• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    含裂紋缺陷的預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)非線性振動特性研究

    2024-12-03 00:00:00仲賽鳳,靳國永,何濤,葉天貴
    振動工程學報 2024年6期

    摘要: 基于擴展等幾何方法和一階殼體剪切變形理論建立了含裂紋缺陷的功能梯度預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的非線性振動控制方程??刂品匠讨锌紤]了預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的預(yù)扭角度及幾何非線性,應(yīng)用擴展等幾何方法,采用反映位移變化的富集函數(shù)來描述裂紋的位置及長度,一方面可以提高計算精度,另一方面可以避免在裂紋處的網(wǎng)格加密,提高計算效率。采用了直接迭代法求解非線性振動控制方程。通過與現(xiàn)有文獻結(jié)果對比,證明了本文方法的正確性和穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上,探究裂紋對功能梯度預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)非線性振動頻率的影響,研究了預(yù)扭角度、裂紋位置及長度和材料的功能梯度指數(shù)等參數(shù)對預(yù)扭殼非線性振動特性的影響規(guī)律。

    關(guān)鍵詞: 非線性振動; 功能梯度材料; 裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu); 擴展等幾何方法; 一階殼體剪切變形理論

    中圖分類號: O322 文獻標志碼: A 文章編號: 1004-4523(2024)06-0937-08

    DOI:10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.004

    引 言

    旋轉(zhuǎn)機械在工業(yè)中普遍存在,其主要部件葉片在長期運行過程中可能會出現(xiàn)裂紋的產(chǎn)生及擴展,影響機械的正常運行。因此,判斷裂紋的產(chǎn)生位置和長度顯得尤為重要,其中通過葉片振動頻率的變化來識別裂紋參數(shù)是一種重要的判斷手段。而在利用振動特征識別裂紋參數(shù)的過程中,對含裂紋缺陷的葉片結(jié)構(gòu)進行精確振動建模十分重要。功能梯度材料(FGMs)[1]的使用,為葉片在復(fù)雜環(huán)境中運行提供了更多的可能性。為了探究裂紋對于同性材料及功能梯度材料葉片振動頻率的影響規(guī)律,學者們提出了多種裂紋葉片模型。

    徐可君等[2]采用等效剛度法表示裂紋效應(yīng),將葉片等效為無扭曲的懸臂梁,探究了單面和雙面裂紋對于葉片第一階固有頻率的影響。趙迪等[3]應(yīng)用了傳遞矩陣法和有限元法計算了含裂紋懸臂梁模型的固有頻率,證明了傳遞矩陣法可以較好地描述裂紋結(jié)構(gòu)的固有振動特征。諸多學者使用無質(zhì)量彈性旋轉(zhuǎn)彈簧模擬裂紋產(chǎn)生的附加剛度[4?6],探究裂紋參數(shù)對于裂紋梁動力響應(yīng)的影響。張俊紅等[7]建立了航空發(fā)動機葉片的有限元模型,分析了裂紋的存在對于葉片自由振動和強迫振動的影響。Panigrahi等[8]探索了在單頻和多頻激勵下功能梯度裂紋梁的非線性振動響應(yīng)。

    由于方法的局限性,以上文獻所研究的含有裂紋的葉片模型大多是基于一維梁理論來建立的,適用于大展弦比類型的葉片結(jié)構(gòu)。但是對于很多旋轉(zhuǎn)機械,其葉片的長度與寬度的比值并不是很大,此時一維梁理論便不再適用,而應(yīng)采用二維的板殼變形理論。另外,葉片(特別是含有裂紋的葉片)在復(fù)雜的工作環(huán)境中,受到多種載荷的影響,往往會發(fā)生大變形,從而產(chǎn)生非線性應(yīng)變,進而發(fā)生非線性振動。因此探究含裂紋缺陷的功能梯度(FG)葉片的非線性振動特性是極為重要的。

    擴展等幾何方法(XIGA)是一種在擴展有限元方法(XFEM)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的用于解決非連續(xù)區(qū)域問題的方法[9]。由于其在含間斷面子域中采用反映局部位移特征的富集函數(shù),既可以提高計算精度,又可以避免過密的網(wǎng)格劃分,并且對不連續(xù)面的描述是完全獨立于計算網(wǎng)格的,使其在裂紋擴展后無需進行傳統(tǒng)有限元的網(wǎng)格重構(gòu)。近年來,諸多學者將XIGA應(yīng)用于求解含裂紋板殼的靜態(tài)和動態(tài)特性[10?12]。

    針對含裂紋缺陷的葉片建模難度較大及其非線性振動特性不明確的問題,本文基于XIGA、一階殼體剪切變形理論和von Kármán幾何非線性理論,將小展弦比葉片等效為考慮預(yù)扭角的二維殼模型,探究FG裂紋預(yù)扭殼的非線性振動特性?;趘on Kármán幾何非線性理論,得到非線性應(yīng)變項,采用直接迭代法求解非線性控制方程。通過與其他方法的對比,驗證XIGA求解方法的正確性。在此基礎(chǔ)上,探究預(yù)扭角度、裂紋位置及長度和材料的功能梯度指數(shù)對FG預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)非線性振動特性的影響規(guī)律,為旋轉(zhuǎn)機械葉片的裂紋識別及疲勞機理研究提供一定的理論依據(jù)。

    1 基本原理

    1.1 FG裂紋預(yù)扭殼模型

    本文考慮的FG裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu),基本形狀參數(shù)如圖1所示。殼體的長、寬和高分別用L, b和h表示,假設(shè)預(yù)扭角度沿x方向線性變化,預(yù)扭角的變化率kth=θ0/L,θ0為x=L時的預(yù)扭角度。裂紋和根部x=0之間的距離用cl表示,裂紋的長度為cd。

    圖2所示為擴展等幾何方法描述的裂紋預(yù)扭殼模型,其中紅色直線表示裂紋存在的位置及長度,斜線表示固支邊界條件。

    1.2 一階殼體剪切變形理論

    本文將預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)等效為具有雙曲率的二維殼模型。根據(jù)一階殼體剪切變形理論,預(yù)扭殼上任意一點的位移變量可以表示為:

