應(yīng)用于諧波測(cè)量的二次加權(quán)傅里葉變換關(guān)鍵參數(shù)分析

摘" 要： 基于準(zhǔn)同步采樣的二次加權(quán)傅里葉變換方法（下稱二次加權(quán)傅里葉變換方法）解決了可編程約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)（PJVS）應(yīng)用于諧波電壓測(cè)量中的過渡過程和非同步采樣問題，極大地提升了諧波電壓測(cè)量的準(zhǔn)確度。為使二次加權(quán)傅里葉變換方法在實(shí)際應(yīng)用中更加系統(tǒng)和完善，針對(duì)二次加權(quán)傅里葉變換的幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行了研究，包括頻率同步誤差、諧波復(fù)雜程度以及階梯電壓的臺(tái)階數(shù)和采樣點(diǎn)數(shù)，并對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響展開討論和分析，提供了測(cè)量參數(shù)設(shè)定的參考指標(biāo)，給出了測(cè)量誤差評(píng)估方法及示例，為二次加權(quán)傅里葉變換方法在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 二次加權(quán)傅里葉變換方法； 可編程約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)； 諧波測(cè)量； 非同步采樣； 關(guān)鍵參數(shù)； 誤差評(píng)估

中圖分類號(hào)： TN911.7?34； TB971" " " " " " " " " "文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A" " " " " " " " " "文章編號(hào)： 1004?373X（2024）22?0153?07

Analysis of key parameter of quadratic weighted Fourier transform

applied to harmonic measurement

Abstract： The quadratic?weighted Fourier transform method based on quasi?synchronous sampling （hereinafter referred to as quadratic?weighted Fourier transform method） solves the problems of transition process and non?synchronous sampling in the application of programmable Josephson voltage standard （PJVS） to harmonic voltage measurement. The accuracy of harmonic voltage measurement is improved greatly. In order to make the quadratic?weighted Fourier transform method more systematic and perfect in practical application， several key parameters of quadratic?weighted Fourier transform are studied， including frequency synchronization error， harmonic complexity， the number of steps and sampling points of the step voltage. The influence of measurement results is discussed and analyzed， and the reference indicators for setting measurement parameters are provided. The measurement error evaluation method and an example are given， which provides a theoretical basis for the application of the quadratic?weighted Fourier transform method in the actual measurement.

Keywords： quadratic?weighted Fourier transform method; programmable Josephson voltage standard; harmonic measurement; non?asynchronous sampling; key parameter; error analysis

0" 引" 言

在加快規(guī)劃建設(shè)新型能源體系，構(gòu)建新型電力系統(tǒng)的背景下，電力系統(tǒng)中的諧波問題變得愈發(fā)嚴(yán)重，這為電能質(zhì)量控制與諧波測(cè)量帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)，同時(shí)也對(duì)諧波電壓的溯源提出了更高的要求[1?3]。

因可編程約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)（Programmable Josephson Voltage Standard， PJVS）的高準(zhǔn)確度和成熟應(yīng)用[4?5]，中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院在完成前期研究[6?8]后，已開展了PJVS應(yīng)用于諧波電壓測(cè)量的研究[9?10]，以期實(shí)現(xiàn)諧波電壓標(biāo)準(zhǔn)的量子化溯源。在實(shí)際應(yīng)用中，存在兩個(gè)重要問題對(duì)諧波電壓測(cè)量的準(zhǔn)確度造成了不可忽視的影響：其一是由于寄生參數(shù)的存在，PJVS產(chǎn)生的階梯波形在臺(tái)階切換時(shí)存在過渡過程[11?12]；其二是受現(xiàn)實(shí)條件限制，如數(shù)字信號(hào)發(fā)生器（DDS）和模數(shù)轉(zhuǎn)換器（ADC）等芯片位數(shù)有限以及基波頻率的波動(dòng)，理想的同步采樣無(wú)法達(dá)成，將導(dǎo)致非同步采樣問題[13?15]。

