非連通空間對象方向關系表達與推理

摘 要：

為了彌補現(xiàn)有的二維空間對象方向關系表達模型大都利用點、最小外包矩形等近似地代替空間對象，距離真實空間對象間方向關系的描述與推理仍存在差距的不足，提出了一種基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系表達模型。該模型借助Gestalt心理學理論，通過提取非連通空間對象的特征點、特征鏈，構建空間對象間的可視區(qū)域，生成方向關系Voronoi圖，實現(xiàn)了非連通、含洞的參考對象與目標對象間方向關系的表達，該模型較好地顧及了空間對象形狀、大小等因素帶來的影響，表達精度更高、適用范圍更廣。為了提高復雜空間對象方向關系復合推理的精度，基于該模型提出了一個非連通對象間主方向關系復合推理算法，該算法借助Tile-union運算和Pr運算，實現(xiàn)了該模型下基本主方向關系的復合推理，降低推理結(jié)果的不確定性。分析和驗證的結(jié)果表明，提出的非連通空間對象方向關系模型及復合推理算法，提高了表達與推理的精度，完善和提高了對復雜空間對象方位關系的分析與處理能力。

關鍵詞：Voronoi圖；Gestalt心理學理論；非連通空間對象；主方向關系；復合推理

中圖分類號：TP311 文獻標志碼：A 文章編號：1001-3695（2024）09-013-2655-09

doi：10.19734/j.issn.1001-3695.2024.01.0005

Description and reasoning with direction relation of disconnected spatial objects

Wang Miao1， Dong Xingxing2， Gao Jixun1， 2， Fang Zhenxi3， Tang Hao3， Li Song4

（1.Dept. of Computer Science， Henan University of Engineering， Zhengzhou 451191， China; 2.Dept. of Computer Science， Henan Polytechnic University， Jiaozuo Henan 454000， China; 3.Dept. of Computer Science， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou 451191， China; 4.Dept. of Computer Science， Harbin University of Science & Technology， Harbin 150080， China）

Abstract：

In view of the fact that there is still a certain gap in representing and reasoning with the orientation relation between real objects due that the existing models for representing and reasoning with direction relations use a point and minimum bounding rectangle to approximate the spatial object itself， this paper proposed a new model for dealing with the disconnected spatial objects based on Voronoi diagram. With the help of the theory of Gestalt psychological， the proposed model constructed visual regions between spatial objects by extracting the feature points and feature chains of the disconnected spatial objects to generate the direction Voronoi diagram， which realized the representation of directions between the space objects which were disconnected and contain holes. This model fully considered the influence of the shape， size and other factors of the spatial objects， and had higher expression accuracy and wider applicability. In order to improve the precision of reasoning with cardinal directional relations between complex spatial objects， it proposed an algorithm for composing cardinal direction relations defined by the proposed model， which reduced the uncertainty of the results of composition by means of Tile-union operation and Pr operation. The results of analysis and verification show that the proposed model and algorithm reduce the uncertainty of the reasoning results， improve the accuracy of representation and reasoning， and then enhance the ability to analyze and process the direction relations with complex spatial objects.

Key words：Voronoi diagram; theory of Gestalt psychological; disconnected spatial objects; cardinal directional relations; composition

0 引言

空間方向關系是空間關系的重要組成部分，反映了空間物體間的序關系，例如前側(cè)、后側(cè)、左側(cè)、右側(cè)等，廣泛應用于空間智能分析處理、城市管網(wǎng)配置、機器人導航、防災減災等諸多領域，日益成為數(shù)據(jù)建模、制圖綜合、多媒體設計、圖像檢索等領域研究的熱點和難點問題［1，2］。

空間方向關系的表達與推理是空間方向關系研究領域的核心內(nèi)容，對于空間數(shù)據(jù)庫領域中的空間檢索、空間定位、空間存儲等都是非常重要的［3，4］。空間方向關系形式化描述作為空間方向關系領域中的一個基礎性內(nèi)容，為空間方向關系的具體應用奠定了基礎［5］。目前空間方向關系的研究大多集中在空間方向關系表達與推理模型和基于模型的推理工作［6，7］，例如空間方向關系的復合推理、反關系推理、一致性檢驗等。