    (1)

    式中 u,v,w為中面上任意一點的位移;φx和φy分別表示y?z和x?z方向的轉(zhuǎn)角。

    根據(jù)von Kármán幾何非線性理論,當大變形存在時,預(yù)扭殼的位移與應(yīng)變的關(guān)系表達式為:

    (2)

    (3)

    (4)

    式中 下標“,x”和“,y”分別表示對x和y變量進行求導;和分別為線性應(yīng)變和非線性應(yīng)變;A為拉梅系數(shù);Rx, Ry和Rxy分別表示預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)x,y兩個方向的曲率和扭轉(zhuǎn)曲率,則扭轉(zhuǎn)曲率[13]為:

    (5)

    式中 表示擴展等幾何方法中y方向節(jié)點向量的變量。

    應(yīng)變的非線性部分可以進一步表示為如下形式:

    (6)

    式中 Aθ部分與振動位移向量q有關(guān);為非線性應(yīng)變矩陣。

    由廣義胡克定律,應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系可表示為:

    (7)

    其中:

    (8)

    本文中剪切修正系數(shù)kn取5/6。

    本文考慮的功能梯度材料沿厚度方向呈指數(shù)函數(shù)變化,具體表達式為:

    (9)

    式中 P表示各種材料參數(shù),下標“c”和“m”分別表示陶瓷和金屬材料;h為預(yù)扭殼的厚度;n為材料的功能梯度指數(shù)。材料參數(shù)P在本文中指材料的彈性模量E(z)、泊松比μ(z)和密度ρ(z)。

    1.3 擴展等幾何方法(XIGA)

    XIGA是在等幾何方法的基礎(chǔ)上,依據(jù)擴展有限元(XFEM)思想發(fā)展起來的一種用于解決非連續(xù)區(qū)域問題的方法。本文中,在裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的連續(xù)區(qū)域采用標準的等幾何方法構(gòu)造計算使用的基函數(shù),而在裂紋存在區(qū)域及裂尖位置所對應(yīng)的參數(shù)單元內(nèi),對標準的計算基函數(shù)進行修正,增加能夠描述裂紋處間斷特性及裂尖處奇異性的富集函數(shù),從而提高計算精度。XIGA采用水平集方法[14]來描述裂紋,使得對于裂紋的描述可以獨立于等幾何單元,在裂紋擴展時,不需要進行網(wǎng)格的重新構(gòu)造,提高計算效率。

    裂紋預(yù)扭殼上任意一點的位移向量可以表示為:

    (10)

    式中 M為所有控制點的個數(shù);H為裂紋貫穿單元內(nèi)的控制點個數(shù);G為裂尖單元內(nèi)的控制點個數(shù);,和分別表示標準單元、裂紋貫穿單元和裂尖單元的位移;u=[u, v, w, φx, φy];為等幾何單元基函數(shù),其具體表達式為:

    (11)

    式中 ωi,j為每個控制點所對應(yīng)的權(quán)值;,分別為,兩個方向節(jié)點向量E和H建立的B樣條基函數(shù);p, q為基函數(shù)的階數(shù)。由于篇幅限制,這里B樣條基函數(shù)的具體表達式并沒有展開,對此感興趣的讀者可以參閱文獻[15]。

    Heaviside階躍函數(shù)的表達式為:

    (12)

    式中 xl為距離坐標x最近且位于裂紋上的某一點;en為沿著裂紋方向的法向量。

    裂尖單元的富集函數(shù)Gl(x)本身是裂尖局部極坐標的函數(shù)Gl(r, θ),當u=[u, v, w]時,Gl(r, θ)MuwtHH8X6a6kYBtmCKqmvScVylHPDl+ojwU5qAlZOJ8=的表達式[16]為:

    (13)

    當u=[φx, φy]時,Gl (r, θ)的表達式[16]為:

    (14)

    在進行計算時,利用水平集方法判斷不同的參數(shù)單元類型。在標準單元中,u=ui,應(yīng)變矩陣只包括標準線性應(yīng)變矩陣和標準非線性應(yīng)變矩陣;在裂紋貫穿單元中,u=[ui, uh],應(yīng)變矩陣中包含加強項;在裂尖單元中,u=[ui,u1t, u2t,u3t,u4t],應(yīng)變矩陣中包含加強項;其中和分別為裂紋單元的加強線性應(yīng)變和非線性應(yīng)變矩陣,和分別表示裂尖單元的加強線性應(yīng)變和非線性應(yīng)變矩陣。

    另外,構(gòu)建基函數(shù)的參數(shù)域(,)到實際模型坐標域(x, y)之間的轉(zhuǎn)換雅可比矩陣可表示為:

    (15)

    關(guān)于坐標x和y的一階偏導數(shù)可以寫為以下形式:

    (16)

    1.4 裂紋預(yù)扭殼的非線性振動方程

    通過上述的推導,可以得到裂紋預(yù)扭殼的勢能和動能表達式為:

    (17)

    (18)

    基于哈密頓原理,得到以下表達式:

    (19)

    式中 為變分符號。

    進一步得到在考慮大變形的情況下,裂紋預(yù)扭殼的控制方程為:

    (20)

    考慮諧波運動,控制方程還可以改寫成:

    (21)

    為了消除時間參數(shù)t,使用加權(quán)殘數(shù)法,并在內(nèi)積分[17],得到:

    (22)

    其中:

    (23)

    本文采用直接迭代法求解上述裂紋預(yù)扭殼的非線性振動方程(22),從而得到非線性振動頻率,具體求解步驟如下:

    (1) 首先忽略非線性剛度矩陣KNL1和KNL2,利用方程(22)求解初始線性頻率和基頻對應(yīng)的振型向量。

    (2) 將得到的初始振型向量進行歸一化后,再乘以一定的放大倍數(shù)Wmax以此達到相應(yīng)的大變形振動幅值。Wmax是假設(shè)的最大位移變形幅值,通常取與變形板殼結(jié)構(gòu)厚度h成比例的數(shù)值。

