旋轉(zhuǎn)環(huán)境下的磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲機(jī)理研究

摘要： 環(huán)境中存在大量的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動能量，可以使用能量俘獲技術(shù)將其轉(zhuǎn)換為可用的電能，進(jìn)而為嵌入式設(shè)備和無線傳感器提供持續(xù)穩(wěn)定的電能，以解決傳統(tǒng)化學(xué)電池供電帶來的環(huán)境污染和維護(hù)成本高等問題。為了提高能量俘獲系統(tǒng)在超低頻（低于3 Hz）旋轉(zhuǎn)環(huán)境中的能量俘獲性能，本文提出一種具有低勢壘特性的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)。在充分考慮了離心效應(yīng)影響的前提下，基于能量法和拉格朗日方程在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下推導(dǎo)了該系統(tǒng)的分布式參數(shù)機(jī)電耦合方程。通過建立該系統(tǒng)的磁力計算模型以分析磁間距和離心效應(yīng)對系統(tǒng)勢能阱及能量俘獲特性的影響。數(shù)值仿真結(jié)果和實驗結(jié)果均驗證了與傳統(tǒng)線性能量俘獲系統(tǒng)相比，本文提出的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)具有更寬的工作頻率范圍（0～2.67 Hz）和更高的輸出電壓（大于2 V）。

關(guān)鍵詞： 旋轉(zhuǎn)能量俘獲； 超低頻； 雙穩(wěn)態(tài)； 時變勢阱； 低勢壘

中圖分類號： TN712+.1； O322 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號： 1004-4523（2024）06-0964-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.007

引 言

能量俘獲技術(shù)被認(rèn)為是解決傳統(tǒng)化學(xué)電池供電存在的壽命有限、環(huán)境污染和維修更換困難等問題的新興技術(shù)，該技術(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)對無線傳感器網(wǎng)絡(luò)和物聯(lián)網(wǎng)中的低功耗無線傳感器的長期可靠供電［1?2］，具有廣闊的工程應(yīng)用前景。衡量能量俘獲系統(tǒng)性能的兩個關(guān)鍵指標(biāo)是其輸出功率和工作頻率范圍。然而，環(huán)境中的振動可能是時變的，并具有寬頻特性，當(dāng)線性能量俘獲系統(tǒng)的工作頻率與環(huán)境激勵頻率不匹配時，其能量俘獲性能將顯著降低。為了解決上述問題，學(xué)者們提出了非線性單穩(wěn)態(tài)［3?4］、雙穩(wěn)態(tài)［5］、多穩(wěn)態(tài)［6?7］和自調(diào)諧［8?9］等方法，并進(jìn)行了理論和實驗研究。此外，環(huán)境中存在著大量旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，為能量俘獲技術(shù)的應(yīng)用提供了基礎(chǔ)。從而使得旋轉(zhuǎn)運(yùn)動能量俘獲技術(shù)在近年來受到了廣泛的關(guān)注和研究［10?11］。

Gu等［12］利用離心力設(shè)計了一種被動調(diào)諧旋轉(zhuǎn)能量俘獲系統(tǒng)，實驗結(jié)果驗證了該系統(tǒng)具備頻寬為11 Hz的自調(diào)諧性能。Hsu等［13］提出了一種利用離心硬化效應(yīng)實現(xiàn)自調(diào)諧的能量俘獲系統(tǒng)，采用有限元方法對該系統(tǒng)進(jìn)行分析，同時進(jìn)行了實驗驗證。Mei等［14］提出了四穩(wěn)態(tài)自調(diào)諧能量俘獲系統(tǒng)。Guan等［15］提出了一種壓電倒置壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，利用離心軟化效應(yīng)增加輸出功率，實驗結(jié)果表明旋轉(zhuǎn)頻率在7～13.5 Hz范圍內(nèi)時，系統(tǒng)輸出功率為83.5～825 μW。Liu等［16］提出了一種被動自調(diào)諧能量俘獲器。