為解決過渡過程和非同步采樣問題，二次加權(quán)傅里葉變換方法[16]被提出。該方法通過對(duì)差分采樣獲得的初始信號(hào)進(jìn)行兩次不同的加權(quán)后，進(jìn)入FFT處理，再經(jīng)過兩次分步修正，既克服了過渡過程波動(dòng)點(diǎn)的影響，又對(duì)非同步采樣引入的誤差做了有效補(bǔ)償，極大地提高了諧波電壓測(cè)量準(zhǔn)確度。本文在二次加權(quán)傅里葉變換方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步針對(duì)該方法的誤差評(píng)估進(jìn)行分析，給出了誤差評(píng)估方法和示例，同時(shí)對(duì)影響二次加權(quán)傅里葉變換方法測(cè)量結(jié)果的幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，為實(shí)際應(yīng)用中參數(shù)選擇提供理論依據(jù)。

1" 二次加權(quán)傅里葉變換方法概述

二次加權(quán)傅里葉變換方法以傅里葉變換的矩陣形式[9]和準(zhǔn)同步采樣方法[17?19]為基礎(chǔ)。該方法對(duì)準(zhǔn)同步采樣方法改進(jìn)后，將其與加權(quán)傅里葉變換方法結(jié)合，通過對(duì)原始差分采樣信號(hào)進(jìn)行兩次加權(quán)操作和分步修正，同時(shí)解決了過渡過程和非同步采樣問題。二次加權(quán)傅里葉變換實(shí)現(xiàn)流程如圖1所示。

二次加權(quán)傅里葉變換方法由過渡過程位置確定0amp;1加權(quán)矩陣P1，具體確定方式為：將處于過渡過程位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)權(quán)重置0，處于平穩(wěn)臺(tái)階位置的數(shù)據(jù)點(diǎn)不變，權(quán)重置1；由改進(jìn)后的準(zhǔn)同步采樣方法確定準(zhǔn)同步加權(quán)矩陣P2，該加權(quán)矩陣的具體元素受采樣信號(hào)長(zhǎng)度影響。

如圖1所示，在二次加權(quán)傅里葉變換方法中，將經(jīng)過兩次加權(quán)的信號(hào)Y2分解為Y'和P1相乘，先提取出目標(biāo)信號(hào)Y'，其中Y'=Y·P2。通過這樣的操作先對(duì)0amp;1加權(quán)矩陣P1引入的信號(hào)畸變進(jìn)行修正，消除過渡過程的影響。修正公式如下：

[C'=C·D]" " " " " " " " （1）

式中：C'為Y'的正余弦系數(shù)矩陣；C為Y2經(jīng)過FFT計(jì)算所得到的正余弦系數(shù)矩陣；D為由P1確定的修正矩陣。[D]計(jì)算公式如下：

[D=（TP1F）-1]" " " " " " " （2）

式中：T為時(shí)間離散矩陣；F為離散傅里葉變換矩陣。

完成第一步修正后，再對(duì)信號(hào)Y'中所含準(zhǔn)同步加權(quán)矩陣P2進(jìn)行計(jì)算，補(bǔ)償非同步采樣引入的測(cè)量誤差。具體修正公式為：

式中：Am和ρm分別為第m次諧波的幅值和相角；a'和b'為C'中所含各次諧波的正余弦分量；Ymm和α均為對(duì)改進(jìn)后的準(zhǔn)同步采樣計(jì)算后所得修正參數(shù)；S為P2中各元素的和。

至此，二次加權(quán)和分步修正操作均已完成，可獲得準(zhǔn)確的諧波電壓測(cè)量結(jié)果[16]。

2" 二次加權(quán)傅里葉變換方法誤差分析

準(zhǔn)同步采樣方法[17?18]最早由東南大學(xué)的戴先中教授提出，最初應(yīng)用在非正弦功率測(cè)量中。該方法能夠在同步偏差不是很大的情況下，通過增加采樣周期數(shù)并使用一種多重平均的思想，來(lái)修正非同步采樣帶來(lái)的誤差。首先對(duì)準(zhǔn)同步采樣的誤差進(jìn)行分析。