    (3) 以放大后的振動向量為基礎(chǔ)得到非線性矩陣KNL1和KNL2,然后根據(jù)方程(22),得到新的頻率和振動位移向量。

    (4) 重復(fù)步驟(2)和(3),直到相鄰兩次迭代得到的第一階頻率誤差小于0.1%,迭代結(jié)束,得到非線性頻率值。

    本文采用第一階非線性頻率和第一階線性頻率的比值γ=ωNL/ωL來表示裂紋預(yù)扭殼的非線性振動強弱[17]。頻率比越大,非線性頻率與線性頻率的差值越大,即頻率比表示控制方程的非線性項對振動行為的影響。當頻率比接近1時,表明非線性頻率和線性頻率幾乎具有相同的值,且非線性項對振動行為的影響相當小,可以忽略不計。隨著頻率比的增加,振動行為變?yōu)榉蔷€性,此時進行線性分析是不恰當?shù)摹?/p>

    2 數(shù)值結(jié)果和討論

    2.1 收斂性和準確性驗證

    首先考慮一個純鋼材料的裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu),其形狀參數(shù)為:L=0.4 m, b=0.2 m, h=0.01 m, θ0=30°, cl=0.5L,考慮有裂紋存在和無裂紋的兩種情況。具體材料參數(shù)如表1所示。本文方法中基函數(shù)的階次p=q=3,取不同的控制點得到的3組結(jié)果與ANSYS有限元分析軟件得到的結(jié)果進行對比。需要注意的是,在ANSYS有限元分析軟件中,分析裂紋預(yù)扭殼模型時,預(yù)扭角本身增加了模型建模的難度;由于裂紋的存在,在裂紋尖端位置需要采用ANSYS自帶的2D裂紋奇異單元PLANE183模擬裂紋尖端處的奇異性;在裂紋貫穿處還需進行網(wǎng)格加密處理,用以保證裂紋貫穿處的計算精度,這些操作都會使得有限元的計算成本增加,降低其計算效率。通過表2的數(shù)據(jù)對比可以看出,本文方法隨著控制點數(shù)量的增加,結(jié)果呈收斂的趨勢,考慮到計算效率,在計算裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)時,可采用36×18控制點組合形式。具體參數(shù)單元和控制點的分布如圖3所示。

    為了驗證本文非線性振動方程求解方法的正確性,考慮了簡支邊界條件下(當x=0, L時,v=w=φy=0且當y=-b/2, b/2時,u=w=φx=0)無裂紋Al/Al2O3功能梯度板模型的非線性振動,板的幾何形狀數(shù)據(jù)為:L=0.2 m, b=0.2 m, h=0.02 m。如圖4所示,與參考文獻[18]相比,不同的功能梯度指數(shù)n下結(jié)果吻合較好,證明了等幾何方法和直接迭代法求解本文中非線性問題的適用性和準確性。

    圖5展示了純鋼材料預(yù)扭殼在有無裂紋時的前4階線性振動模態(tài)振型圖。模型參數(shù)與表2所使用的算例一致。通過與ANSYS軟件結(jié)果的對比,證明了本文提出的擴展等幾何方法求解含裂紋缺陷預(yù)扭殼模型振動特性的正確性。另外,從模態(tài)振型圖可以看出,預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)在出現(xiàn)裂紋之后,某些模態(tài)振型會發(fā)生明顯的變化,特別是在裂紋周圍的位置,這些變化會更加明顯。并且從圖5中可以看出,含裂紋殼的2,3階模態(tài)發(fā)生了模態(tài)互換現(xiàn)象,說明裂紋缺陷對于預(yù)扭殼的振動形態(tài)有明顯的影響。

    在上述模型的基礎(chǔ)上,進一步對使用本文方法求解Steel/Al2O3功能梯度裂紋預(yù)扭殼非線性振動方程的收斂性進行驗證。模型的基本參數(shù)如下:L=0.4 m, b=0.2 m, h=0.01 m, θ0=30°, cl=0.5L, n=1??紤]無裂紋和裂紋長度為cd=0.3b時的功能梯度預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)。如圖6所示,可以看到即使選取較少的控制點,本文的方法依舊可以達到收斂的結(jié)果。

    2.2 參數(shù)分析

    接下來,本文通過求解非線性振動方程(22),討論功能梯度指數(shù)、預(yù)扭角度、裂紋位置和長度對裂紋預(yù)扭殼模型非線性振動的影響。除非特別說明,模型參數(shù)均與圖6相同。首先,本文研究了功能梯度指數(shù)對于裂紋預(yù)扭殼的第1階線性頻率和非線性頻率比的影響。表3給出了裂紋預(yù)扭殼的第1階線性頻率和頻率比隨著振動幅值比例及n的變化??梢悦黠@地看出,頻率比受振動幅值的影響較大,隨著振動幅值的增大而增大。隨著n的增大,裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的線性頻率減小,這是因為隨著n的增大,金屬材料的比例增加,陶瓷材料所占比重減小,導致模型的整體剛度減小、質(zhì)量增加,所以線性頻率降低。但是材料對于頻率比的影響并不是單調(diào)的,在振動幅值較小時,材料對于頻率比的影響較小,隨著振動幅值的增大,頻率比隨著功能梯度指數(shù)的增加呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢。說明了在大變形振動的情況下,考慮裂紋預(yù)扭殼非線性振動頻率的必要性。