Mei等［17］研究了三穩(wěn)態(tài)旋轉(zhuǎn)壓電能量俘獲器在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中的性能，實驗結(jié)果表明該系統(tǒng)的有效帶寬為4～7.33 Hz。Zhou等［18］提出了一種具有時變勢能特性的柔性雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)，該系統(tǒng)不僅具有較小的突跳閾值，而且在激振強(qiáng)度大于臨界激振強(qiáng)度時可以產(chǎn)生較大的輸出功率。Fang等［19］設(shè)計了一種碰撞式旋轉(zhuǎn)能量俘獲器，通過引入非線性碰撞力實現(xiàn)壓電懸臂梁上的變頻轉(zhuǎn)換。Zou等［20］提出了一種磁耦合的雙倒置壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)，實驗結(jié)果表明該系統(tǒng)適用于低頻旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，能俘獲多頻段的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動能量。Febbo等［21］將雙自由度懸臂梁型旋轉(zhuǎn)能量俘獲系統(tǒng)安裝在輪轂上，在0.83～2.5 Hz頻率范圍內(nèi)得到的輸出功率為26～105 μW。Mei等［22］結(jié)合非線性磁力和離心軟化效應(yīng)設(shè)計了一種壓電振動能量俘獲系統(tǒng)，得到了大于4 V的均方根輸出電壓。Zhang等［23］設(shè)計了一種可安裝在汽車輪胎上的旋轉(zhuǎn)能量俘獲器，其優(yōu)點(diǎn)是可以擴(kuò)大旋轉(zhuǎn)頻率帶寬，同時在高能軌道穩(wěn)定振蕩；在車輛驅(qū)動實驗中，該系統(tǒng)的有效工作范圍可從15～25 km/h拓展至10～40 km/h，并且在40 km/h的驅(qū)動速度下，平均輸出功率為61 μW。

目前，在超低頻旋轉(zhuǎn)運(yùn)動能量俘獲方面的研究相對較少。因此，為了實現(xiàn)在超低頻旋轉(zhuǎn)環(huán)境下高效俘獲能量的目的，本文在上述研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計了一種具有低勢壘特性的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)。該系統(tǒng)能夠在超低的旋轉(zhuǎn)激勵水平下跨越勢壘實現(xiàn)大振幅阱間振蕩，與線性能量俘獲系統(tǒng)相比具有更寬的工作頻率范圍和更高的輸出電壓。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計與工作原理

本文所提出的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)如圖1所示，一個正置懸臂梁和一個倒置壓電懸臂梁共同安裝在一個繞中心軸以超低頻勻速轉(zhuǎn)動的旋轉(zhuǎn)圓盤上，且沿同一徑向布置，旋轉(zhuǎn)圓盤的角速度為，角位移為。其中，“正置”指的是懸臂梁固定端到自由端的方向與端部磁鐵所受離心力方向一致，“倒置”指的是懸臂梁固定端到自由端的方向與端部磁鐵所受離心力方向相反。正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁的端部磁鐵磁極相對且相斥，在靜止?fàn)顟B(tài)下有兩個對稱的穩(wěn)定平衡位置。正置懸臂梁的固定端到旋轉(zhuǎn)中心的距離為，倒置壓電懸臂梁固定端到旋轉(zhuǎn)中心的距離為。當(dāng)旋轉(zhuǎn)圓盤做勻速轉(zhuǎn)動時，兩個懸臂梁在周期性重力分量的作用下發(fā)生振動，自適應(yīng)調(diào)節(jié)兩個端部磁鐵之間的距離從而使系統(tǒng)具有時變勢阱特性，有效地降低了雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的勢阱深度，有利于該系統(tǒng)在超低頻旋轉(zhuǎn)激勵下實現(xiàn)大振幅勢阱間振蕩，提高能量俘獲性能。

2 動力學(xué)建模

2.1 系統(tǒng)的能量描述

時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的幾何關(guān)系如圖2所示。由于在旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁的橫向位移是時變的，因此在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立其數(shù)學(xué)模型更為簡便。

（1）動能計算

正置懸臂梁上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的方向矢量和速度矢量可表示為：

（1）

式中 ，分別為旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，方向上的單位向量；為正置懸臂梁在方向上的橫向位移；為對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

同理，倒置壓電懸臂梁上任意一點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的方向矢量和速度矢量可表示為：

（2）

式中 為倒置懸臂梁在方向上的橫向位移；為對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

系統(tǒng)總動能的表達(dá)式為：

（3）

式中 為正置懸臂梁長度；為倒置壓電懸臂梁長度；和分別為正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁的單位長度質(zhì)量；和分別為正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁的端部質(zhì)量。

（4）

式中 為懸臂梁基底的密度；為懸臂梁基底橫截面面積（正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁基底的厚度、寬度和材料參數(shù)完全一致，因此二者相關(guān)的參數(shù)用同一變量表示）。

（5）

式中 為壓電片的密度；為壓電片的橫截面面積；為壓電片長度。

（2）勢能計算

正置懸臂梁彈性勢能的表達(dá)式為：

（6）

式中 為對的二階偏導(dǎo)數(shù)；為對的二階偏導(dǎo)數(shù)；和分別為正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁的抗彎剛度。