目前，已有一些二維空間區(qū)域?qū)ο蠓较蜿P系表達與推理模型被提出，其中代表性的模型包括錐形模型［8］、基于MBR的方向關系模型［9］、方向關系矩陣模型［10］、基于Voronoi圖的方向關系模型［11］等。其中，錐形模型將空間對象抽象為點，描述精度不高；基于MBR的方向關系模型利用空間對象最小外包矩形間的方向關系確定空間對象間的方向關系，在一定程度上考慮了空間對象自身大小與形狀帶來的影響，但未考慮空間對象相交的情況；方向關系矩陣模型通過延伸參考對象的MBR將整個空間區(qū)域劃分成九個部分，該模型僅僅描述了參照對象外接矩形外部的方向關系，忽略了空間對象的內(nèi)部細節(jié)；基于Voronoi圖的方向關系模型利用空間對象的特征點代替空間對象，考慮了空間對象的自身特性，但上述經(jīng)典模型均未實現(xiàn)含洞的、非連通的空間對象間方向關系的描述，距離真實物體間的位置關系描述仍存在差距［12，13］。近年來，人們相繼提出了一系列改進模型，李朋朋等人［14］在2018年改進了Goyal［10］提出的方向關系相似性計算模型，使方向關系矩陣的應用范圍更廣，相似性計算的結(jié)果更準確，但該模型無法描述空間目標相互纏繞的情形；陳超等人［15］在2021年提出了利用方向Voronoi圖模型描述面狀群組目標間的方向關系，較好地顧及了群組目標自身形狀、大小等因素帶來的影響，但無法較好地同時考慮諸多因素帶來的影響；王玉竹等人［16］在2022年在模糊數(shù)學思路的基礎上，給出了考慮各參考目標形狀和相對大小的空間方向關系表達模型，更符合人們的方位認知習慣，但并未考慮非連通、含洞的空間對象間的空間方向關系［17］。綜上，單目標空間對象方向關系模型大多以規(guī)則的、連通的空間對象為研究目標，針對含洞、非連通空間對象的深入研究相對較少，在一定程度上降低了空間方向關系模型的適用性，與真實對象有一定的差距，當前缺乏統(tǒng)一的空間關系模型描述非連通空間對象間的空間方向關系。

目前，已有學者基于點對象、線對象、面對象等對空間方向關系推理問題展開了深入研究，提出了一些推理方法［18～22］。Skiadopoulos等人［23］在2004年采用自然語言描述方向關系矩陣模型，給出了部分定義、定理的形式化描述，并指出現(xiàn)實生活中往往存在非連通的空間對象，但并未給出具體的描述與推理方法。時玉等人［24］在2008年提出了基于真實物體的方向關系模型，但該模型將空間對象抽象為最小外包矩形，僅適用于目標對象是連通的情形，無法體現(xiàn)參考對象的非連通性，并在該模型的基礎上，給出了基本主方向關系的復合推理方法，該方法仍依賴手工推理。為處理復雜三維空間對象間的方向關系，劉永山等人［25］在2011年基于單純形數(shù)據(jù)模型利用投影方法及區(qū)間運算簡單的特性，提出三維空間物體方向關系的坐標映射模型，給出了一個該模型下主方向關系網(wǎng)絡一致性檢驗算法。為了避免復雜的手工推理，Wang等人［26］在2022年提出了方向關矩陣模型下基本主方向關系的反關系推理算法，該算法充分發(fā)揮了矩陣運算的優(yōu)勢，實現(xiàn)了二維基本主方向關系反關系的自動計算與推理。綜上，已有的空間方向關系表達與推理方法大多針對連通區(qū)域間的基本主方向關系展開研究，然而現(xiàn)實生活中空間對象往往以非連通的形式存在，現(xiàn)有的空間方向關系研究工作大多針對規(guī)則的空間對象，對非連通空間對象間方向關系的表達與推理的研究甚少。

為此，本文建立了基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系模型。稱之為VG-irregular模型，該模型借助Gestalt心理學理論，將距離相近、特征相似的空間對象的各部分代替整個空間對象，提取特征信息、形成可視區(qū)域，構建基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系模型，該模型較好地反映了真實空間對象間的方向關系，適用于描述非連通、含洞的空間對象間的方位關系，與已有模型相比，該模型描述精度更高，研究對象更加貼合實際。為了進一步提高空間方向關系的推理精度，基于該模型給出了一個復合推理算法，該算法實現(xiàn)了非連通對象主方向關系的復合推理。推理結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例，降低了復合結(jié)果的不確定性，理論分析與對比驗證的結(jié)果表明，該復合推理方法是正確的、完備的。

