數(shù)學(xué)小發(fā)現(xiàn)

超市排隊(duì)里的數(shù)學(xué)秘密

周末時(shí)，我經(jīng)常會(huì)去超市買(mǎi)些自己喜歡的零食。最近，我發(fā)現(xiàn)超市改變了結(jié)賬時(shí)的排隊(duì)方法：

超市有4 個(gè)人工收銀臺(tái)，以前排隊(duì)是顧客自己隨便選擇隊(duì)伍，分別排在不同的收銀臺(tái)前，形成4個(gè)隊(duì)伍；

但是現(xiàn)在，超市圈了一個(gè)區(qū)域，顧客在這個(gè)區(qū)域內(nèi)先排成一隊(duì)，然后按順序去空出來(lái)的收銀臺(tái)結(jié)賬。

我很好奇：為什么不像之前那樣多排幾支隊(duì)伍呢？每個(gè)收銀臺(tái)前都有人同時(shí)排隊(duì)，難道不是更快嗎？

我跟爸爸媽媽交流了我的疑問(wèn)，他們也不確定用哪種排隊(duì)的方式能更快結(jié)賬。于是，我們打算驗(yàn)證一下，看看到底是同時(shí)排多個(gè)隊(duì)伍的速度快還是排單隊(duì)的速度快。

數(shù)學(xué)課上，老師介紹過(guò)“假設(shè)法”，這個(gè)方法很適合用到實(shí)際問(wèn)題的解決中，我決定就用這個(gè)方法來(lái)算一算，不同排隊(duì)方式下大家所需等待的時(shí)間各是多少。

默認(rèn)超市收銀員操作速度一樣，排隊(duì)的總?cè)藬?shù)和每個(gè)人結(jié)賬所需的時(shí)間在兩種方法下相同。

先假設(shè)，超市有1號(hào)和2號(hào)兩個(gè)收銀臺(tái)，甲、乙、丙、A、B、C六位顧客一起等待排隊(duì)結(jié)賬。他們每個(gè)人結(jié)賬所需的時(shí)間分別是：

這六名顧客分別用方法一（排兩隊(duì)）和方法二（排一隊(duì)）兩種不同的排隊(duì)方式結(jié)賬：

1. 假設(shè)采用方法一（排兩隊(duì)）

甲、乙、丙三名顧客在1號(hào)收銀臺(tái)排隊(duì)，甲無(wú)需等待，乙需等待甲結(jié)賬（甲用時(shí)50秒），丙需等待甲和乙結(jié)賬（50 秒+100 秒），三人等待時(shí)間一共是0+50+150=200（秒）。

A、B、C 三名顧客在2號(hào)收銀臺(tái)排隊(duì)，A 無(wú)需等待，B 需等待A結(jié)賬（A用時(shí)90秒），C需等待A和B 結(jié)賬（90秒+30秒），三人等待的時(shí)間總共0+90+120=210（秒）。

六人等待的總時(shí)長(zhǎng)是200+210=410（秒）。

2. 假設(shè)采用方法二（排一隊(duì)）

按照甲、A、乙、B、丙、C的順序排成一隊(duì)，甲和A 不用等待，他們分別去1號(hào)和2號(hào)收銀臺(tái)結(jié)賬。50秒后，甲先結(jié)完，這時(shí)，乙去1號(hào)收銀臺(tái)。但乙結(jié)賬的時(shí)間比較長(zhǎng)（100秒），這期間1號(hào)收銀臺(tái)被占據(jù)的時(shí)間為150秒（甲結(jié)賬用時(shí)50秒加上乙結(jié)賬用時(shí)100秒），所以B去2號(hào)收銀臺(tái)完成結(jié)賬（用時(shí)30 秒），丙去2號(hào)收銀臺(tái)完成結(jié)賬（用時(shí)15秒）。輪到C時(shí)，他也是去2號(hào)收銀臺(tái)結(jié)賬。