當(dāng)時，的表達(dá)式為：

（7）

式中 為正置懸臂梁基底的楊氏模量；為正置懸臂梁基底的寬度；為正置懸臂梁基底的厚度。

當(dāng)時，的表達(dá)式為：

（8）

式中 為壓電片的楊氏模量；為壓電片和懸臂梁基底的寬度（懸臂梁基底和壓電片寬度一致用同一變量b表示）；為壓電片的厚度。

當(dāng)時，的表達(dá)式為：

（9）

式中 為倒置懸臂梁基底的楊氏模量；為倒置懸臂梁基底的厚度。

重力勢能的表達(dá)式為：

（10）

式中 為重力加速度，。

離心勢能的表達(dá)式為［22］：

（11）

目前磁偶極子模型已被廣泛應(yīng)用于計算磁力，并在參考文獻(xiàn)［6，14］中被證明是有效的。因此，本文采用磁偶極子模型計算磁鐵2fd0c9fbe96ffd1d7fa52157fd79a6e8A和磁鐵B之間的非線性磁力。

如圖3所示，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中，磁鐵A到磁鐵B的向量的表達(dá)式為：

（12）

其中：

（13）

式中 為端部磁鐵A的厚度；為端部磁鐵B的厚度；為端部磁鐵A和端部磁鐵B之間在方向上的間距。

端部磁鐵A的磁矩和端部磁鐵B的磁矩可表示為：

（14）

式中 為端部磁鐵A的磁化強(qiáng)度；為端部磁鐵B的磁化強(qiáng)度；為端部磁鐵A的體積；為端部磁鐵B的體積；為端部磁鐵A的轉(zhuǎn)角；為端部磁鐵B的轉(zhuǎn)角。

式（14）中，和的表達(dá)式為：

（15）

式中 為磁鐵A的剩余磁通量；為磁鐵B的剩余磁通量；為真空磁導(dǎo)率。

式（15）中，和的表達(dá)式為：

（16）

根據(jù)磁偶極子模型，磁場中的磁感應(yīng)強(qiáng)度的表達(dá)式為：

（17）

磁場中的磁力勢能表達(dá)式為［21］：

（18）

磁鐵A受到的磁力和磁鐵B受到的磁力的表達(dá)式分別為：

（19）

（20）

式中 為的單位向量；為的單位向量；為的單位向量。

因此，磁力在Y*方向上的分力F1和磁力在Y*方向上的分力F2的表達(dá)式分別為：

（21）

（22）

該系統(tǒng)的勢能為彈性勢能、重力勢能、離心勢能和磁勢能之和，即

（23）

（3）壓電片的內(nèi)部電能計算

倒置壓電懸臂梁上壓電片的內(nèi)部電能的表達(dá)式為：

（24）

式中 為壓電片的機(jī)電耦合系數(shù)；為倒置壓電懸臂梁上的壓電片的輸出電壓；為壓電片的內(nèi)部電容。

式（24）中，和的表達(dá)式分別為：

（25）

（26）

式中 為壓電片的壓電常數(shù)；為壓電片的夾持介電常數(shù)；為壓電片的厚度。

2.2 機(jī)電耦合方程推導(dǎo)

根據(jù)假設(shè)模態(tài)法，正置懸臂梁和倒置壓電懸臂梁振動響應(yīng)的橫向位移可表示為有限展開項。考慮到旋轉(zhuǎn)圓盤做超低頻旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，壓電懸臂梁振動響應(yīng)展開式中一階模態(tài)占據(jù)主導(dǎo)地位，則和可表示為：

（27）

式中 為正置懸臂梁運(yùn)動學(xué)上的一階容許試探函數(shù)；為倒置壓電懸臂梁運(yùn)動學(xué)上的一階容許試探函數(shù)；為正置懸臂梁運(yùn)動學(xué)上的廣義時間坐標(biāo)；為倒置壓電懸臂梁運(yùn)動學(xué)上的廣義時間坐標(biāo)。和滿足各自的邊界條件［22］，具體表達(dá)式為：

（28）

（29）

式中 ～，～，～，～為待定系數(shù)，可根據(jù)懸臂梁邊界條件求得。

不考慮機(jī)械耗散效應(yīng)，時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的拉格朗日方程為：