1 基礎知識

Goyal［10］提出的方向關系矩陣模型是描述二維區(qū)域空間對象間的方向關系，適用于規(guī)則的、連通的以及有連通邊界的的封閉單位圓與區(qū)域?qū)ο?。該模型利用參考區(qū)域?qū)ο蟮淖钚⊥獍匦螌⒖臻g劃分成九個方向區(qū)域，如圖1所示，通過判斷主對象與各方向區(qū)域的交疊情況構造一個方向關系矩陣來定義與描述空間對象間的方向關系。方向關系矩陣分為粗略和精確方向關系矩陣，粗略方向關系矩陣的元素值是0或1，記錄源目標與參考目標的各方向區(qū)域是否相交，如式（1）所示；精確方向關系矩陣的元素值是源目標與各方向區(qū)域的交疊面積百分比，如式（2）所示。

真實物體包括同胚的、連通的空間對象和含洞的、不連通的空間對象，這些區(qū)域?qū)ο蟮募嫌洖镽EG*，例如，圖2中源目標對象或參考對象是非連通的空間對象，非連通空間對象具有靈活性、多變性、復雜性等特點，若利用方向關系矩陣模型描述其方向關系，可得圖2（a）中目標對象b與參考對象a的方向關系是b E：B a，圖2（b）中目標對象b與參考對象a的方向關系是b E a，而實際所感知的圖2（a）的方向關系是b E：SE：N：NE a，實際所感知的圖2（b）的方向關系是b E：NE a，可見方向關系矩陣模型的描述結(jié)果將與真實情況存在較大偏差、精度較低，無法準確描述非連通空間對象間的方向關系。

2 基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系表達模型

現(xiàn)有的方向關系模型大多利用點、最小外包矩形等近似地代替空間對象，未考慮非連通空間對象的自身特征，本文提出了一種基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系表達模型，用于解決含洞的、非連通的空間對象的建模問題。非連通空間對象間的方向關系是一個整體相對于另一個整體的方向關系，該模型利用非連通空間對象特征鏈間的方向關系來描述整體空間對象間的方向關系。其主要思想是借助Gestalt心理學理論，將距離相近、特征相似的空間對象的各部分代替整個空間對象，提取空間對象具有代表性的特征點、形成特征鏈、構建空間對象間的可視區(qū)域、生成方向關系Voronoi圖、計算Voronoi圖各線段的方位角，得到非連通空間對象方向關系模型，其中，特征鏈在空間方向關系判斷的過程中代表著其對應的整個空間對象。

定義12 空間對象特征點是指能夠表示空間對象基本結(jié)構的點。點目標對象的特征點是點；線目標對象的特征點是起點、中點、終點；面目標對象的特征點是其多邊形可視區(qū)域的頂點。若空間對象有m、n個特征點，次序可記為p1，p2，p3，…，pm、q1，q2，q3，…，qn。

定義13 空間對象特征鏈是由兩個空間對象間相鄰近的一側(cè)的特征點自然而然連接成的曲線，特征鏈代替空間對象本身，空間對象a的特征鏈記為Ca。

定義14 可視區(qū)域是兩個空間對象的特征鏈鄰近的兩端連接形成的區(qū)域，可視區(qū)域可看作是三角形的集合，即每個三角形必須包含兩個目標對象的特征點。大多數(shù)情況下，可視區(qū)域整體是多邊形，特殊情況下是一條線段，空間對象a、b可視區(qū)域記為Fab。

構造基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系表達模型需要經(jīng)歷以下四個階段：

a）提取特征點，針對空間對象間相鄰的一側(cè)，利用格雷厄姆算法求解特征鏈，夾角序列算法計算特征鏈直徑，借助偏角衡量空間對象綜合的幅度。若空間對象特征鏈邊界上的特征點的偏角小于45°，則舍棄該特征點，保留其余特征點，利用提取的全部特征點代替空間對象本身，并且應保證提取空間對象特征點前后的空間關系保持不變。

b）連接特征點形成特征鏈，構造空間對象間的可視區(qū)域，根據(jù)Gestalt心理學將空間對象間相鄰近的一側(cè)的特征點自然而然連接成曲線，即代替空間對象本身的特征鏈。然后將兩條特征鏈首首連接、尾尾連接形成由多個三角形構成的多邊形可視區(qū)域，其中每個三角形的三個頂點中必須既有非連通參考對象的特征點，又有非連通源目標對象的特征點。

c）生成Voronoi圖，在空間對象間的多邊形可視區(qū)域的基礎上，依據(jù)各個三角形底角的度數(shù)范圍不同，將三角形分為三種，即底角都是銳角、一個底角是直角、一個底角是鈍角。方向關系Voronoi圖的連接點由第一、二種三角形腰的中點、第三種三角形一腰中點的垂線和另一腰的中位線、兩相鄰目標公共邊界的起訖點和共點相鄰時的公共點組成，將連接點依次連接得到方向關系Voronoi圖。