    緊接著,分析了裂紋長度對于裂紋預(yù)扭殼頻率比的影響。圖7給出了考慮三種不同的裂紋長度時,非線性頻率比隨著振動幅值比例變化的曲線。從圖7中可以看出,當裂紋位于殼體中間位置時,頻率比隨著裂紋長度的增加而增加,這是因為隨著裂紋長度的增加,殼體剛度減小,使得線性頻率減小。而且裂紋長度對于頻率比的影響隨著振動幅值的增大更加明顯。表4展示了當殼體裂紋位置不同時,含有不同長度裂紋的功能梯度預(yù)扭殼的頻率比。由表4中數(shù)據(jù)可知,當裂紋位于不同位置時,裂紋對預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的非線性頻率的影響程度不同。在表4考慮的兩個裂紋位置中,當幅值比例小于3,裂紋位于0.5L位置時,裂紋對功能梯度預(yù)扭殼的頻率比影響更大;而當幅值比例等于3,裂紋位于0.2L位置時,對功能梯度預(yù)扭殼的頻率比影響更大。數(shù)據(jù)表明,裂紋對預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)非線性振動的影響規(guī)律還與大變形振動發(fā)生的幅值有關(guān)。

    表5給出了裂紋預(yù)扭殼的第一階線性頻率和非線性頻率比隨著裂紋位置變化的數(shù)據(jù)。由表5中數(shù)據(jù)可知,當裂紋遠離固定端(x=0)時,殼體的線性頻率逐漸增大,也就是說裂紋出現(xiàn)在葉片固定端時,對于線性頻率的影響是最大的。然而頻率比隨裂紋位置的變化與線性頻率不同,當裂紋靠近根部(cl/L=0.4)時,頻率比達到最大,然后隨著裂紋向自由端靠近,頻率比略有減小。

    最后,本文探究了殼體預(yù)扭角對于有/無裂紋預(yù)扭殼頻率比的影響。如表6中數(shù)據(jù)所示,在本文考慮的預(yù)扭角變化范圍之內(nèi),隨著預(yù)扭角的增大,有/無裂紋預(yù)扭殼的非線性頻率比都會減小。而在線性振動中,線性頻率同樣是隨著預(yù)扭角的增大而減小的。根據(jù)頻率比γ=ωNL/ωL,可知非線性頻率必然也是隨著預(yù)扭角角度的增大而減小。裂紋的存在并沒有改變預(yù)扭角對線性頻率和頻率比的影響規(guī)律。

    3 結(jié) 論

    本文利用von Kármán幾何非線性理論,探究在大振幅振動的情況下含裂紋缺陷預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的非線性振動特性?;跀U展等幾何的方法建立了含有裂紋的預(yù)扭殼模型,利用富集函數(shù)和水平集方法描述裂紋的存在,通過與有限元結(jié)果對比,證明了本文方法應(yīng)用于功能梯度裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)的準確性和穩(wěn)定性。擴展了等幾何方法的應(yīng)用,避免了有限元方法在裂紋處的網(wǎng)格加密,在裂紋擴展時,不需要進行網(wǎng)格重構(gòu),可以極大地提高分析含裂紋殼結(jié)構(gòu)的效率。最后探討了裂紋的長度及位置,預(yù)扭角度及功能梯度指數(shù)對于大振幅振動時裂紋預(yù)扭殼頻率比的影響規(guī)律。針對本文研究的預(yù)扭殼模型,功能梯度指數(shù)對于線性頻率的影響是單調(diào)的,而對于頻率比的影響是相對復(fù)雜的。裂紋長度越大,頻率比越大;當裂紋位于殼體靠近根部cl/L=0.4處,頻率比最大。裂紋的存在不會改變預(yù)扭角對本文模型線性頻率和非線性頻率的影響。本文在擴展等幾何方法的基礎(chǔ)上,只研究了裂紋缺陷對含裂紋預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)靜頻的影響,接下來會繼續(xù)探究考慮旋轉(zhuǎn)速度的情況下,裂紋對于預(yù)扭殼結(jié)構(gòu)動頻的影響規(guī)律。

    參考文獻:

    [1] Miyamoto Y, Kaysser W A, Rabin B H, et al. Functionally graded materials: design, processing and applications[M]. Berlin, Germany: Springer Science & Business Media, 2013.

    [2] 徐可君,江龍平.裂紋對葉片固有頻率影響的分析[J]. 推進技術(shù), 1997, 18(6): 68?71.

    XU Kejun, JIANG Longping. Analysis of effect of crack on the natural frequency of blade[J].Journal of Propulsion Technology, 1997, 18(6): 68?71.

    [3] 趙迪, 尚新春. 含裂紋旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的振動特征分析[J]. 武漢大學學報(工學版), 2011, 44(4): 487?491.

    ZHAO Di, SHANG Xinchun. Analysis of vibration characteristics of rotating blade with cracks[J]. Engineering Journal of Wuhan University, 2011, 44(4): 487?491.

    [4] Kitipornchai S, Ke L L, Yang J, et al. Nonlinear vibration of edge cracked functionally graded Timoshenko beams[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 324(3?5): 962?982.

    [5] Panigrahi B, Pohit G. Effect of cracks on nonlinear flexural vibration of rotating Timoshenko functionally graded material beam having large amplitude motion[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part C: Journal of Mechanical Engineering Science, 2018, 232(6): 930?940.

    [6] 戴緣, 王天宇, 楊驍. 基于裂紋等效扭轉(zhuǎn)彈簧模型的裂紋梁振動分析[J]. 上海大學學報(自然科學版), 2019, 25(6): 965?977.

    DAI Yuan, WANG Tianyu, YANG Xiao. Vibration analysis of cracked beam based on crack’s equivalent rotational spring model[J]. Journal of Shanghai University (Natural Science), 2019, 25(6): 965?977.

    [7] 張俊紅, 楊碩, 劉海, 等. 裂紋參數(shù)對航空發(fā)動機葉片頻率轉(zhuǎn)向特性影響研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(20): 7?11.

    ZHANG Junhong, YANG Shuo, LIU Hai, et al. Influence of crack parameters on frequency veering characteristic of aero?engine blade[J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(20): 7?11.

    [8] Panigrahi B, Pohit G. Nonlinear dynamic response of open and breathing cracked functionally graded beam under single and multi?frequency excitation[J]. Engineering Structures, 2021, 242: 112437.

    [9] Nguyen V P, Anitescu C, Bordas S P A, et al. Isogeometric analysis: an overview and computer implementation aspects[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 2015, 117: 89?116.