（30）

不考慮機(jī)械損失，非保守力所做的虛功（負(fù)載電阻和阻尼力耗散）可以表示為：

（31）

式中 和分別為正置懸臂梁和倒置懸臂梁的應(yīng)變阻尼系數(shù)；為壓電片產(chǎn)生的電荷量。

基于拓展的哈密頓原理，該結(jié)構(gòu)的拉格朗日機(jī)電耦合方程為：

（32）

將式（3），（6），（10），（11），（21），（22），（23）和（30）代入式（32）得：

（33）

其中，各系數(shù)的表達(dá)式如下：

（34）

（35）

（36）

（37）

（38）

（39）

（40）

（41）

（42）

3 理論分析

3.1 磁間距對系統(tǒng)勢能阱的影響

材料參數(shù)如表1～3所示。

在不考慮離心效應(yīng)的情況下，數(shù)值分析磁間距d對系統(tǒng)勢能阱的影響。勢能為系統(tǒng)彈性勢能和磁力勢能之和，重力視作外部激勵（在此不計算重力勢能），的表達(dá)式為：

（43）

如圖4所示，隨著端部磁鐵A和B之間的磁間距d的增加，系統(tǒng)的勢阱深度逐漸降低，對應(yīng)不同的非線性程度。當(dāng)磁間距d為25和30 mm時，系統(tǒng)為對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，其勢壘過高，難以實現(xiàn)有利于高輸出電壓的阱間振蕩。當(dāng)磁間距為35 mm時，系統(tǒng)為對稱雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，其勢壘顯著減小，有利于系統(tǒng)在超低頻旋轉(zhuǎn)環(huán)境中實現(xiàn)阱間振蕩，從而提高了輸出電壓。隨著磁間距d進(jìn)一步增大到40 mm，系統(tǒng)的非線性較弱，趨近于單穩(wěn)態(tài)特征。

當(dāng)系統(tǒng)在旋轉(zhuǎn)圓盤上工作時，旋轉(zhuǎn)運(yùn)動過程中的周期性重力分量被看作是驅(qū)動系統(tǒng)跨越勢壘的激勵力。因此，當(dāng)其勢壘足夠低時，即使在較低的旋轉(zhuǎn)激勵下，也可以獲得較大的振幅（阱間運(yùn)動），對應(yīng)較高的輸出電壓，達(dá)到本文在超低頻旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中高效俘獲能量的目的。因此為了在較低的旋轉(zhuǎn)頻率下提高輸出電壓，以上四組磁間距的值中取35 mm最佳。

3.2 離心效應(yīng)對系統(tǒng)勢能阱的影響

當(dāng)?shù)怪脡弘姂冶哿汗潭ǘ说叫D(zhuǎn)中心的距離為197 mm，正置懸臂梁固定端到旋轉(zhuǎn)中心的距離為31 mm，磁間距d為35 mm時，分析離心效應(yīng)對勢阱的影響，此時勢能的表達(dá)式為：

（44）

如圖5所示，隨著轉(zhuǎn)速的增加，勢阱變深。當(dāng)轉(zhuǎn)速為100 r/min（rounds per minutes）時，系統(tǒng)跨越勢壘實現(xiàn)勢阱間的躍遷運(yùn)動所需的能量為0.1788 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為120 r/min時，系統(tǒng)跨越勢壘實現(xiàn)勢阱間的躍遷運(yùn)動所需最小能量約為0.2528 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為140 r/min時，系統(tǒng)跨越勢壘實現(xiàn)勢阱間的躍遷運(yùn)動所需最小能量約為0.3403 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為160 r/min時，系統(tǒng)跨越勢壘實現(xiàn)勢阱間的躍遷運(yùn)動所需最小能量約為0.4413 MJ。

如圖6所示，隨著轉(zhuǎn)速的增加，線性能量俘獲系統(tǒng)的勢阱逐漸變淺。當(dāng)轉(zhuǎn)速為100 r/min且線性能量俘獲系統(tǒng)的振動位移與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置的位移相等時，線性能量俘獲系統(tǒng)所需能量約為0.976 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為120 r/min且線性能量俘獲系統(tǒng)的振動位移與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置的位移相等時，線性能量俘獲系統(tǒng)所需能量約為0.945 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為140 r/min且線性能量俘獲系統(tǒng)的振動位移與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置的位移相等時，線性能量俘獲系統(tǒng)所需能量約為0.823 MJ；當(dāng)轉(zhuǎn)速為160 r/min且線性能量俘獲系統(tǒng)的振動位移與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置的位移相等時，線性能量俘獲系統(tǒng)所需能量約為0.547 MJ。