2.1" 準(zhǔn)同步采樣算法誤差評(píng)估

以電壓信號(hào)y為例，公式如下：

[y（t）=Amsin（mt+φm）] （4）

式中：m為諧波次數(shù)；Am為諧波對(duì)應(yīng)幅值；φm為諧波對(duì)應(yīng)相角；t為以基波角頻率ω和采樣間隔為基礎(chǔ)所計(jì)算的相角，其取值范圍為[t0，t0+n（2π+Δ）]，Δ為同步誤差。準(zhǔn)同步采樣定義的遞推公式如下所示：

式中ρt為選擇復(fù)化求積公式對(duì)應(yīng)的權(quán)值系數(shù)。若將式（4）代入式（5）的遞推公式，可得：

式中I表示算式的實(shí)部。在非同步采樣下，即存在同步偏差時(shí)，設(shè)周期同步偏差為TΔ，L為采樣點(diǎn)數(shù)，則采樣時(shí)間序列t可寫為t=[t0，t0+（2π+TΔ[）L]，t0+2（2π+TΔ[）L]，…，t0+（2π+TΔ）]。以采用復(fù)化梯形求積公式為例，且滿足m（2π+TΔ[）L]≠2kπ（k為正整數(shù)）時(shí)，可得F1的推導(dǎo)式為：

顯然，式中：

考察式（8）可知，[γm]是m、L和TΔ的函數(shù)，與采樣的起始位置t0無(wú)關(guān)，繼續(xù)按照式（5）方式遞推n次（可理解為共采樣n個(gè)周期），易得：

[Fn=γnmfm（t0+nTΔ2）] （9）

式中[γnm]表示[γm]的n次方。當(dāng)n足夠大的時(shí)候就能使得Fn很接近y（t）的平均值。

在實(shí)際使用準(zhǔn)同步采樣方法時(shí)，特別是推廣到諧波測(cè)量分析中后，筆者希望采用較少的遞推次數(shù)n來(lái)獲得理想的結(jié)果，即在滿足目標(biāo)誤差大小的前提下，選擇盡可能小的n，這在減少需要采集的信號(hào)點(diǎn)數(shù)的同時(shí)也減輕了計(jì)算的工作量。因此，對(duì)使用準(zhǔn)同步方法后的誤差大小估計(jì)顯得尤為重要。

經(jīng)推導(dǎo)，在滿足以下條件時(shí)：

有[γmlt;ξ]成立，則[γm]可由ξ估計(jì)。ξ的計(jì)算公式為：

式中：f為理想基波頻率；fr為實(shí)際的基波頻率。準(zhǔn)同步采樣方法的誤差Δ的估計(jì)公式表示如下：

[Δ=γmn≈ξn] （12）

但是將準(zhǔn)同步方法推廣到諧波測(cè)量分析中后，使用式（12）中給出的誤差估計(jì)公式[γmn]來(lái)進(jìn)行估計(jì)將不夠準(zhǔn)確，估計(jì)的誤差大小往往比實(shí)際測(cè)量結(jié)果高數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)。當(dāng)然，這并不代表實(shí)際測(cè)量結(jié)果的誤差大小不理想，只是在計(jì)算諧波參數(shù)時(shí)忽略了一些小量，這些小量未進(jìn)入計(jì)算結(jié)果，這樣的做法也是合理的。

在準(zhǔn)同步采樣的諧波分析方法中，計(jì)算傅里葉變換后的各次諧波的正余弦系數(shù)時(shí)，因同步偏差的存在，使得欲求的分量前多了衰減因子Ymm；同時(shí)，在欲求的分量之外，還多了許多其他不需要的分量，這些分量之前也伴隨著衰減因子[Y'mm]、YmL和YLm。

令L為每周期采樣點(diǎn)數(shù)，ωΔ為角頻率同步偏差，ωL=2πf，K為最高次諧波次數(shù)。在滿足以下條件時(shí)：

[γmm]將遠(yuǎn)大于其他3個(gè)衰減因子[19]。一般[γmm]會(huì)比其他3個(gè)衰減因子高數(shù)個(gè)數(shù)量級(jí)。