d）計算Voronoi圖各線段所對應射線的方位角，將方位角信息轉(zhuǎn)換為空間對象間的方向關系。計算射線方位角之前需要計算源目標對象與參考對象的方向關系Voronoi圖的方位角。若源目標對象在參考對象的上、右、右上、左上，則求解Voronoi圖各線段的方位角時，以線段的左端點、上端點、左上端點、左下端點為基點，計算各線段對應的方位角。若源目標對象在參考對象的下、左、左下、右下，則求解Voronoi圖各線段的方位角時，以線段的右端點、下端點、右下端點、右上端點為基點，計算各線段對應的方位角。

射線方位角是指垂直于Voronoi圖各線段、由參考對象指向源目標對象的射線的方位角，得到Voronoi圖各線段所對應的射線方位角信息后，將射線方位角信息與空間方向關系對應起來。計算射線方位角方法如下，假設方向關系Voronoi圖的線段是EF，E點記為（x1，y1），F(xiàn)點記為（x2，y2），E、F兩點的方位角記為βEF，其對應射線方位角β的計算分為兩種情況。若x1≠x2，則當β≥0時β=βEF-90°、當β＜0時，β=βEF-90°+360°；若x1=x2，源目標在參考目標的右側(cè)，則β=90°，反之，β=270°。

每個空間方向關系對應一個射線方位角的劃分區(qū)間，利用八方向描述方法將射線的方位角與空間方向關系對應起來，北 （337.5°，22.5°］、東北（22.5°，67.5°］、東 （67.5°，112.5°］、東南 （112.5°，157.5°］、南 （157.5°，202.5°］、西南（202.5°，247.5°］、西 （247.5°，292.5°］、西北 （292.5°，337.5°］，由此可得空間對象間的方向關系，該模型同樣適用于參考對象和源目標對象均為非連通空間對象的情況。

例如，利用上述模型描述如圖4所示的非連通空間對象a與含洞空間對象b之間的方向關系，需提取空間對象a、b的特征點記作p1，p2，p3，p4，q1，q2，q3，q4；依次連接特征點形成空間對象a、b的特征鏈記作Ca=p1p2p3p4、Cb= q1q2q3q4；將特征鏈首尾順次連接形成空間對象a、b的可視區(qū)域記作Fab= p1p2p3p4q1q2q3q4p1；將兩條特征鏈首首連接、尾尾連接形成由多個三角形構成的多邊形可視區(qū)域，其中三角形包括Δp1q1p2、Δp2q1q2、Δp2q2p3、Δp3q2p3、Δp3q3p4、Δp4q3p4；構造空間對象a與空間對象b之間的方向關系Voronoi圖是D1D2，由線段1、2、3、4、5和6組成。

按照上述計算Voronoi圖各線段所對應射線方位角的方法，分別計算出各線段所對應的方位角、方向關系、線段長度以及長度百分比，如表1所示，經(jīng)計算可得非連通源目標對象a的67.4%在參考對象b的西北方向，32.6%在參考對象b的西南方向。

綜上所述，利用本文提出的VG-irregular模型描述非連通空間對象間的方向關系時大致經(jīng)歷四個過程，即：a）提取非連通空間對象特征點；b）借助Gestalt心理學理論，將距離相近、特征相似的空間對象特征點連接形成特征鏈，通過特征鏈構造可視區(qū)域；c）在上述過程的基礎上生成方向關系Voronoi圖；d）計算Voronoi圖中各線段的方位角，并利用射線方位角信息與空間方向關系的對應關系得到非連通空間對象間的方向關系。

下面將通過一個具體的實例說明VG-irregular模型的表示方法及過程，如圖5所示。

a）利用非連通目標對象a1、a2和非連通參考對象b1、b2特征鏈邊界上的特征點的偏角信息，提取非連通空間對象a、b的特征點，即特征點A、B、C、D、E、F、G、H、I、J。

b）連接空間對象a1、a2、b1、b2特征點，構建空間對象a、b的特征鏈，即特征鏈ABCD、EFGHIJ。然后將特征鏈ABCD和特征鏈EFGHIJ首首連接、尾尾連接形成由多個三角形構成的多邊形可視區(qū)域，即可視區(qū)域ABCDEFGHIJA。其中三角形包括△AIJ、△ABI、△BHI、△BCH、△CHG、△CDG、△DEF。