    [10] Singh S K, Singh I V, Mishra B K, et al. Analysis of cracked functionally graded material plates using XIGA based on generalized higher?order shear deformation theory[J]. Composite Structures, 2019, 225: 111038.

    [11] Zhang J, Yu T, Bui T Q. An adaptive XIGA with locally refined NURBS for modeling cracked composite FG Mindlin?Reissner plates[J]. Engineering with Computers, 2021,38(4): 3639?3661.

    [12] 尹碩輝. 面向 CAD/CAE 集成的等幾何分析和有限胞元法研究及應(yīng)用[D]. 南京: 河海大學, 2016.

    YIN Shuohui. Research on isogeometric analysis and finite cell method toward CAD/CAE integration and their applications[D]. Nanjing: Hohai University, 2016.

    [13] Sun J, Arteaga I L, Kari L. General shell model for a rotating pretwisted blade[J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(22): 5804?5820.

    [14] Shi J, Chopp D, Lua J, et al. Abaqus implementation of extended finite element method using a level set representation for three?dimensional fatigue crack growth and life predictions[J]. Engineering Fracture Mechanics, 2010, 77(14):2840?2863.

    [15] Hughes T, Cottrell J A, Bazilevs Y. Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement[J]. Computer Methods in Applied Mechanics & Engineering, 2005, 194(39?41): 4135?4195.

    [16] Liu P, Bui T Q, Zhu D, et al. Buckling failure analysis of cracked functionally graded plates by a stabilized discrete shear gap extended 3?node triangular plate element[J]. Composites Part B: Engineering, 2015, 77: 179?193.

    [17] Kiani Y. Isogeometric large amplitude free vibration of graphene reinforced laminated plates in thermal environment using NURBS formulation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2018, 332: 86?101.

    [18] Chaudhari V K, Gupta A, Talha M. Nonlinear Vibration response of shear deformable functionally graded plate using finite element method[J]. Procedia Technology, 2016, 23: 201?208.

    Nonlinear vibration characteristic analysis of a cracked pre-twisted shell

    ZHONG Sai?feng1, JIN Guo?yong1, HE Tao2, YE Tian?gui1

    (1.College of Power and Energy Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China;2.Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430205, China)

    Abstract: This paper establishes the governing equations of the nonlinear vibration of a functionally graded shell with a crack, based on the extended isogeometric analysis (XIGA) and the first-order shear deformation theory. The study investigates the effects of the crack on the nonlinear vibrational frequency ratio of the model, taking into account large amplitude vibrations. Enriched functions, which represent displacement changes, are used to describe the position and length of the crack. This approach enhances calculation accuracy and avoids mesh refinement at the crack. The nonlinear governing equation is solved using the direct iteration method, and its correctness is validated by comparing the results with existing literature. The study further explores the effects of the pre-twisted angle, crack location, crack length and material variation parameters on the nonlinear vibration characteristics of the pre-twisted shells with cracks.

    Key words: nonlinear vibration;functionally graded materials;cracked pre?twisted shell structure;extended isogeometric analysis;first?order shear deformation theory

