是a，個(gè)位上是b，十分位上是c，該如何表示呢？引導(dǎo)學(xué)生得到：10×a+b+0.1×c。這樣，借助圖形表征和言語表征，學(xué)生就能進(jìn)一步感受到計(jì)數(shù)單位的重要性，初步感悟整數(shù)與小數(shù)本質(zhì)上的一致性。

再如，在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”復(fù)習(xí)課中，筆者出示學(xué)習(xí)任務(wù)：“畫一畫，用圖表示下面各數(shù)的意義。①25;②0.43;③3/4?！?/p>

讓學(xué)生通過圖形表征來溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系。在交流環(huán)節(jié)，學(xué)生從整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)意義的角度評(píng)析展示的作品（部分如圖2所示）。然后，筆者引導(dǎo)學(xué)生尋求這些方法的共通之處，使學(xué)生的認(rèn)識(shí)走向深入：“他們畫出的都是有多少個(gè)計(jì)數(shù)單位?！边@樣，借助圖形表征和言語表征，學(xué)生得出一致性見解：畫數(shù)也就是畫出計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。

（二）類比遷移，讓原有經(jīng)驗(yàn)豐富化

整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)。在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”部分的長線教學(xué)過程中，教師可以借助數(shù)的產(chǎn)生背景，抓住“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念，引導(dǎo)學(xué)生不斷類比遷移，豐富（擴(kuò)大）已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，從而厘清數(shù)系擴(kuò)充的脈絡(luò)，感悟數(shù)概念的一致性。

例如，教學(xué)整數(shù)時(shí)，借助真實(shí)情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：計(jì)數(shù)時(shí)，從1開始不斷累加，滿十進(jìn)一，得到新的計(jì)數(shù)單位并用直觀的數(shù)位表示……數(shù)位順序表中，從右往左看是計(jì)數(shù)單位的合成，從左往右看是計(jì)數(shù)單位的分解，且相鄰的計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)（退）率是十。教學(xué)小數(shù)時(shí)，在真實(shí)情境中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：必須用“十分”的方法不斷細(xì)化計(jì)數(shù)單位，方能通過累加準(zhǔn)確表示數(shù)的大小。從而借助知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的類比遷移，得到：將1平均分成10份，變成0.1；將0.1平均分成10份，變成0.01……還可以反過來，讓學(xué)生明了：10個(gè)0.01就是0.1，10個(gè)0.1就是1……在不斷地合成與分解中，讓學(xué)生充分感知十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)，在真實(shí)情境中引導(dǎo)學(xué)生明了：物體（整體）被分解后因得不到整數(shù)的計(jì)數(shù)（度量）而產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)，自然也需要分解細(xì)化的計(jì)數(shù)單位（不受十進(jìn)制的限制，可以不“十分”，而“其他分”），才能通過累加準(zhǔn)確表示數(shù)的大小。

（三）結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，讓分散知識(shí)整體化

只在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”部分的長線教學(xué)過程中，經(jīng)歷“計(jì)數(shù)單位”這個(gè)核心概念不斷類比遷移建立與運(yùn)用的過程，還不足以讓學(xué)生充分感悟數(shù)概念的一致性。

在“數(shù)的大小比較”和“數(shù)的運(yùn)算”的教學(xué)中，要注意利用數(shù)的一致性表達(dá)，說明有關(guān)的方法背后的道理；在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，還要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步關(guān)聯(lián)整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的知識(shí)。這樣，才能進(jìn)一步使相對(duì)零散的知識(shí)整體化，讓學(xué)生充分感悟數(shù)概念的一致性。

例如，教學(xué)“數(shù)的大小比較”時(shí)，可以讓學(xué)生把數(shù)表示為計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，即個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的形式，然后對(duì)相同的計(jì)數(shù)單位比較個(gè)數(shù)的大小，并且先比較大的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)（在不夠進(jìn)位的情況下，再多個(gè)小的計(jì)數(shù)單位也不如一個(gè)大的計(jì)數(shù)單位）。例如，比較32與23的大小時(shí)，將32表示3個(gè)十和2個(gè)一，將23表示2個(gè)十和3個(gè)一，先比較計(jì)數(shù)單位“十”的個(gè)數(shù)：因?yàn)?＞2，所以32＞23；比較2/3與3/5的大小時(shí)，將2/3表示為2×1/3，將3/5表示為3×1/5，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)單位不同，于是先通分，再比較。

再如，在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”的復(fù)習(xí)教學(xué)中，筆者先出示長度為1的線段，引導(dǎo)學(xué)生接著數(shù)出2個(gè)1就是2，3個(gè)1就是3……由此，逐步在水平方向上延伸出數(shù)軸，幫助學(xué)生再次感悟整數(shù)是由1數(shù)出來的。然后，在豎直方向上平移長度為1的線段，引出“分?jǐn)?shù)墻”，并將其上的1/10引到數(shù)軸上，引導(dǎo)學(xué)生接著數(shù)出2/10、3/10……當(dāng)數(shù)到10/10時(shí)，學(xué)生立刻反應(yīng)過來，是整數(shù)1。接著數(shù)出11個(gè)1/10就是11/10……最終形成的板書如圖3所示。這樣，從整數(shù)計(jì)數(shù)單位開始，打通了整數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)的關(guān)系；又從分?jǐn)?shù)計(jì)數(shù)單位開始，打通了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)（包括能轉(zhuǎn)化成整數(shù)的假分?jǐn)?shù)）的關(guān)系。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 程紅霞.以多元表征學(xué)習(xí)深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解［J］.小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2021（10）：12-16.