可以總結(jié)出：在同一轉(zhuǎn)速下，時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)可以在較低的旋轉(zhuǎn)激勵下實現(xiàn)大振幅阱間振蕩，提高輸出電壓。然而，線性能量俘獲系統(tǒng)只能在一個穩(wěn)態(tài)位置附近進(jìn)行振蕩，振動幅度取決于旋轉(zhuǎn)激勵的強(qiáng)度。如果線性能量俘獲系統(tǒng)要獲得與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)相同的振幅，需要更多的能量。這是在相同激勵條件下時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的能量俘獲性能優(yōu)于線性能量俘獲系統(tǒng)的原因。

4 實驗驗證

4.1 實驗裝置

如圖7和8所示，旋轉(zhuǎn)裝置固定安裝在光學(xué)平臺上，由旋轉(zhuǎn)圓盤、旋轉(zhuǎn)軸、底座、伺服電機(jī)和電滑環(huán)組成。伺服驅(qū)動器（SGD7S， YASKAWA）控制的伺服電機(jī)（SGM7J， YASKAWA）帶動旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)圓盤提供動力。轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)速可以通過電腦上的SigmaWin+（Version 7.0，YASKAWA）軟件進(jìn)行參數(shù)設(shè)置，軟件將控制信號輸入電機(jī)執(zhí)行器從而對伺服電機(jī)進(jìn)行控制。能量俘獲結(jié)構(gòu)和激光位移傳感器（HG?C1100，Panasonic）安裝在旋轉(zhuǎn)圓盤上，它們的輸出信號（電壓信號和位移信號）通過電滑環(huán)中的導(dǎo)線輸出到數(shù)字示波器（DSOX3014T， KEYSIGHT）中。示波器的內(nèi)阻為1 MΩ，用于監(jiān)測和測量輸出電壓和位移，數(shù)字示波器的采樣頻率為每秒500個采樣點(diǎn)。電滑環(huán)（SENRING，CHINA）由定子和轉(zhuǎn)子組成，安裝在旋轉(zhuǎn)軸上，導(dǎo)線從電滑環(huán)轉(zhuǎn)子中穿過，因此在旋轉(zhuǎn)過程中導(dǎo)線與旋轉(zhuǎn)圓盤保持相對靜止?fàn)顟B(tài)，從而解決了旋轉(zhuǎn)運(yùn)動中導(dǎo)線的纏繞問題。

如圖9所示，倒置壓電懸臂梁固定端到旋轉(zhuǎn)中心的距離R為197 mm，正置懸臂梁固定端到旋轉(zhuǎn)中心距離r為31 mm，磁間距d為35 mm。實驗中采集的電壓和位移信號均在穩(wěn)定狀態(tài)下獲得，時間為零時表示的是在穩(wěn)定狀態(tài)下進(jìn)行信號采集的初始時刻。激光位移傳感器的激光照射點(diǎn)位于倒置壓電懸臂梁上距固定端35 mm處，倒置壓電懸臂梁在兩個穩(wěn)態(tài)下激光測量處的位移分別為±0.6 mm。如圖10所示，線性能量俘獲系統(tǒng)的安裝位置和材料參數(shù)與時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)中的倒置壓電懸臂梁保持一致。

4.2 實驗結(jié)果

如圖11所示，在全轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的輸出電壓大于線性能量俘獲系統(tǒng)。當(dāng)轉(zhuǎn)速從0增加到115 r/min時，前者的均方根電壓緩慢升高，在該轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動的激勵水平較低，無法跨越勢壘實現(xiàn)阱間運(yùn)動，僅在其中一個穩(wěn)態(tài)位置附近振動。如圖12（a）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為60 r/min時，倒置壓電懸臂梁激光測量處的位移范圍約為-2.065～0.49 mm，可以判斷系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置1附近振動。如圖12（b）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為90 r/min時，倒置壓電懸臂梁激光測量處的位移范圍約為0～1.88 mm，可以判斷系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置2附近振動。如圖12（c）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為115 r/min時，系統(tǒng)中倒置壓電懸臂梁激光測量處的位移范圍約為-2.21～0.21 mm，可以判斷系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)位置1附近振動。

轉(zhuǎn)速在120 ～160 r/min范圍內(nèi)，時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)跨越勢壘實現(xiàn)了阱間振蕩，其均方根輸出電壓大幅度升高，在160 r/min達(dá)到最大值8.6 V左右。如圖12（d）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為120 rpm時，倒置壓電懸臂梁激光測量處的位移范圍約為-3.12～5.49 mm，可以判斷系統(tǒng)開始跨越勢壘實現(xiàn)阱間振蕩。如圖12（e）所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速為150 r/min時，倒置壓電懸臂梁激光測量處的位移范圍約為-3.78 ～3.96 mm，系統(tǒng)跨越了勢壘實現(xiàn)阱間振蕩，電壓大幅度升高。