    作者簡介: 仲賽鳳(1995―),女,博士研究生。E?mail: saifengzhong@hrbeu.edu.cn。

    通訊作者: 靳國永(1980―),男,博士,教授。電話: (0451)82588822;E?mail: guoyongjin@hrbeu.edu.cn。

    黄片播放在线免费| 人妻久久中文字幕网| 国产精品久久久久久人妻精品电影| 757午夜福利合集在线观看| 丁香六月欧美| 亚洲人成电影观看| 欧美一区二区精品小视频在线| 曰老女人黄片| 国产国语露脸激情在线看| 国产又爽黄色视频| 亚洲精品在线观看二区| 久久亚洲真实| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 高清在线国产一区| 无人区码免费观看不卡| 大型av网站在线播放| 亚洲精品粉嫩美女一区| 国产精品久久久人人做人人爽| 满18在线观看网站| 中文字幕另类日韩欧美亚洲嫩草| 叶爱在线成人免费视频播放| 国产精品久久久久久精品电影 | 91麻豆精品激情在线观看国产| 9热在线视频观看99| 国产一区二区在线av高清观看| 久热这里只有精品99| 纯流量卡能插随身wifi吗| 丝袜在线中文字幕| 女性被躁到高潮视频| 欧洲精品卡2卡3卡4卡5卡区| 国内精品久久久久久久电影| 欧美老熟妇乱子伦牲交| 韩国av一区二区三区四区| 久久精品91无色码中文字幕| 久久国产乱子伦精品免费另类| 国产成+人综合+亚洲专区| 在线观看午夜福利视频| 欧美中文日本在线观看视频| 无遮挡黄片免费观看| 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 男女下面进入的视频免费午夜 | 又黄又爽又免费观看的视频| 精品国产国语对白av| 黄色a级毛片大全视频| 两个人看的免费小视频| 好男人在线观看高清免费视频 | 90打野战视频偷拍视频| 中文字幕人成人乱码亚洲影| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| 色婷婷久久久亚洲欧美| 精品国内亚洲2022精品成人| 久久午夜综合久久蜜桃| 校园春色视频在线观看| 国产精品亚洲av一区麻豆| 在线观看免费午夜福利视频| 午夜免费激情av| 91麻豆精品激情在线观看国产| 97人妻天天添夜夜摸| 可以在线观看毛片的网站| svipshipincom国产片| 精品久久久久久久久久免费视频| 日本撒尿小便嘘嘘汇集6| 制服诱惑二区| 亚洲精品粉嫩美女一区| 真人一进一出gif抽搐免费| 禁无遮挡网站| 久99久视频精品免费| 人人妻人人澡人人看| 桃色一区二区三区在线观看| 久久这里只有精品19| 久久香蕉激情| tocl精华| 制服诱惑二区| 禁无遮挡网站| 一区二区三区精品91| 大香蕉久久成人网| 欧美日韩乱码在线| 亚洲人成77777在线视频| 大陆偷拍与自拍| 国产成人精品在线电影| 欧美日本中文国产一区发布| 色综合站精品国产| 午夜免费观看网址| 一级a爱片免费观看的视频| 精品国产一区二区三区四区第35| 精品乱码久久久久久99久播| 美女高潮到喷水免费观看| 国产一区二区激情短视频| 国产一区二区激情短视频| 欧美激情 高清一区二区三区| 午夜影院日韩av| 丝袜在线中文字幕| 中文亚洲av片在线观看爽| 久久香蕉精品热| 侵犯人妻中文字幕一二三四区| 少妇熟女aⅴ在线视频| 久久久久久久久中文| 一本大道久久a久久精品| www.www免费av| 成人亚洲精品一区在线观看| 国产免费av片在线观看野外av| 黄色女人牲交| 国产免费av片在线观看野外av| 日本 av在线| 91麻豆精品激情在线观看国产| 亚洲av成人av| 91成年电影在线观看| 久久久久久久久久久久大奶| 在线观看日韩欧美| 色综合欧美亚洲国产小说| 久久影院123| 黄色a级毛片大全视频| 婷婷丁香在线五月| 久久久久精品国产欧美久久久| 制服人妻中文乱码| 国产亚洲精品av在线| 999久久久国产精品视频| 深夜精品福利| 免费高清视频大片| 欧美av亚洲av综合av国产av| 日韩三级视频一区二区三区| 亚洲欧美一区二区三区黑人| 久久久久久久久久久久大奶| 国产色视频综合| 久9热在线精品视频| 热99re8久久精品国产| 国产区一区二久久| 久久草成人影院| www国产在线视频色| 中出人妻视频一区二区| 久久人妻av系列| 欧美日本视频| 亚洲熟女毛片儿| 97人妻精品一区二区三区麻豆 | 91大片在线观看| 又黄又爽又免费观看的视频| 最好的美女福利视频网| 男女下面进入的视频免费午夜 | 一边摸一边抽搐一进一出视频| 男人舔女人的私密视频| 岛国视频午夜一区免费看| 久久精品成人免费网站| 欧美国产日韩亚洲一区| 一级毛片高清免费大全| 又紧又爽又黄一区二区| 亚洲专区国产一区二区| 激情视频va一区二区三区| 一进一出抽搐gif免费好疼| 国产精品综合久久久久久久免费 | 日本 av在线| 午夜福利,免费看| 日韩三级视频一区二区三区| 成在线人永久免费视频| 亚洲国产精品成人综合色| 1024视频免费在线观看| 久久久国产成人免费| 亚洲精品国产色婷婷电影| 日日爽夜夜爽网站| 久久久久久久久中文| 亚洲最大成人中文| 国产精品亚洲一级av第二区| 亚洲国产看品久久| 黄色视频不卡| 亚洲成av人片免费观看| 国产成人av激情在线播放| 亚洲成人免费电影在线观看| 男女做爰动态图高潮gif福利片 | 大码成人一级视频| 中文字幕精品免费在线观看视频| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 亚洲欧美日韩无卡精品| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 狠狠狠狠99中文字幕| 国产97色在线日韩免费| 国产在线精品亚洲第一网站| 日日夜夜操网爽| 欧美日韩黄片免| 久久天堂一区二区三区四区| 久久久久久久久久久久大奶| 国产97色在线日韩免费| 一级毛片女人18水好多| 久久国产亚洲av麻豆专区| 精品福利观看| 国产主播在线观看一区二区| 婷婷六月久久综合丁香| 麻豆久久精品国产亚洲av| 欧美午夜高清在线| 大型av网站在线播放| 女警被强在线播放| 国产亚洲精品av在线| 999久久久精品免费观看国产| 丰满的人妻完整版| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 亚洲一区高清亚洲精品| 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 