因此，在計(jì)算幅值等參量時(shí)，只取主衰減因子和其分量進(jìn)入計(jì)算，舍棄其他小值。這也解釋了為何在準(zhǔn)同步采樣應(yīng)用到諧波測(cè)量分析時(shí)，式（12）的誤差大小估計(jì)會(huì)不準(zhǔn)確，若使用[γmn]來(lái)進(jìn)行誤差大小的估計(jì)，則需要將舍棄的其他3個(gè)衰減因子考慮進(jìn)去，才能獲得較為準(zhǔn)確的誤差估計(jì)。

2.2" 二次加權(quán)傅里葉變換方法誤差評(píng)估

在二次加權(quán)傅里葉變換中，為使準(zhǔn)同步采樣方法能與基于PJVS的諧波電壓測(cè)量系統(tǒng)相結(jié)合，對(duì)準(zhǔn)同步采樣做了改進(jìn)。即將原先的nL+1點(diǎn)采樣改為nL點(diǎn)，每次遞推點(diǎn)數(shù)也從L+1點(diǎn)改為L(zhǎng)點(diǎn)，并給出了新的修正系數(shù)以及參量修正公式。這保證了分配到階梯電壓信號(hào)中每個(gè)臺(tái)階上的采樣點(diǎn)數(shù)為整數(shù)，也保證了進(jìn)入FFT計(jì)算的信號(hào)為整數(shù)個(gè)周期。這樣就確保了二次加權(quán)傅里葉變換方法的準(zhǔn)確性。

在這樣的改動(dòng)下，并未脫離準(zhǔn)同步采樣算法的多重平均思想和其遞推方式的理論框架。若不考慮一次加權(quán)中對(duì)臺(tái)階上波動(dòng)點(diǎn)的加權(quán)帶來(lái)的誤差，改進(jìn)后的準(zhǔn)同步采樣方法仍舊能夠采用式（12）給出的估計(jì)式來(lái)進(jìn)行誤差大小的估計(jì)。

從式（8）中已經(jīng)獲得這樣一個(gè)信息，即γm僅與m、L和TΔ有關(guān)，而m和L都為可定參數(shù)；同時(shí)，同步誤差是帶來(lái)測(cè)量誤差的根源，因此在進(jìn)行算法的誤差估計(jì)時(shí)，應(yīng)著重討論TΔ。

進(jìn)一步對(duì)TΔ進(jìn)行分析，可得TΔ=2π[fΔf]，其中fΔ為實(shí)際基波頻率與理想基波頻率的差，稱為頻率同步誤差，fΔ=fr-f。于是，可以得出這樣的結(jié)論：在非同步采樣中，頻率同步誤差是引入最終測(cè)量誤差的源頭。

考察γm的估計(jì)式，對(duì)其化簡(jiǎn)后可得：

[ξ=frf-1=fΔf] （14）

結(jié)合式（12）和式（14）易得：頻率同步偏差[fΔ]的增大會(huì)引起周期同步偏差TΔ的增大，最終導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度降低。

經(jīng)研究分析，使用ξn來(lái)代替[γmn]進(jìn)行誤差的估計(jì)更加方便。建議的做法是：以ξn估計(jì)出基波幅值的誤差大小，高次諧波的幅值誤差在基波基礎(chǔ)上降低1～3個(gè)數(shù)量級(jí)（在60次諧波以內(nèi)）；頻率誤差和相角誤差相比幅值誤差稍低3～5個(gè)數(shù)量級(jí)。按此方式可以獲得較為準(zhǔn)確的誤差大小估計(jì)。

2.3" 誤差評(píng)估示例

結(jié)合上述誤差評(píng)估方法，下面對(duì)任意參數(shù)設(shè)置下諧波測(cè)量幅值誤差進(jìn)行計(jì)算及仿真分析對(duì)比。