示波器和電阻箱R1并聯(lián)，即時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的外接電阻的總阻值大小滿足以下關(guān)系式：

（45）

圖13為時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)在不同電阻箱阻值R1下的均方根輸出電壓。當(dāng)電阻箱阻值由0.02 MΩ增加到2 MΩ的過程中，倒置壓電懸臂梁的均方根輸出電壓均緩慢上升；當(dāng)電阻箱阻值由2 MΩ增加到6 MΩ的過程中，倒置壓電懸臂梁的均方根輸出電壓基本保持穩(wěn)定。圖14所示為倒置壓電懸臂梁在不同負(fù)載電阻下的均方根輸出功率。當(dāng)電阻箱阻值由0.02 MΩ增加到2 MΩ的過程中，倒置壓電懸臂梁的均方根輸出功率整體呈上升趨勢，在電阻箱阻值為2 MΩ時達(dá)到最大值。電阻箱阻值由2 MΩ增加到6 MΩ的過程中，轉(zhuǎn)速為60，80和100 r/min的倒置壓電懸臂梁的均方根輸出功率基本保持平穩(wěn)；轉(zhuǎn)速為120和140 r/min的倒置壓電懸臂梁的均方根輸出電壓略有下降但最終基本保持穩(wěn)定。

綜合以上分析，可以得出時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)中倒置壓電懸臂梁的最佳外接電阻R0≈0.667 MΩ ，對應(yīng)的電阻箱阻值R1＝2 MΩ。

如圖15和16所示，當(dāng)轉(zhuǎn)速從60 r/min增加至160 r/min時，實驗均方根輸出電壓和功率整體呈上升趨勢，在轉(zhuǎn)速為160 r/min處達(dá)到最大值，此時對應(yīng)的均方根輸出電壓和功率分別約為7.4 V和82 μW。數(shù)值仿真的均方根輸出電壓和功率隨著轉(zhuǎn)速增加整體也呈上升趨勢，在轉(zhuǎn)速為160 r/min處達(dá)到最大值，此時對應(yīng)的均方根輸出電壓和功率分別約為8.0 V和97 μW。均方根輸出電壓和功率的數(shù)值仿真結(jié)果與實驗結(jié)果的平均誤差分別約為28%和26%。數(shù)值仿真結(jié)果和實驗結(jié)果存在一定誤差，但隨轉(zhuǎn)速增加的變化趨勢基本一致，因此本文建立的動力學(xué)模型可以作為理論參考。

5 結(jié) 論

本文提出了一種超低頻旋轉(zhuǎn)環(huán)境下的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)，建立了完整的動力學(xué)模型，并分析了其特性和能量俘獲性能，得到了以下結(jié)論：

（1）充分考慮離心效應(yīng)影響的情況下，基于能量法和拉格朗日方程等在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下推導(dǎo)了系統(tǒng)的分布式參數(shù)機(jī)電耦合方程。建立了相應(yīng)的磁力計算模型用以分析磁間距和離心效應(yīng)對勢阱的影響。分析結(jié)果表明隨著磁間距的增大，勢阱逐漸變淺，對應(yīng)不同的非線性和穩(wěn)態(tài)特性。由于離心效應(yīng)的影響，系統(tǒng)的勢阱隨著轉(zhuǎn)速增大而變深。

（2）理論分析與實驗驗證了本文提出的時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)具有低勢壘特性，在超低旋轉(zhuǎn)激勵水平下能夠?qū)崿F(xiàn)大振幅阱間振蕩，與線性能量俘獲系統(tǒng)相比，該系統(tǒng)具有更寬的工作頻率范圍和更高的輸出電壓。

（3）實驗中，時變勢阱磁耦合雙穩(wěn)態(tài)能量俘獲系統(tǒng)的最大均方根輸出電壓和功率分別約為7.4 V和82 μW，可以滿足低功耗嵌入式設(shè)備和無線傳感器的供能需求。

參考文獻(xiàn)：

［1］ Tan Q， Fan K， Guo J， et al. A cantilever-driven rotor for efficient vibration energy harvesting［J］. Energy， 2021， 235： 121326.