c）判斷各三角形的類型（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），連接各三角形的中點或者垂點?！鰽IJ是鈍角三角形，則取AI的中點作垂線得到線段MK，同理可得，線段1、2、3、4、5、6、7、8。將空間對象a、b的起訖點M、N和8條線段依次連接得到空間對象a、b的方向關系Voronoi圖，即折線MN。

d）計算8條線段的方位角，根據(jù)方位角與空間方向關系對應得到每條線段對應的方向關系，例如線段1：45°—90°＋360°＝315°，對應西北方向，其余同理，并計算出各線段所線段長度和長度百分比，具體如表2所示。

經(jīng)計算可得圖5中的非連通源目標對象a的81.25%在參考對象b的西北方向，6.25%在參考對象b的西方向，12.5%在參考對象b的西南方向?？梢奦G-irregular模型較好地反映了真實空間對象間的方向關系，適用于描述非連通、含洞的空間對象間的方位關系，該模型描述精度更高，研究對象更加貼合實際。

3 非連通空間對象間主方向關系的復合推理

為了復合推理的精度，降低復合推理結(jié)果的不確定性，在VG-irregular方向關系模型的基礎上，對空間方向關系的推理進行研究，提出了一個非連通對象間主方向關系復合推理算法。根據(jù)本文模型所得空間對象間含比例大小的方向關系，將其轉(zhuǎn)換為方位角形式，用θ表示；具體的劃分方法是北：θ1=（337.5°，22.5°］、東北：θ2=（22.5°，67.5°］、東：θ3=（67.5°，112.5°］、東南：θ4=（112.5°，157.5°］、南：θ5=（157.5°，202.5°］、西南：θ6=（202.5°，247.5°］、西：θ7=（247.5°，292.5°］、西北：θ8=（292.5°，337.5°］?；赟kiadopoulos和Koubarakis提出的原子主方向關系合成表進行改進，得到如表3所示的以“方位角”形式展示的原子主方向關系復合表。

若存在空間對象a，b，c∈REG*，滿足a θ1 b、b θ2 c，則θ1θ2∈2D*。將利用如式（8）所示的矩陣描述，元素值是0或1，僅僅記錄源目標對象與參考對象的方向關系，若源目標對象a在參考對象b的西北方向和西南方向，所對應的矩陣如式（9）所示。

Dir（a，b）=

NW（292.5°，337.5°］N（337.5°，22.5°］NE（22.5°，67.5°］

W（247.5°，292.5°］θ0E（67.5°，112.5°］

SW（202.5°，247.5°］S（157.5，202.5°］SE（112.5°，157.5°］（8）

Dir（a，b）=100000100（9）

定義15 若θ1，…，θk是原子主方向關系，Pr（θ1：…：θk）表示各原子主方向關系θ1、…、θk百分制下所占比例的計算，計算結(jié)果滿足θ1比例＋：…：＋θk比例=1。

例如：θ4（70%）：θ5（40%），則Pr（θ4（70%）：θ5（40%））=θ4（70%/（70%+40%））：θ5（40%/（70%+40%））=θ4（63.64%）：θ5（36.36%）。

引理1［18］ 若θ1是原子主方向關系，θ2是主方向關系，則滿足θ1θ2=θ1Most（θ1，Br（θ2））。

定理1 若θ1、θ2是主方向關系，θ1=θ11：…：θ1k，θ2=θ21：…：θ2m，θ11，…，θ1k是原子主方向關系，則滿足θ1kθ2=Pr（θ1kMost（θ1k，Br（θ2）））。

證明 已知k=1，即θ1=θ11，θ1是原子主方向關系，θ2、θ3是主方向關系，若a θ1（100%） b，b θ21（x%）：θ22（1-x%）c，根據(jù)引理1可知，存在θ3∈{θ1θ21：θ22}，根據(jù)定義15可知，對于任意復合結(jié)果θ31（m%）：θ32（n%），存在θ31（m%）：θ32（n%）=θ31（m%/（m%+n%））：θ32（n%/（m%+n%），故命題成立。證畢。

引理2［18］ 若θ1、θ2是基本主方向關系，θ1=θ11：…：θ1k，θ2=θ21：…：θ2m，則滿足θ1θ2 ={ Q∈D： （s1，…， sk）（Q=Tile-union（s1，…， sk）∧s1∈θ11θ2∧…∧sk∈θ1kθ2）}。

