例析電磁感應(yīng)中的不含容式單棒導(dǎo)軌問(wèn)題

摘要：不含電容器的單棒導(dǎo)軌電磁感應(yīng)問(wèn)題被視為電磁感應(yīng)、電路理論、力學(xué)原理和能量轉(zhuǎn)換的綜合應(yīng)用，在高中物理教學(xué)中具有深遠(yuǎn)意義.將單棒導(dǎo)軌問(wèn)題劃分為阻尼型、電動(dòng)型和發(fā)電型三種類(lèi)型，并分別討論導(dǎo)體棒的減速運(yùn)動(dòng)、加速運(yùn)動(dòng)和勻速運(yùn)動(dòng)情況.通過(guò)具體例題分析，為學(xué)生提供了解決這類(lèi)問(wèn)題的思路和方法.

關(guān)鍵詞：電磁感應(yīng)；單棒導(dǎo)軌；感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；安培力；能量轉(zhuǎn)換

中圖分類(lèi)號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2024）28-0105-03

電磁感應(yīng)中的單棒導(dǎo)軌問(wèn)題是對(duì)電磁感應(yīng)、電路理論、力學(xué)原理以及能量轉(zhuǎn)換的綜合應(yīng)用，常常作為物理高考中的難點(diǎn)題目.這類(lèi)問(wèn)題的核心在于能量形式的轉(zhuǎn)換，解決時(shí)需從能量和功的角度出發(fā)，理解導(dǎo)體棒在切割磁感線過(guò)程中能量轉(zhuǎn)換的機(jī)制.本文針對(duì)電磁感應(yīng)中不含電容器的單棒導(dǎo)軌問(wèn)題，將其分為以下三種類(lèi)型.

1阻尼式——a逐漸減小的減速運(yùn)動(dòng)

在阻尼型問(wèn)題中，導(dǎo)體棒經(jīng)歷一個(gè)加速度逐漸減少的減速過(guò)程，最終達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài).導(dǎo)體棒在電路中充當(dāng)電源，安培力作為阻力與速度成正比.

例1如圖1所示，MN和PQ是兩根平行放置的金屬導(dǎo)軌，不計(jì)電阻，間距為L(zhǎng).左側(cè)弧形區(qū)域光滑；右側(cè)的水平區(qū)域表面粗糙，且處在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中.該磁場(chǎng)與水平導(dǎo)軌平面的夾角為θ.導(dǎo)軌右端連接著一個(gè)阻值為R的定值電阻.一個(gè)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的金屬棒，垂直放置在金屬導(dǎo)軌上，與水平導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ.初始時(shí)，金屬棒位于導(dǎo)軌左端的h高度處，由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，隨后進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t停止運(yùn)動(dòng).已知金屬棒電阻為R，與導(dǎo)軌接觸良好，且始終與磁場(chǎng)保持垂直，則金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域后，有（）.A.定值電阻R兩端的最大電壓為BLsinθ2gh2

B.金屬棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力越來(lái)越大

C.定值電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為12mgh

D.金屬棒在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的距離為2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）

解析設(shè)金屬棒進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度為v0，則有mgh=12mv20，求得v0=2gh.產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=BLv0sinθ，電路中的電流為I=E2R=BLv0sinθ2R.導(dǎo)體棒受到安培力為FA=BIL，對(duì)其進(jìn)行受力分析，如圖2所示.在豎直方向上，由平衡條件得FAcosθ+FN=mg.

當(dāng)導(dǎo)體棒剛剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，其速度最大，

電動(dòng)勢(shì)E、電流I和電阻R兩端的電壓也達(dá)到最大，根據(jù)U=IR得：U=BL2ghsinθ2，故A選項(xiàng)正確.

在水平導(dǎo)軌上，金屬棒做減速運(yùn)動(dòng)，

電動(dòng)勢(shì)E、電流I以及安培力FA均隨之減小.隨著FA的減小，F(xiàn)N必須增大，根據(jù)摩擦力的計(jì)算公式f=μFN，摩擦力f也將逐漸增大，故B選項(xiàng)正確.