［2］ 芮小博，李一博，曾周末. 壓電懸臂梁振動能量收集器研究進(jìn)展［J］. 振動與沖擊， 2020， 39（17）： 112-123．

Rui Xiaobo， Li Yibo， Zeng Zhoumo. Research progress of piezoelectric cantilever vibration energy collector［J］. Journal of Vibration and Shock， 2020， 39（17）： 112-123.

［3］ 楊濤，周生喜，曹慶杰， 等. 非線性振動能量俘獲技術(shù)的若干進(jìn)展［J］. 力學(xué)學(xué)報， 2021， 53（11）： 2894-2909.

Yang Tao， Zhou Shengxi， Cao Qingjie， et al. Some advances in nonlinear vibration energy harvesting technology［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2021， 53（11）： 2894-2909.

［4］ 劉久周， 張鳳玲， 辛健強(qiáng)， 等. 一種非線性寬頻壓電能量收集系統(tǒng)的動力學(xué)特性分析［J］. 振動工程學(xué)報， 2021， 34（3）： 567-576.

Liu Jiuzhou， Zhang Fengling， Xin Jianqiang， et al. Dynamic characteristics of a nonlinear wideband energy harvester based on piezoelectric material［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（3）： 567-576.

［5］ 李魁， 楊智春， 谷迎松， 等. 變勢能阱雙穩(wěn)態(tài)氣動彈性能量收集的性能增強(qiáng)研究［J］. 航空學(xué)報， 2020， 41（9）： 136-147.

Li Kui， Yang Zhichun， Gu Yingsong， et al. Performance enhancement of variable-potential-well bi-stable aeroelasticity energy harvesting［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica， 2020， 41（9）： 136-147.

［6］ 張穎， 王偉， 曹軍義. 多穩(wěn)態(tài)俘能系統(tǒng)的準(zhǔn)確磁力建模方法［J］. 力學(xué)學(xué)報， 2021， 53（11）： 2984-2995

Zhang Ying， Wang Wei， Cao Junyi. An accurate modelling method of magnetic force in multi-stable energy harvesting system［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2021， 53（11）： 2984-2995.

［7］ 高鳴源， 李守太， 孫玉華， 等. 多穩(wěn)態(tài)電磁俘能系統(tǒng)的非線性動力學(xué)實驗研究［J］. 振動工程學(xué)報， 2021， 34（4）： 775-781.

Gao Mingyuan， Li Shoutai， Sun Yuhua， et al. Experimental study of non-linear dynamics of multi-stable electromagnetic energy harvesting system［J］. Journal of Vibration Engineering， 2021， 34（4）： 775-781.

［8］ 張旭輝， 吳中華， 鄧鵬飛， 等. 自調(diào)諧全方向振動能量收集裝置的設(shè)計及優(yōu)化［J］. 壓電與聲光， 2016， 38（6）： 915-919.

Zhang Xuhui， Wu Zhonghua， Deng Pengfei， et al. Design and optimization of self-tuning omnidirectional vibration energy harvester［J］. Piezoelectrics and Acoustooptics， 2016， 38（6）： 915-919.

［9］ 朱莉婭， 陳仁文， 劉祥建， 等. 自調(diào)諧寬頻帶壓電振動發(fā)電機(jī)的改進(jìn)［J］. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報， 2012， 44（3）： 327-332.

Zhu Liya， Chen Renwen， Liu Xiangjian， et al9SFVNRBl1kjgLCqmxOuuX0QnsStwKybh4CJEa5+JugQ=. Improved design of self-tuning broadband piezoelectric vibration generator［J］. Journal of Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， 2012， 44（3）： 327-332.

［10］ 趙林川， 鄒鴻翔， 劉豐瑞， 等. 壓電與摩擦電復(fù)合型旋轉(zhuǎn)能量采集動力學(xué)協(xié)同調(diào)控機(jī)制研究［J］. 力學(xué)學(xué)報， 2021， 53（11）： 2961-2971

Zhao Linchuan， Zou Hongxiang， Liu Fengrui， et al. Hybrid piezoelectric-triboelectric rotational energy harvester using dynamic coordinated modulation mechanism［J］. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2021， 53（11）： 2961-2971.

［11］ Zhang B， Li H， Zhou S， et al. Modeling and analysis of a three-degree-of-freedom piezoelectric vibration energy harvester for broadening bandwidth［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2022， 176： 109169.

［12］ Gu L， Livermore C. Passive self-tuning energy harvester for extracting energy from rotational motion［J］. Applied Physics Letters， 2010， 97（8）： 081904.

［13］ Hsu J C， Tseng C T， Chen Y S. Analysis and experiment of self-frequency-tuning piezoelectric energy harvesters for rotational motion［J］. Smart Materials and Structures， 2014， 23（7）： 075013.