定理2 若θ1、θ2是主方向關系，θ1=θ11：…：θ1k，θ2=θ21：…：θ2m，則滿足θ1θ2 =Pr（Tile-union（s1，…，sk︱s1∈θ11θ2，…， sk∈θ1kθ2））。

證明 假設k=1，則θ1=θ11，θ1是原子主方向關系， 其結(jié)論顯然成立；假設k>1，令Q∈θ1θ2，則根據(jù)定義6，存在物體a、b、c∈REG*，滿足a θ1 b∧b θ2 c∧a Q c。已知a θ1 b成立，則存在物體 a1，…，ak∈REG*，a=a1∪…∪ak，使a1θ11b∧…∧ak θ1k b成立，故（a1θ11b∧…∧ak θ1k b）∧b θ2 c∧a Q c。既然a=a1∪…∪ak與a Q c成立，則存在主方向關系Q1，…，Qk，使得Q=Tile-union（Q1，…，Qk），a1 Q1 c∧…∧ak Qk c成立，故（a1θ11b∧…∧ak θ1k b）∧b θ2 c∧（a1 Q1 c∧…∧ak Qk c）。類似地，（a1 θ11 b∧b θ2 c∧a1 Q1 c）∧…∧ （akθ1k b∧b θ2 c∧ak Qk c）成立，因此Q1∈θ11θ2，…， Qk∈θ1kθ2，即Q=Tile-union （Q1，…， Qk） 成立，根據(jù)定理1可知，θ1θ2 =Pr（Tile-union （Q1，…， Qk））成立，故命題成立。證畢。

對于任意兩個主方向關系的復合，首先根據(jù)引理1和定理1計算出一個主方向關系中各原子主方向關系與另一個主方向關系的復合，利用引理2和定理2對上述復合結(jié)果進行Tile-union運算和Pr運算，該復合結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例?；谏鲜龇椒ǎo出了一個非連通對象間主方向關系復合推理算法COM_PR（），該復合算法如下。

算法 COM_PR（θ）

輸入：兩個基本主方向關系θ1∈D*、θ2∈D*，其中θ1=θ11：…：θ1k，θ2=θ21：…：θ2k，θ11，…，θ2k是原子主方向關系。

輸出：θ1與θ2的合成結(jié)果θ3。

begin //計算Sij

ElemType S，S1i; //定義S、S1i變量

for int i：=1 to k do

for int j：=1 to k do //依次計算θ1i與θ2的復合關系

S=θ1iθ2; //依據(jù)定理1即可實現(xiàn)

S1i：=S1i∪S; //依次合并得到初步的復合結(jié)果

//對S1i中的元素進行Tile-union運算

ElemType S0; //定義S0變量

if （S！=NULL） then //對S進行判空操作

S0=S11; /*將臨時變量的值，賦給S0，以便S0與下一個集合運算*/

for int i：=1 to k-1 do

S0=Tile-union（S0，S1i+1）∪S0; //依據(jù)定理2即可實現(xiàn)

//對θ3k中的方向關系進行比例運算

if（S！=NULL） then //對S進行判空操作

for int i：=1 to S0.length do

θ3=θ3∪{Pr（S0i）}; //依次對θ3中的方向關系進行Pr運算

return θ3;

end

定理3 主方向關系復合算法COM_PR（）是正確的、完備的。

證明 若θ1∈D*、θ2∈D*，則存在θ3∈D*。定理1給出了θ1i與θ2的復合關系Sij∈θ1iθ2j（1≤i≤k，1≤j≤k，1≤i≤length（Si），1≤j≤length（Sj）），其正確性在相應的定理中給出了證明。定理2實現(xiàn)了Tile-union運算和Pr運算，即S1和S2中的元素依次進行Tile-union運算，其結(jié)果放入S0中，運算結(jié)束后將S0值賦給S2，然后對S2和S3進行Tile-union運算，依此類推，直到完成對Sk-1和Sk中各元素的Tile-union運算，最后對θ31，…，θ3k進行比例運算，運算結(jié)束后賦值給θ3將得到θ1和θ2的復合關系θ3，其正確性和完備性在上述定理中均已證明。故算法COM_PR（）是正確的、完備的。證畢。

綜上所述，本文提出的非連通對象間主方向關系復合推理算法COM_PR（）大致經(jīng)歷三個過程，即：a）利用引理1、定理1實現(xiàn)原子主方向關系與主方向關系的復合；b）利用引理2、定理2對上述初步復合結(jié)果依次進行Tile-union運算；c）完成Pr運算，實現(xiàn)任意兩個主方向關系的復合，并且復合結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例。

