應(yīng)用投影法求解n次方反比場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的可行性討論

摘"要：投影法是一種等效求解電場(chǎng)強(qiáng)度的簡(jiǎn)捷算法。本文嘗試應(yīng)用投影法對(duì)n次方反比場(chǎng)中的場(chǎng)源在半圓形分布、無(wú)限長(zhǎng)直線分布、半球面分布與無(wú)限大平面分布下的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算展開(kāi)討論，得到了更具普遍意義的結(jié)論。

關(guān)鍵詞：投影法；n次方反比場(chǎng)；場(chǎng)源分布；場(chǎng)強(qiáng)；思想方法

1"問(wèn)題緣起

陳澤南與陳輝老師的《投影法求解電場(chǎng)強(qiáng)度在競(jìng)賽中的應(yīng)用》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《投文》）一文中提出了投影法，即將某一帶電體上特定分布的電荷在某處產(chǎn)生電場(chǎng)與向某個(gè)方向投影后另一種分布的電荷產(chǎn)生電場(chǎng)等效來(lái)求解電場(chǎng)強(qiáng)度的方法。［1］運(yùn)用該方法對(duì)場(chǎng)源電荷在半圓形分布、無(wú)限長(zhǎng)直線分布、半球面分布與無(wú)限大平面分布這四種特殊分布下的電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行了簡(jiǎn)捷計(jì)算，避免了復(fù)雜的微積分運(yùn)算。場(chǎng)源電荷在四種特殊分布下的電場(chǎng)強(qiáng)度如表1所示。

電場(chǎng)是一種二次方反比場(chǎng)，即場(chǎng)強(qiáng)大小與其到場(chǎng)源點(diǎn)的距離平方成反比。那么，投影法是否適用于任意的n次方反比場(chǎng)呢？本文將用投影法對(duì)n次方反比場(chǎng)中的場(chǎng)源在上述四種分布下的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算展開(kāi)討論。

2"問(wèn)題討論

為方便討論，筆者將n次方反比場(chǎng)的場(chǎng)源記為Q，為靜止點(diǎn)源；并認(rèn)為該場(chǎng)源所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向與正電荷類(lèi)似，即從場(chǎng)源出發(fā)沿徑向指向無(wú)窮遠(yuǎn)處。場(chǎng)強(qiáng)符號(hào)為E，且E＝KQrn，其中K為比例系數(shù)。

2.1"半圓形分布

如圖1所示，場(chǎng)源呈半圓形均勻分布，線密度為η，半徑為r。在圓弧上取一弧元rΔθ，其所帶場(chǎng)源為ηrΔθ，該弧元對(duì)應(yīng)的半徑與豎直方向成θ角。該弧元在圓心O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)Ei＝KηrΔθrn，由對(duì)稱(chēng)性可知該半圓弧在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

EO＝Eicosθ＝KηrnrΔθcosθ，

其中的rΔθcosθ可以看成弧元在直徑上的投影，則rΔθcosθ＝2r。

因此，EO＝2Kηrrn＝2Kηrn－1，方向沿O′O方向。呈半圓形分布的場(chǎng)源在圓心處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)可以等效成沿半圓弧直徑分布的場(chǎng)源η·2r集中于位置O′時(shí)在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，這個(gè)沿半圓弧直徑分布的場(chǎng)源是原場(chǎng)源在垂直對(duì)稱(chēng)軸方向上的投影，這一結(jié)論適用于任意的n次方反比場(chǎng)。

2.2"無(wú)限長(zhǎng)直線分布

如圖2所示，場(chǎng)源沿?zé)o限長(zhǎng)直線均勻分布，線密度為η，場(chǎng)點(diǎn)O到直線的垂直距離為r。在直線上取一線元，其長(zhǎng)為Δl0，所帶場(chǎng)源為ηΔl0，該線元與O點(diǎn)的連線與豎直方向成θ角。由幾何關(guān)系知Δl1＝Δl0cosθ，Δθ＝Δl2r＝Δl1rcosθ，可得Δl0＝rΔθcos2θ，該線元在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為Ei＝KηΔl0rcosθn＝KηrΔθrcosθncos2θ＝KηrΔθcosn－2θrn，由對(duì)稱(chēng)性可知場(chǎng)源在O點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)EO＝Eicosθ＝KηrnrΔθcosn－1θ。對(duì)n取不同值的情況討論如下。

討論1：n＝1，EO＝KηrrΔθ＝KηΔθ，考慮到場(chǎng)源沿?zé)o限長(zhǎng)直線均勻分布，則有Δθ＝π，則EO＝Kηπ，方向沿O′O方向。n＝1時(shí)，無(wú)限長(zhǎng)直線分布場(chǎng)源在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)可以等效成半徑為r的半圓弧所具有的場(chǎng)源ηπr集中于對(duì)稱(chēng)軸上離點(diǎn)O為r的位置O′時(shí)在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。這個(gè)沿半圓弧的場(chǎng)源是原場(chǎng)源向O點(diǎn)的投影。

討論2：n＝2，EO＝Kηr2rΔθcosθ，其中rΔθcosθ＝Δl2cosθ＝Δl3，可知，有Δl3＝2r，則EO＝2Kηr，這與《投文》中結(jié)果相符。

討論3：n≥3，EO＝KηrnrΔθcosn－1θ＝KηrnΔl3cosn－2θ，顯然此時(shí)式中Δl3cosn－2θ一項(xiàng)已不能再通過(guò)投影法進(jìn)行簡(jiǎn)捷計(jì)算，即此時(shí)利用投影法已不能簡(jiǎn)化求解無(wú)限長(zhǎng)直線形分布場(chǎng)源的場(chǎng)強(qiáng)。