在無(wú)摩擦的理想情況下，由能量守恒定律可得Q熱=mgh.定值電阻R產(chǎn)生的焦耳熱為QR=12Q熱=12mgh.考慮到水平導(dǎo)軌存在摩擦，定值電阻R產(chǎn)生的焦耳熱小于12mgh.故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

金屬棒運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以水平向右方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量定理有-μ（mg-FAcosθ）t-FAsinθ·t=0-mv0；金屬棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)距離

x=v-t.聯(lián)立兩個(gè)方程解得x=2mR（2gh-μgt）B2L2sinθ（sinθ-μcosθ）.故選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)在本題中，金屬棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，速度達(dá)到最大值，此時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和定值電阻兩端的電壓也達(dá)到峰值.學(xué)生可以通過(guò)動(dòng)量定理結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)求解金屬棒在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)位移[1].

2電動(dòng)式——a逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)

在電動(dòng)型問(wèn)題中，導(dǎo)體棒經(jīng)歷一個(gè)加速度逐漸減小的加速過(guò)程后，最終保持勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，電流可能為零或保持恒定.在電路中，導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)又產(chǎn)生反電動(dòng)勢(shì).安培力作為推動(dòng)力，隨著速度的降低而減小.速度為零時(shí)，反電動(dòng)勢(shì)為零，電流、安培力和加速度達(dá)到最大.

例2電磁炮是一種新型武器，其工作原理是利用電磁力對(duì)彈體進(jìn)行加速.在某實(shí)驗(yàn)中，一組研究者使用圖3所示的設(shè)備來(lái)模擬電磁炮的工作原理.導(dǎo)軌間存在豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，間距為0.1 m，磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.5 T.導(dǎo)軌左端連接的電池電動(dòng)勢(shì)為1.5 V，內(nèi)阻為0.5 Ω.金屬桿ab長(zhǎng)度為0.1 m，電阻為0.1 Ω，靜止放置在導(dǎo)軌上.當(dāng)開(kāi)關(guān)S閉合后，桿ab開(kāi)始向右移動(dòng).在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，桿ab受到的恒定阻力為0.05 N，該阻力始終與導(dǎo)軌垂直且保持良好的接觸.導(dǎo)軌電阻不計(jì)，可以推斷桿ab（）.

A.先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)

B.速度最大值為12 m/s

C.ab兩端的電壓始終保持0.25 V

D.達(dá)到最大速度時(shí)，ab兩端的電壓為1 V

解析在接通電源的瞬間，安培力大于阻力，導(dǎo)體棒向右加速運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E′=BLv也隨之增大.電流強(qiáng)度逐漸減小，安培力也隨之減小，加速度也逐漸減小，當(dāng)安培力和阻力相等時(shí)，速率達(dá)到最大值，此時(shí)加速度為零.故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

設(shè)最大速度為vm，導(dǎo)體棒受力平衡，則有：BIL=f，解得I=0.050.5×0.1 A=1 A，則I=E-E′R+r，解得：E′=0.9 V，根據(jù)E′=BLvm解得：vm=0.90.5×0.1 m/s=18 m/s.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

由于桿做變加速運(yùn)動(dòng)，安培力變化、電流強(qiáng)度變化，則ab兩端的電壓發(fā)生變化.故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

達(dá)到最大速度時(shí)，ab兩端的電壓為U=E-Ir=1 V.故選項(xiàng)D正確.

點(diǎn)評(píng)在求解電磁感應(yīng)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可以嘗試采取兩種思路：一是從力的角度出發(fā)，利用牛頓第二定律或力的平衡條件建立方程；二是從能量的角度出發(fā)，分析電磁感應(yīng)現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)換問(wèn)題，依據(jù)動(dòng)能定理和功能關(guān)系等建立方程以解決問(wèn)題.