［14］ Mei X， Zhou S， Yang Z， et al. Enhancing energy harvesting in low-frequency rotational motion by a quad-stable energy harvester with time-varying potential wells［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2021， 148： 107167.

［15］ Guan M， Liao W H. Design and analysis of a piezoelectric energy harvester for rotational motion system［J］. Energy Conversion and Management， 2016， 111： 239-244.

［16］ Liu T， Livemore C. Passively tuning harvesting beam length to achieve very high harvesting bandwidth in rotating applications［J］. Proceedings of PowerMEMS， 2012， 2012： 492-495.

［17］ Mei X， Zhou S， Yang Z， et al. A tri-stable energy harvester in rotational motion： modeling， theoretical analyses and experiments［J］. Journal of Sound and Vibration， 2020， 469： 115142.

［18］ Zhou Z， Qin W， Du W， et al. Improving energy harvesting from random excitation by nonlinear flexible bi-stable energy harvester with a variable potential energy function［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 115： 162-172.

［19］ Fang S， Fu X， Liao W H. Modeling and experimental validation on the interference of mechanical plucking energy harvesting［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 134： 106317.

［20］ Zou H， Zhang W， Li W， et al. Design and experimental investigation of a magnetically coupled vibration energy harvester using two inverted piezoelectric cantilever beams for rotational motion［J］. Energy Conversion and Management， 2017， 148： 1391-1398.

［21］ Febbo M， Machado S P， Gatti C D， et al. An out-of-plane rotational energy harvesting system for low frequency environments［J］. Energy conversion and management， 2017， 152： 166-175.

［22］ Mei X， Zhou R， Yang B， et al. Combining magnet-induced nonlinearity and centrifugal softening effect to realize high-efficiency energy harvesting in ultralow-frequency rotation［J］. Journal of Sound and Vibration， 2021， 505： 116146.

［23］ Zhang Y， Zheng R， Nakano K， et al. Stabilising high energy orbit oscillations by the utilisation of centrifugal effects for rotating-tyre-induced energy harvesting［J］. Applied Physics Letters， 2018， 112（14）： 143901.

Mechanism of magnetic?coupled bistable energy harvesting in rotational environment

WU Zhi-xian1，2， WANG Suo1，2， LI Zhi-yuan1，2， MEI Xu-tao3， ZHOU Sheng-xi1，2

（1.School of Aeronautics， Northwestern Polytechnical University， Xi’an 710072， China；2.Research and Development Institute in Shenzhen， Northwestern Polytechnical University， Shenzhen 518057， China；3.Faculty of Engineering， The University of Tokyo， Tokyo 153-8505， Japan）

Abstract： Ambient environments are rich in rotational energy resources. These can be converted into useful electric energy through energy conversion materials to， powering embedded devices and wireless sensors in the Internet of Things. As such， energy harvesting technology could potentially address the environmental pollution and high maintenance costs associated with traditional chemical batteries. This paper proposes a novel time-varying potential well magnetic-coupled bistable energy harvesting system with low potential barriers to enhance the energy harvesting performance in ultra-low frequency rotating environments （below 3 Hz）. The proposed system comprises a forward steel beam and an inverted piezoelectric beam installed on a rotational plate. Mutually exclusive magnets are attached to the free ends of both beams， creating three equilibrium positions due to the magnetic force， two of which are stable. This gives the system its coupled bistable characteristics. The free end of the forward steel beam is distanced from the center of the rotational plate， making it a centrifugal hardening beam. Conversely， the free end of the inverted piezoelectric beam is closer to the center， making it a centrifugal softening beam. Taking into account the influence of the centrifugal effect， the distributed parameter electromechanical coupling equation of the system is derived in the rotational coordinate system using the energy method， Lagrange equation， piezoelectric theory， and more. A magnetic calculation model is used to analyze the influence of magnetic spacing and the centrifugal effect on the potential energy well and the energy harvesting performance of the system. Finally， numerical simulations and experimental results verify that， compared to the linear energy harvesting system， the proposed magnetic-coupled bistable energy harvesting system has a wider operating frequency range （0～2.67 Hz） and higher output voltage （greater than 2 V）.

Key words： rotational energy harvesting；ultra-low frequency； bistable state； time-varying potential well； low potential barrier

作者簡介： 伍芷嫻（1997—），女，碩士研究生。E-mail：2856932332@qq.com。

通訊作者： 周生喜（1987—），男，博士，教授。E-mail：zhoushengxi@nwpu.edu.cn。