下面將通過一個具體的實例說明非連通對象間主方向關系復合推理算法的表示方法及過程。已知a NW（30%）：SW（70%） b、b W（40%）：S（60%） c，計算a與c間的方向關系。

a）計算各原子主方向關系與非連通主方向關系的復合。將NW（30%）：SW（70%）W（40%）：S（60%）轉(zhuǎn)換為方位角形式的空間方向關系，即（292.5°， 337.5°］（30%）：（202.5°， 247.5°］（70%）（247.5°， 292.5°］（40%）：（157.5°， 202.5°］（60%），然后計算（292.5°， 337.5°］（247.5°， 292.5°］：（157.5°，202.5°］、（202.5°， 247.5°］（247.5°， 292.5°］：（157.5°， 202.5°］的合成結(jié)果，得到S1={（292.5°， 337.5°］，（247.5°， 292.5°］，（292.5°， 337.5°］：（247.5°，292.5°］}、S2={（202.5°，247.5°］}。

b）完成Tile-union運算。針對S1={（292.5°，337.5°］，（247.5°，292.5°］，（292.5°，337.5°］：（247.5°，292.5°］}、S2={（202.5°，247.5°］} 依次進行Tile-union運算。Tile-union（S1，S2）={ （202.5°， 247.5°］：（292.5°， 337.5°］，（202.5°，247.5°］：（247.5°， 292.5°］，（202.5°， 247.5°］：（292.5°， 337.5°］： （247.5°， 292.5°］}。

c）完成Pr運算。針對{（202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］，（202.5°，247.5°］：（247.5°，292.5°］，（202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］： （247.5°，292.5°］}進行Pr運算。根據(jù)原子主方向關系的比例關系進行基本主方向關系的比例運算，已知空間方向關系（202.5°，247.5°］占比70%、（292.5°，337.5°］占比30%、（247.5°，292.5°］占比40%、（157.5°，202.5°］占比60%， （202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］的比例關系是（202.5°，247.5°］（70%）：（292.5°，337.5°］（30%），其余同理。可得（202.5°，247.5°］ （70%）：（292.5°，337.5°］ （30%）（202.5°，247.5°］ （63.64%）：（247.5°，292.5°］ （36.36%）、（202.5°，247.5°］ （50%）：（292.5°，337.5°］ （21.43%）：（247.5°，292.5°］ （28.57%）。

將角度形式的空間方向關系轉(zhuǎn)換為SW（70%）：NW（30%）、SW（63.64%）：W（36.36%）、SW（50%）：NW（21.43%）：W（28.57%）。因此，NW（30%）：SW（70%）與W（40%）：S（60%）復合的結(jié)果包括SW（70%）：NW（30%）、SW（63.64%）：W（36.36%）、SW（50%）：NW（21.43%）：W（28.57%） 三種情況，其中SW（70%）：NW（30%）表示空間對象a的70%的部分位于空間對象c的西南方向、空間對象a的30%的部分位于空間對象c的西北方向，另外兩種結(jié)果的含義同樣如此。

4 分析驗證

4.1 VG-irregular模型的實例分析與對比

4.1.1 表達精度分析驗證

描述如圖6（a）所示的非連通空間對象間的方向關系時，利用方向關系矩陣模型得到的空間方向關系是非連通源目標對象a在非連通參考對象b的西、西北方向，如圖6（b）所示。若利用VG-irregular方向關系模型描述非連通空間對象間的方向關系，通過提取空間對象特征點、形成特征鏈、構造可視區(qū)域、生成Voronoi圖等過程，得到非連通源目標對象a與非連通參考對象b之間的方向關系，如圖6（c）所示，即非連通源目標對象a的3.17%在非連通參考對象b的西北方向，a的55.56%在b的正西方向，a的41.27%在b的西南方向，具體計算過程如表4所示。由此可見，VG-irregular模型精度更高，給出了具體的百分比，更加符合現(xiàn)實生活中人們對于方向關系的認識習慣。

4.1.2 空間對象自身特性影響程度分析

描述如圖7（a）所示的非連通參考對象與連通源目標對象間的方向關系時，方向關系矩陣模型將非連通參考對象看作一個整體，可得連通源目標對象b在非連通參考對象a的正西方向，如圖7（b）所示，未體現(xiàn)參考對象的非連通特性。若利用本文VG-irregular方向關系模型描述非連通參考對象與連通源目標對象間方向關系，如圖7（c）所示，以點G1為基點，可得源目標對象b的64.7%在非連通參考對象a的東南方向，b的23.91%在a的東面，b的11.39%在a的東北方向，具體計算過程如表5所示。從現(xiàn)實角度分析，僅說明空間對象b在空間對象a的正西方向是不正確的，方向關系矩陣模型的描述結(jié)果誤差較大，而本文VG-irregular方向關系模型的描述結(jié)果考慮了空間對象a的非連通性，受空間對象自身特性影響較小。