甲和A 無(wú)需等待，乙等待時(shí)間為50秒，B等待時(shí)間為90 秒（A結(jié)賬用時(shí)90秒），丙等待的時(shí)間為120秒（A和B結(jié)賬用時(shí)90秒+30秒），C等待的時(shí)間為135 秒（A 、B和丙結(jié)賬所用時(shí)間90秒+30秒+15秒）。

因此，六人等待的總時(shí)長(zhǎng)是0+0+50+90+120+135=395（秒）。

根據(jù)這次假設(shè)的結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)，排一隊(duì)等待的總時(shí)間少一些。但是考慮到排隊(duì)的先后順序或許也會(huì)影響等待時(shí)長(zhǎng)，我又換了六名顧客的排隊(duì)順序，進(jìn)行了多次假設(shè)—

結(jié)果和我預(yù)料的差不多：前兩次，排兩隊(duì)等待的時(shí)間長(zhǎng)；后一次，兩種排隊(duì)方式等待的時(shí)間一樣長(zhǎng)。

為了盡量保證假設(shè)的嚴(yán)謹(jǐn)性，我又調(diào)換了順序，增加了幾次假設(shè)。

將多次調(diào)換順序計(jì)算得出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，我發(fā)現(xiàn)，有時(shí)候排一隊(duì)結(jié)賬快；有時(shí)候排一隊(duì)和排兩隊(duì)一樣快。

看來(lái)，超市一定也是經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼撟C，才決定使用現(xiàn)在的排隊(duì)方式呢！

當(dāng)然，這種計(jì)算方法只考慮到了所有人的平均等待時(shí)間，就個(gè)人而言，等待時(shí)間的長(zhǎng)短是隨機(jī)性的，所以有的大超市設(shè)置了自助結(jié)賬區(qū)域，對(duì)購(gòu)買(mǎi)物品較多的顧客和購(gòu)買(mǎi)物品較少的顧客進(jìn)行了分流，提高結(jié)賬效率。

由超市排隊(duì)規(guī)則引發(fā)的思考和初步論證的結(jié)果讓我覺(jué)得很奇妙。

這背后其實(shí)是一個(gè)很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然以我現(xiàn)在掌握的知識(shí)，還不能把它研究得特別透徹，但我總結(jié)出了兩點(diǎn)結(jié)論：

1在大多數(shù)隨機(jī)排隊(duì)的情況下，排單隊(duì)的效率要比多個(gè)隊(duì)伍一起排的效率高一些，并且有利于超市秩序的管理。

2更科學(xué)的方法是對(duì)購(gòu)物多和購(gòu)物少的顧客群體進(jìn)行分流，將結(jié)賬時(shí)間長(zhǎng)的顧客集中到幾個(gè)隊(duì)伍，可以使購(gòu)物少的顧客快速流動(dòng)起來(lái)。

爸爸媽媽還和我一起閱讀了一本書(shū)—《數(shù)學(xué)雜談：數(shù)學(xué)世界里的奇聞趣事》，作者提出：“多數(shù)旅客誤以為有多列隊(duì)伍的排隊(duì)系統(tǒng)等候時(shí)間短，但這項(xiàng)研究也顯示出一個(gè)矛盾，即雖然感覺(jué)要等待比較久的時(shí)間，多數(shù)受訪旅客仍偏好排單列隊(duì)伍。研究者認(rèn)為，這可歸因于單列隊(duì)伍的公平本質(zhì)?！?/p>

這個(gè)觀點(diǎn)跟我研究出的結(jié)果一樣！它也證明了排隊(duì)問(wèn)題既有隨機(jī)性，又有概率性，還有主觀選擇性。

原來(lái)超市的結(jié)賬隊(duì)伍里有這么復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)呢！以后去超市購(gòu)物，在選擇結(jié)賬的隊(duì)伍時(shí)，你也可以好好觀察、認(rèn)真思考一下哦！