中文亚洲av片在线观看爽| 亚洲va日本ⅴa欧美va伊人久久| 午夜两性在线视频| 免费看a级黄色片| 亚洲激情在线av| 大陆偷拍与自拍| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 18禁黄网站禁片午夜丰满| 精品欧美一区二区三区在线| 无限看片的www在线观看| 欧美日本视频| 亚洲成人免费电影在线观看| 涩涩av久久男人的天堂| 免费在线观看完整版高清| videosex国产| 久久亚洲真实| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 亚洲第一电影网av| 一本综合久久免费| 国产一区二区三区视频了| 99re在线观看精品视频| 中文字幕人妻丝袜一区二区| 亚洲av第一区精品v没综合| 一进一出抽搐动态| 制服人妻中文乱码| 日韩精品中文字幕看吧| 人人妻,人人澡人人爽秒播| 他把我摸到了高潮在线观看| 19禁男女啪啪无遮挡网站| 亚洲精品久久国产高清桃花| aaaaa片日本免费| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 热re99久久国产66热| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 黄色 视频免费看| 欧美在线黄色| 久久久久久大精品| 丝袜人妻中文字幕| 国产成人欧美在线观看| 国产激情欧美一区二区| 精品久久久精品久久久| 欧美日韩黄片免| 色综合亚洲欧美另类图片| 亚洲熟妇熟女久久| 最近最新中文字幕大全免费视频| 一区在线观看完整版| 午夜福利成人在线免费观看| 一级黄色大片毛片| 此物有八面人人有两片| 日韩欧美三级三区| 99国产精品一区二区蜜桃av| 久久久国产成人精品二区| 久久国产亚洲av麻豆专区| 黄色成人免费大全| 在线视频色国产色| 国产一区二区在线av高清观看| 久久天躁狠狠躁夜夜2o2o| 最新在线观看一区二区三区| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 正在播放国产对白刺激| 欧美绝顶高潮抽搐喷水| 久久婷婷成人综合色麻豆| 亚洲精品久久成人aⅴ小说| 久久人妻熟女aⅴ| e午夜精品久久久久久久| 亚洲自偷自拍图片 自拍| 亚洲自拍偷在线| 久久人妻福利社区极品人妻图片| 亚洲av电影不卡..在线观看| 亚洲欧美精品综合一区二区三区| 男人舔女人下体高潮全视频| 久久精品91无色码中文字幕| 法律面前人人平等表现在哪些方面| 一边摸一边做爽爽视频免费| 国产黄a三级三级三级人| 久久久久久亚洲精品国产蜜桃av| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 99热只有精品国产| 在线观看日韩欧美| 亚洲av片天天在线观看| 亚洲国产看品久久| 午夜精品在线福利| 91精品国产国语对白视频| 精品久久久久久,| 国产精品久久视频播放| 淫妇啪啪啪对白视频| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 99久久国产精品久久久| 国产乱人伦免费视频| 视频区欧美日本亚洲| 搡老妇女老女人老熟妇| 丰满人妻熟妇乱又伦精品不卡| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 国产精品久久久人人做人人爽| 国产色视频综合| 国产精品亚洲美女久久久| 国产亚洲精品第一综合不卡| 欧美激情 高清一区二区三区| 如日韩欧美国产精品一区二区三区| 成人欧美大片| ponron亚洲| 国产精品精品国产色婷婷| 狂野欧美激情性xxxx| 久热爱精品视频在线9| 日韩欧美三级三区| 午夜福利在线观看吧| 91大片在线观看| 久久欧美精品欧美久久欧美| cao死你这个sao货| 亚洲男人的天堂狠狠| 亚洲精品在线美女| 亚洲熟妇中文字幕五十中出| 国产成人av教育| 99国产精品一区二区三区| 国产精品免费视频内射| 天堂动漫精品| 免费在线观看黄色视频的| 久久人妻av系列| 免费看a级黄色片| 极品教师在线免费播放| 国产区一区二久久| 日韩精品中文字幕看吧| 免费高清视频大片| 首页视频小说图片口味搜索| 亚洲色图av天堂| 岛国视频午夜一区免费看| 热99re8久久精品国产| 一本大道久久a久久精品| 在线永久观看黄色视频| 最近最新免费中文字幕在线| 99久久精品国产亚洲精品| 老熟妇乱子伦视频在线观看| 久久久国产成人精品二区| 久热爱精品视频在线9| 久久精品人人爽人人爽视色| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 久热这里只有精品99| 99久久精品国产亚洲精品| 国产欧美日韩一区二区三区在线| 欧美色视频一区免费| 亚洲中文字幕日韩| 色精品久久人妻99蜜桃| 九色亚洲精品在线播放| av网站免费在线观看视频| 国产熟女xx| 精品一品国产午夜福利视频| 国产欧美日韩一区二区精品| 精品卡一卡二卡四卡免费| 美女免费视频网站| 在线观看午夜福利视频| 中文字幕高清在线视频| 在线观看免费视频网站a站| 日韩大码丰满熟妇| 看片在线看免费视频| 亚洲国产精品999在线| 久久久久国内视频| 成人精品一区二区免费| 国产精品久久久人人做人人爽| 国产麻豆成人av免费视频| 欧美日韩精品网址| 国产三级黄色录像| 日韩欧美在线二视频| 涩涩av久久男人的天堂| 国产精华一区二区三区| 欧美日韩黄片免| 国产亚洲av嫩草精品影院| 亚洲人成网站在线播放欧美日韩| 男人的好看免费观看在线视频 | 日韩大尺度精品在线看网址 | 好看av亚洲va欧美ⅴa在| 精品久久久久久久毛片微露脸| 男男h啪啪无遮挡| 国产午夜精品久久久久久| 怎么达到女性高潮| 成人免费观看视频高清| 国产亚洲精品av在线| 日韩视频一区二区在线观看| 国产精品亚洲美女久久久| 免费看美女性在线毛片视频| 亚洲最大成人中文| a级毛片在线看网站| 九色亚洲精品在线播放| 国产成人影院久久av| 一级a爱视频在线免费观看| 老鸭窝网址在线观看| 97人妻天天添夜夜摸| 亚洲国产欧美一区二区综合| 在线观看66精品国产| 欧美日韩乱码在线| 日日摸夜夜添夜夜添小说| 日韩欧美三级三区| 国产99久久九九免费精品| 久久精品aⅴ一区二区三区四区| 可以在线观看的亚洲视频| 亚洲中文字幕一区二区三区有码在线看 | 亚洲一区二区三区不卡视频| 日日干狠狠操夜夜爽| 老司机深夜福利视频在线观看| 搡老妇女老女人老熟妇| 成年版毛片免费区| 男人的好看免费观看在线视频 | 欧美精品亚洲一区二区| 中国美女看黄片| 精品少妇一区二区三区视频日本电影| 给我免费播放毛片高清在线观看| 久久久久久人人人人人| 三级毛片av免费| 久久久久亚洲av毛片大全| 国产亚洲欧美98| 久久人人精品亚洲av| 少妇的丰满在线观看| 美女大奶头视频| 成人亚洲精品av一区二区| 欧美黑人精品巨大| 国产在线精品亚洲第一网站| 国产精品日韩av在线免费观看 | a级毛片在线看网站| 精品不卡国产一区二区三区| tocl精华| 乱人伦中国视频| 国产亚洲欧美98| 一级a爱片免费观看的视频| 亚洲av电影不卡..