2.3"半球面分布

如圖3所示，場(chǎng)源呈半球面均勻分布，面密度為σ，半球面半徑為r。在半球面上取一面元，其面積為ΔS，所帶場(chǎng)源為σΔS，該面元與O的連線與豎直方向成θ角。該面元在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為Ei＝KσΔSrn，由對(duì)稱(chēng)性可知場(chǎng)源在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EO＝Eicosθ＝KσΔSrncosθ＝KσrnΔScosθ，

其中ΔScosθ可以看成面元ΔS在截面上的投影ΔS′。

因此EO＝KσrnΔS′＝Kσπr2rn＝Kσπrn－2，方向沿O′O方向。半球面上均勻分布的場(chǎng)源在圓心產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等效成圓面所具有的場(chǎng)源σπr2集中于對(duì)稱(chēng)軸上位置O′時(shí)在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，這個(gè)沿圓面分布的場(chǎng)源是原場(chǎng)源在半球截面上的投影，這一結(jié)論適用于任意的n次方反比場(chǎng)。

2.4"無(wú)限大平面分布

如圖4所示，場(chǎng)源呈無(wú)限大平面均勻分布，面密度為σ。在平面上取一面元ΔS0，所帶場(chǎng)源為σΔS0，其中ΔS1是ΔS0在與O點(diǎn)連線垂直方向的投影，ΔS2是半徑為r的半球面和ΔS1與O點(diǎn)所構(gòu)成的圓錐體相交的面元，ΔS3是ΔS2在半球形上底面的投影。該面元ΔS0與O點(diǎn)的連線與豎直方向成θ角。該面元Δd0在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為Ei＝KσΔS0dn，又d＝rcosθ，Ei＝KσcosnθrnΔS0，由對(duì)稱(chēng)性可得無(wú)窮大平面上均勻分布的場(chǎng)源在O點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)EO＝Eicosθ＝KσrnΔS0cosn＋1θ。現(xiàn)對(duì)n取不同值的情況討論如下。

討論1：n＝1，EO＝KσrΔS0cos2θ，易知ΔS1＝ΔS0cosθ。因此，EO＝KσrΔS1cosθ，其中ΔS1cosθ一項(xiàng)無(wú)可供簡(jiǎn)化計(jì)算的幾何意義，即無(wú)法通過(guò)投影法簡(jiǎn)化計(jì)算此時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)。

討論2：n＝2，EO＝Kσr2ΔS0cos3θ，由幾何關(guān)系知ΔS1＝ΔS0cosθ，ΔS2r2＝ΔS1d2，則ΔS2＝ΔS1r2d2＝ΔS1cos2θ，則ΔS2＝ΔS0cos3θ。因此，EO＝Kσr2ΔS2＝2Kσπr2r2＝2Kσπ，方向沿O′O方向。n＝2時(shí)，呈無(wú)限大平面分布的場(chǎng)源在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，可以等效成沿半徑為r的半球面分布的場(chǎng)源2σπr2集中在對(duì)稱(chēng)軸上離O點(diǎn)距離為r的位置O′時(shí)在圓心O處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。這個(gè)沿半球面分布的場(chǎng)源是原場(chǎng)源向O點(diǎn)的投影。

討論3：n＝3，EO＝Kσr3ΔS0cos4θ，由上可知ΔS2＝ΔS0cos3θ，又有ΔS3＝ΔS2cosθ，則ΔS3＝ΔS0cos4θ。因此，EO＝Kσr3ΔS3＝Kσπr2r3＝Kσπr，方向沿O′O方向。n＝3時(shí)，呈無(wú)限大平面分布的場(chǎng)源在O點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，可以等效成沿半徑為r的圓面分布的場(chǎng)源σπr2集中在對(duì)稱(chēng)軸上離O點(diǎn)距離為r的位置O′時(shí)在O點(diǎn)處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)。這個(gè)沿圓面分布的場(chǎng)源是原場(chǎng)源先向O點(diǎn)投影成的半徑為r的半球面場(chǎng)源，再向底面投影式的。

討論4：n≥4，由討論3得EO＝KσrnΔS3cosn－3θ，顯然此時(shí)式中的ΔS3cosn－3θ一項(xiàng)已經(jīng)無(wú)法再通過(guò)投影法進(jìn)行簡(jiǎn)捷計(jì)算，即此時(shí)投影法已不能簡(jiǎn)化求解呈無(wú)限大平面分布的場(chǎng)源的場(chǎng)強(qiáng)。

3"結(jié)語(yǔ)

本文在場(chǎng)源的四種特殊分布下，對(duì)應(yīng)用投影法求解n次方反比場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)的可行性進(jìn)行了討論，得到了如表2所示的結(jié)論，可知投影法的可行性確與n的取值有關(guān)。η是場(chǎng)源Q的線密度，σ是場(chǎng)源Q的面密度?！锻段摹分械慕Y(jié)論是本文結(jié)論中n＝2時(shí)的一種情況，此時(shí)的場(chǎng)源Q便是電荷，比例常數(shù)K為靜電力常量，因此本文的結(jié)論較《投文》更具普遍意義。通過(guò)對(duì)以上幾種模型的討論與思考，能幫助學(xué)生從更高的角度掌握投影法求解場(chǎng)強(qiáng)問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，并深刻體會(huì)等效的物理思想方法，進(jìn)一步發(fā)展其以數(shù)形結(jié)合分析物理問(wèn)題的能力。

參考文獻(xiàn)

［1］陳澤南，陳輝.投影法求解電場(chǎng)強(qiáng)度在競(jìng)賽中的應(yīng)用［J］.物理教師，2019，40（7）：92"-94．