設(shè)單次諧波電壓信號(hào)模型為：

[y=Amsin（mωt+φm）] （15）

式中：m為諧波次數(shù)；Am為各次諧波幅值；ω為基波角頻率；φm為各次諧波相角。

對(duì)式（15）所示單次諧波電壓信號(hào)模型設(shè)置5組實(shí)驗(yàn)，諧波次數(shù)m分別為1（基波）、5、10、30和50，其具體參數(shù)設(shè)置如表1所示。

設(shè)置理想基波頻率f為50 Hz，實(shí)際基波頻率fr為50.1 Hz，則頻率同步偏差fΔ為0.1 Hz；設(shè)置每周期采樣點(diǎn)數(shù)L為2 000點(diǎn)，采樣頻率fs為fL，量子階梯電壓信號(hào)每周期臺(tái)階數(shù)N為40個(gè)，則每個(gè)臺(tái)階上的采樣點(diǎn)數(shù)（M=[LN]）為50點(diǎn)；取處于臺(tái)階過渡過程中的波動(dòng)點(diǎn)位置為臺(tái)階開始和結(jié)束的12點(diǎn)，即S=13，E=38。在這樣參數(shù)設(shè)置下，可計(jì)算得到周期同步偏差TΔ和ξ的值為：

以諧波測(cè)量的絕對(duì)誤差水平達(dá)到1E-9量級(jí)為目標(biāo)，將迭代次數(shù)設(shè)置為n=4，此時(shí)幅值誤差Δ≈ξn=0.0024=1.6E-11。并在此條件下與上述理論計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

由仿真結(jié)果可見，5組單次諧波測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，各次諧波的幅值絕對(duì)誤差均已達(dá)到1.5E-10及以上水平，與計(jì)算結(jié)果相符。這表明上述誤差水平的估計(jì)方式是合理且準(zhǔn)確的。此外，從表2還可以看出，基于二次加權(quán)傅里葉變換的諧波測(cè)量頻率誤差和相角誤差相較于幅值誤差分別相差3～5個(gè)量級(jí)。

3" 系統(tǒng)參數(shù)分析

3.1" 頻率同步誤差

頻率同步誤差fΔ是導(dǎo)致周期同步誤差出現(xiàn)、差分信號(hào)越來(lái)越大和頻譜泄露等問題的根源，這些問題最后都會(huì)在測(cè)量結(jié)果中引入不小的誤差。在理論層面，可以知道準(zhǔn)同步采樣方法的測(cè)量準(zhǔn)確度受fΔ大小的限制，其具體關(guān)系大致可描述為fΔ越大，測(cè)量誤差越大。

為了清晰地展現(xiàn)fΔ與測(cè)量結(jié)果的關(guān)系，選取表1中基波為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，其余實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置與2.3節(jié)中仿真實(shí)驗(yàn)保持一致，分別做fΔ為0.01、0.05、0.1、0.2、0.3和0.5（單位為Hz）時(shí)的仿真實(shí)驗(yàn)。6組實(shí)驗(yàn)中測(cè)量的絕對(duì)誤差隨fΔ變化的趨勢(shì)如圖2所示。

由圖2可見，以基波為實(shí)驗(yàn)對(duì)象時(shí)，3個(gè)參量的測(cè)量誤差走勢(shì)符合預(yù)期，即它們均隨fΔ增大而增大，但即使在極端情況下（fΔ=0.5 Hz），幅值絕對(duì)誤差仍有1E-10以上水平。這意味著在實(shí)際情況下，二次加權(quán)傅里葉變換方法能夠滿足一般的測(cè)量需要，且能獲得較為理想的準(zhǔn)確度。

上述實(shí)驗(yàn)中其余參數(shù)設(shè)置與2.3節(jié)中仿真實(shí)驗(yàn)保持一致，迭代次數(shù)n設(shè)置為4，并不需要過多迭代即可滿足測(cè)量要求，這保證了二次加權(quán)傅里葉變換的易用性。

3.2" 諧波自身復(fù)雜程度

在上述討論中，都是針對(duì)單次諧波進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)測(cè)量和分析，在實(shí)際情況下，諧波電壓信號(hào)常常更為復(fù)雜，一般為多次諧波雜糅疊加而成。泄露會(huì)對(duì)其余諧波分量造成影響，而影響測(cè)量的準(zhǔn)確度。