3發(fā)電式——a逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)

在發(fā)電式問(wèn)題中，導(dǎo)體棒先是做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，最終保持勻速狀態(tài)，且電流保持恒定.當(dāng)導(dǎo)體棒的速度為零時(shí)，加速度最大；當(dāng)導(dǎo)體棒的加速度為零時(shí)，速度達(dá)到最大.

例3如圖4所示，間距為L(zhǎng)的MN、PQ的平行金屬導(dǎo)軌與水平面夾角為θ.N、Q之間接有一個(gè)電阻R.勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面向上.ab處放置著質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒，其他電阻忽略不計(jì).金屬棒由靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始沿導(dǎo)軌向下運(yùn)動(dòng)，與導(dǎo)軌接觸良好，與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，到cd處的速度為v，之后速度保持恒定.cd與ab之間的距離為s（重力加速度為g）.下列說(shuō)法正確的是（）.

A.金屬棒到達(dá)cd位置之前沿導(dǎo)軌勻加速下滑

B.金屬棒達(dá)到cd處的速度v=mgsinθ-μmgcosθB2L2（R+r）

C.金屬棒從位置ab運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱以及摩擦生熱之和等于金屬桿機(jī)械能的減小量

D.金屬棒從位置ab運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，電阻R產(chǎn)生的熱量Q=mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ

解析感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv，感應(yīng)電流I=ER+r，安培力F=B2L2vR+r.金屬棒到達(dá)cd位置之前，有mgsinθ-μmgcosθ-F=ma，解得a=gsinθ-μgcosθ-B2L2vm（R+r），金屬棒在到達(dá)cd位置前做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng).故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

金屬棒到達(dá)cd位置后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：mgsinθ-μmgcosθ-F=0，解得金屬棒達(dá)到cd處的速度大小v=mg（sinθ-μcosθ）（R+r）B2L2.故選項(xiàng)B正確.

金屬棒從位置ab移動(dòng)到cd的整個(gè)過(guò)程中，根據(jù)能量守恒定律，電路中產(chǎn)生的焦耳熱與由摩擦產(chǎn)生的熱量之和等于金屬桿機(jī)械能的減小量.故選項(xiàng)C正確.

金屬棒從位置ab運(yùn)動(dòng)到cd的過(guò)程中，設(shè)回路產(chǎn)生的總焦耳熱為Q總，由能量守恒定律得：mgs·sinθ=12mv2+μmgs·cosθ+Q總，電阻R產(chǎn)生的焦耳熱Q=RR+rQ總，解得Q=RR+r（mgs·sinθ-12mv2-μmgs·cosθ）.故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生首先需要明確金屬棒的運(yùn)動(dòng)軌跡，應(yīng)用牛頓第二定律計(jì)算加速度，判斷金屬棒的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，利用力的平衡條件求出金屬棒到達(dá)cd處的速度，再應(yīng)用安培力公式、平衡條件、能量守恒定律解題[2].

4結(jié)束語(yǔ)

學(xué)生在解決不包含電容器的單桿導(dǎo)軌問(wèn)題時(shí)，應(yīng)從電學(xué)、力電、功能等多個(gè)角度進(jìn)行綜合分析：①通過(guò)電學(xué)角度識(shí)別產(chǎn)生電磁感應(yīng)的導(dǎo)體部分，計(jì)算感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，確定電流方向，并分析電路結(jié)構(gòu)；②從電學(xué)、力學(xué)角度分析閉合回路中磁通量的變化，計(jì)算導(dǎo)體棒產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)、感應(yīng)電流和安培力，分析合外力、加速度和速度變化，直至導(dǎo)體棒達(dá)到穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；③從功能角度考慮電磁感應(yīng)過(guò)程中能量的轉(zhuǎn)化，以及外力克服安培力做功時(shí)其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能，反之亦然；④結(jié)合動(dòng)量定理與微元法，建立力、時(shí)間、速度關(guān)系，從牛頓第二定律與微元法的視角，建立力、時(shí)間、位移之間的關(guān)系.

參考文獻(xiàn)：［1］

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［責(zé)任編輯：李璟］