在线观看| 国产精品久久久人人做人人爽| 91大片在线观看| 99国产精品免费福利视频| 99精品在免费线老司机午夜| 大陆偷拍与自拍| 欧美性长视频在线观看| 最近最新免费中文字幕在线| 亚洲一区二区三区色噜噜| 国产欧美日韩综合在线一区二区| 亚洲自拍偷在线| 成人亚洲精品av一区二区| 国产精品久久久人人做人人爽| 国产日韩一区二区三区精品不卡| 久久香蕉国产精品| 色综合婷婷激情| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 女性被躁到高潮视频| 色精品久久人妻99蜜桃| 成人永久免费在线观看视频| 88av欧美| 男男h啪啪无遮挡| 欧美激情高清一区二区三区| 久久久久国产精品人妻aⅴ院| 亚洲五月天丁香| 亚洲 欧美 日韩 在线 免费| bbb黄色大片| 村上凉子中文字幕在线| 国产精品 欧美亚洲| 日韩欧美三级三区| 久久久久久久久中文| 免费女性裸体啪啪无遮挡网站| 9热在线视频观看99| 午夜免费激情av| 欧美一区二区精品小视频在线| 99久久精品国产亚洲精品| 美女午夜性视频免费| www.熟女人妻精品国产| 久久精品影院6| 91在线观看av| 电影成人av| 亚洲中文字幕日韩| 国产精品秋霞免费鲁丝片| 国产成人系列免费观看| 亚洲精品国产色婷婷电影| 99热只有精品国产| 亚洲午夜理论影院| 久久亚洲真实| 99久久久亚洲精品蜜臀av| 老司机午夜十八禁免费视频| 日韩 欧美 亚洲 中文字幕| 国产精品一区二区在线不卡| 国产一区二区在线av高清观看| 午夜福利影视在线免费观看| 一级片免费观看大全| 亚洲精品国产区一区二| e午夜精品久久久久久久| 精品一品国产午夜福利视频| 中文字幕久久专区| 免费观看人在逋| 一级a爱视频在线免费观看| 欧美色视频一区免费| av中文乱码字幕在线| 老司机福利观看| 亚洲av美国av| 国产亚洲精品综合一区在线观看 | 天天添夜夜摸| 一级a爱视频在线免费观看| 久久久国产成人免费| 午夜影院日韩av| 在线播放国产精品三级| 国产黄a三级三级三级人| netflix在线观看网站| 大型av网站在线播放| 亚洲国产高清在线一区二区三 | 一卡2卡三卡四卡精品乱码亚洲| 99热只有精品国产| 女人爽到高潮嗷嗷叫在线视频| a级毛片在线看网站| 12—13女人毛片做爰片一| 国产亚洲欧美98| 精品国产美女av久久久久小说| 黄色毛片三级朝国网站| 狠狠狠狠99中文字幕| 精品国产亚洲在线| 国产亚洲欧美98| 久久天堂一区二区三区四区| 在线国产一区二区在线| 久久亚洲真实| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 中文字幕人妻熟女乱码| 色哟哟哟哟哟哟| 一级作爱视频免费观看| 每晚都被弄得嗷嗷叫到高潮| 一本久久中文字幕| 亚洲五月色婷婷综合| 又大又爽又粗| 国产精品98久久久久久宅男小说| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 男人的好看免费观看在线视频 | 热99re8久久精品国产| 亚洲 国产 在线| 午夜精品在线福利| 老汉色∧v一级毛片| 亚洲成av人片免费观看| 999精品在线视频| 中文字幕人妻熟女乱码| 男人舔女人的私密视频| 人人妻人人澡人人看| 天天躁夜夜躁狠狠躁躁| 国产麻豆69| 欧美日本亚洲视频在线播放| 中出人妻视频一区二区| 男人舔女人下体高潮全视频| 亚洲国产精品久久男人天堂| av视频免费观看在线观看| 午夜久久久久精精品| 岛国视频午夜一区免费看| 亚洲精品国产一区二区精华液| 国产高清激情床上av| 国内久久婷婷六月综合欲色啪| 欧美中文综合在线视频| 亚洲国产精品sss在线观看| 1024香蕉在线观看| 成年女人毛片免费观看观看9| 99国产极品粉嫩在线观看| 91国产中文字幕| 免费在线观看视频国产中文字幕亚洲| 天天添夜夜摸| 日韩国内少妇激情av| 国产精品1区2区在线观看.| 成人免费观看视频高清| 我的亚洲天堂| 宅男免费午夜| 国产97色在线日韩免费| 亚洲欧美日韩另类电影网站| 亚洲中文av在线| 久久影院123| 天天躁狠狠躁夜夜躁狠狠躁| 后天国语完整版免费观看| 欧美日韩精品网址| 午夜亚洲福利在线播放| 国产1区2区3区精品| 日韩欧美国产一区二区入口| 欧美性长视频在线观看| 久久精品国产亚洲av香蕉五月| tocl精华| 中文亚洲av片在线观看爽| 日本 欧美在线| 国产亚洲精品一区二区www| 他把我摸到了高潮在线观看| 国产麻豆69| 亚洲成人免费电影在线观看| 亚洲精品中文字幕一二三四区| 人妻丰满熟妇av一区二区三区| 亚洲国产毛片av蜜桃av| 国产亚洲av嫩草精品影院| 日日摸夜夜添夜夜添小说| www.熟女人妻精品国产| 久久久久久免费高清国产稀缺| 99国产精品一区二区蜜桃av| 9191精品国产免费久久| 他把我摸到了高潮在线观看| 久久影院123| 国产精品精品国产色婷婷| 免费观看精品视频网站| 亚洲精品国产精品久久久不卡| 欧美乱码精品一区二区三区| 亚洲av第一区精品v没综合| 亚洲精品一卡2卡三卡4卡5卡| 99在线视频只有这里精品首页| 99国产极品粉嫩在线观看| 中文字幕色久视频| 国产又爽黄色视频| 99久久国产精品久久久| 村上凉子中文字幕在线| 亚洲av电影不卡..在线观看| 国产精品久久久久久精品电影 | 欧美国产精品va在线观看不卡| 亚洲性夜色夜夜综合| 看黄色毛片网站| 精品免费久久久久久久清纯| 亚洲精品在线美女| 欧美色欧美亚洲另类二区 | 一本久久中文字幕| 午夜激情av网站| 国产免费男女视频| 日韩视频一区二区在线观看| 欧美国产精品va在线观看不卡| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放 | 久久香蕉精品热| 男女下面插进去视频免费观看| 久热爱精品视频在线9| 成年人黄色毛片网站| 亚洲精品在线观看二区| 99久久综合精品五月天人人| 国产私拍福利视频在线观看|