不考慮直流分量，將式（15）單次諧波電壓信號(hào)模型擴(kuò)展為式（17）所示的一般諧波電壓形式。

構(gòu)造一個(gè)特征信號(hào)，它包括從1～60次諧波的分量，特征信號(hào)幅值比例見表3，其中幅值比例Rm=[AmA1]。

表3給出的各次諧波幅值比例并不是隨意確定的，它遵循著一般各種被測(cè)諧波信號(hào)的特點(diǎn)和規(guī)律，主要包括如下幾個(gè)方面：

1） 基波占主要的成分，任何次數(shù)的諧波都不大于基波的幅值（這也符合實(shí)際情況）；

2） 諧波一般按階次反比例下降；

3） 15次以后的諧波分量都很小。

為了方便具體分析，結(jié)合以上的歸納，本文對(duì)諧波電壓信號(hào)做如下的約定：

式中β是一個(gè)無(wú)量綱的系數(shù)。這樣的約定表明，2～10次諧波允許與基波有相近的幅值，10次以后允許按階次反比例下降。這是一個(gè)十分寬松的約定，且基本上目前所涉及的所有諧波波形都已包括在內(nèi)。以構(gòu)造的特征信號(hào)為對(duì)象進(jìn)行測(cè)量，即可分析二次加權(quán)傅里葉變換方法對(duì)諧波電壓信號(hào)一般和極端情況下的測(cè)量能力極限。

在討論諧波測(cè)量分析誤差時(shí)，如果以其本身的幅值作為參考，往往由于本身很小而使相對(duì)誤差較大，這個(gè)概念就不能正確反映問題的本質(zhì)。在實(shí)際分析時(shí)，參考國(guó)內(nèi)外通行的方法，即以基波幅值為參考來(lái)計(jì)算相對(duì)誤差。

以幅值為例，記絕對(duì)誤差[ΔAm]為：

[ΔAm=AEm-Am] （19）

式中：[AEm]為實(shí)驗(yàn)測(cè)量值；[Am]為真實(shí)值。

相對(duì)誤差[δAm]為：

[δAm=ΔAmAm] （20）

為了分析方便，本文把基波幅值作為參考，定義引用誤差[ΩAm]，其計(jì)算式為：

[ΩAm=ΔAmA1] （21）

以A1=1 V為例，取特征信號(hào)各次諧波的相角為0°，特征信號(hào)的波形如圖3所示。

圖4為各次諧波測(cè)量幅值的引用誤差。

使用二次加權(quán)傅里葉變換方法對(duì)特征信號(hào)進(jìn)行測(cè)量，設(shè)置與實(shí)際情況更加貼近的fΔ，令fΔ=0.05 Hz，n取4和6，其余實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置仍選取與2.3節(jié)中仿真實(shí)驗(yàn)一致。因A1=1 V，故引用誤差ΩAm等于絕對(duì)誤差ΔAm。從圖4中可以看出：在n取4時(shí)，各次諧波幅值引用誤差均小于5E-7；在n取6時(shí)，各次諧波幅值引用誤差均小于1.5E-9。

從實(shí)驗(yàn)中可以得出這樣的結(jié)論：即使待測(cè)信號(hào)為特征信號(hào)這樣多次諧波疊加的信號(hào)時(shí)，二次加權(quán)傅里葉變換方法的測(cè)量準(zhǔn)確度雖在高次諧波有較大的衰減，但整體上仍舊能夠得出較為理想的結(jié)果。此外，實(shí)驗(yàn)中n取4或6，這并不是一個(gè)苛刻或者難以達(dá)成的條件，適當(dāng)?shù)卦黾硬蓸又芷跀?shù)可以有效地提高測(cè)量準(zhǔn)確度。

3.3" 臺(tái)階個(gè)數(shù)與采樣點(diǎn)數(shù)

使用PJVS進(jìn)行電壓測(cè)量，其關(guān)鍵點(diǎn)在于由PJVS產(chǎn)生相應(yīng)的階梯電壓信號(hào)，對(duì)待測(cè)諧波電壓信號(hào)進(jìn)行差分采樣[20]。差分采樣是指測(cè)量待測(cè)波形與階梯波形的差值，公式如下：

[d（t）=y（t）-z（t）] （22）

式中：[d（t）]為差分信號(hào)；[y（t）]為待測(cè)電壓信號(hào)；[z（t）]為階梯電壓信號(hào)。將被測(cè)量中的主要部分由已知的同種量代替，此處就是將穩(wěn)定且準(zhǔn)確度高的量子階梯臺(tái)階值代替被測(cè)信號(hào)的主要部分，只測(cè)量二者的差，這是在計(jì)量領(lǐng)域常用的一種測(cè)量方法。減小差分信號(hào)的幅值可以獲得更加準(zhǔn)確的結(jié)果，因此如何減小差分信號(hào)的幅值成為關(guān)鍵。需要注意的是，這里的幅值大小指的是絕對(duì)值大小。

假設(shè)單周期采樣點(diǎn)數(shù)L確定，影響差分信號(hào)的主要參數(shù)有單周期階梯電壓臺(tái)階數(shù)N和每個(gè)臺(tái)階上的采樣點(diǎn)數(shù)M，其中M=[LN]。這表示N一旦確定，M也將隨之確定。

不考慮非同步采樣，圖5a）和圖5b）給出了N分別為20和40時(shí)的波形貼合程度和差分波形幅值大小的示意?？梢钥闯觯?dāng)N更大時(shí)，階梯波形與待測(cè)波形更加貼合，差分波形幅值也明顯減小。

當(dāng)然，這并不意味著N越大就越好。為克服過渡過程波動(dòng)點(diǎn)的影響，二次加權(quán)傅里葉變換的第一次加權(quán)將處于臺(tái)階上過渡過程的波動(dòng)點(diǎn)賦權(quán)值0，其他點(diǎn)賦權(quán)值1。且根據(jù)已有研究可知，處于過渡過程的波動(dòng)點(diǎn)數(shù)量并不是與M成比例的，而是一個(gè)固定值[21]。以S和E分別表示一個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)和最后一個(gè)賦權(quán)值1的數(shù)據(jù)點(diǎn)位置，則臺(tái)階上未賦權(quán)值為0的點(diǎn)的總數(shù)量為E-S+1。在每周期采樣點(diǎn)數(shù)L確定的情況下，因N的增大必定會(huì)帶動(dòng)M的減小，則E-S+1的值也隨之減少，這可以理解為整個(gè)周期內(nèi)可用點(diǎn)的數(shù)量將減少。因此，在選擇臺(tái)階數(shù)時(shí)，需要綜合考慮以上因素。

綜上所述，為獲得理想的測(cè)量結(jié)果，在保證參與計(jì)算的采樣點(diǎn)數(shù)能滿足高頻諧波準(zhǔn)確測(cè)量的前提下，差分信號(hào)幅值應(yīng)控制在較小范圍內(nèi)，以消除采樣非線性誤差的影響，根據(jù)此原則選擇合適的臺(tái)階參數(shù)N。

4" 結(jié)" 語(yǔ)

文中對(duì)二次加權(quán)傅里葉變換方法做了簡(jiǎn)要介紹，并給出了該方法誤差評(píng)估的方法和示例。此外，還對(duì)頻率同步誤差、諧波復(fù)雜程度以及階梯電壓的臺(tái)階數(shù)和采樣點(diǎn)數(shù)這幾個(gè)關(guān)鍵參數(shù)做了分析和研究，旨在通過上述工作，使得二次加權(quán)傅里葉變換方法更加完善且易于實(shí)際使用。同時(shí)，研究表明二次加權(quán)傅里葉變換方法在一般的應(yīng)用場(chǎng)景中都能夠滿足諧波測(cè)量需要。

通過文中對(duì)二次加權(quán)傅里葉變換方法更進(jìn)一步的探討，驗(yàn)證了PJVS測(cè)量諧波的可行性和普遍適用性，為實(shí)際測(cè)量的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

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