4.1.3 外在因素影響程度分析

除了上述空間對象自身特性包括形狀、大小等因素會影響空間對象間的方向關系，空間對象間的空間距離、簡單拓撲關系、分布密度、分布范圍等因素也將影響空間方向關系的描述。方向關系矩陣模型利用參考對象的最小外包矩形代替空間對象本身，將空間劃分成九個方向區(qū)域，忽略了空間距離、簡單拓撲關系、分布密度、分布范圍等外在因素帶來的影響。本文提出的VG-irregular方向關系模型利用方向關系Voronoi圖從定性與定量兩個角度對非連通空間對象間的空間方向關系進行描述與計算，既顧及了空間對象的大小、形狀和距離等因素的影響，又可以獲得較為精確的計算結(jié)果，適用于多種情況下空間方向關系的描述，在廣泛性、正確性、唯一性、普遍性方面均有優(yōu)勢。

綜上，無論是描述準確性、受空間對象自身特性影響程度，還是外在因素影響程度，VG-irregular方向關系模型具有明顯優(yōu)勢，描述精度更高，適用范圍更廣，考慮了空間對象形狀、大小等因素帶來的影響，受空間對象自身特性影響程度較小，所得空間方向關系描述結(jié)果更符合現(xiàn)實生活中人們的認知習慣，較好地反映了真實空間對象的形狀與空間對象間的方向關系。

4.2 復合算法的實例分析與對比

利用C語言編程實現(xiàn)了算法COM_PR（），在Visual Studio 2019平臺上運行，程序?qū)崿F(xiàn)的基本思路利用引理1、定理1實現(xiàn)原子主方向關系與主方向關系的復合，利用引理2、定理2對上述初步復合結(jié)果依次進行Tile-union運算和Pr運算，實現(xiàn)任意兩個主方向關系的復合，復合結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例。在本節(jié)中，將利用兩個實例對算法COM_PR（）進行分析驗證。通過第一個實例分析驗證算法對于非連通主方向關系復合的計算與推理能力，并且與手工推理的結(jié)果進行對比；通過第二個實例分析驗證算法復合結(jié)果的精度，并將其復合結(jié)果與具有代表性的Skiadopoulos等人［23］提出的經(jīng)典推理方法和當前較新的歐陽繼紅等人［18］提出的主方向關系復合推理方法進行對比分析驗證。

下面通過第3章中的實例驗證算法COM_PR（）的正確性，即 NW（30%）：SW（70%）W（40%）：S（60%），將空間方向關系轉(zhuǎn)換為方位角形式的空間方向關系，即（292.5°， 337.5°］（30%）：（202.5°，247.5°］（70%）（247.5°，292.5°］（40%）：（157.5°， 202.5°］（60%），利用算法中的前兩個for循環(huán)計算（292.5°， 337.5°］（247.5°，292.5°］：（157.5°，202.5°］、（202.5°，247.5°］（247.5°， 292.5°］：（157.5°， 202.5°］，得到S1={（292.5°， 337.5°］，（247.5°， 292.5°］，（292.5°， 337.5°］： （247.5°，292.5°］}、S2={（202.5°，247.5°］}。該過程的實現(xiàn)對應復合算法COM_PR（）第一部分的for循環(huán)，其中引理1與定理1的正確性已證明完畢。

利用第三個for循環(huán)可得Tile-union（S1，S2）={ （202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］，（202.5°，247.5°］：（247.5°，292.5°］，（202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］： （247.5°，292.5°］}。該過程的實現(xiàn)對應復合算法COM_PR（）第二部分的for循環(huán)，其中引理2的正確性已證明完畢。

利用第四個for循環(huán)可得復合結(jié)果（202.5°，247.5°］：（292.5°，337.5°］的比例關系是（202.5°，247.5°］（70%）：（292.5°，337.5°］（30%），其余同理。該過程的實現(xiàn)對應復合算法COM_PR（）第三部分的for循環(huán)，且定理2的正確性已證明完畢。最后將角度形式的空間方向關系轉(zhuǎn)換為SW（70%）：NW（30%）、SW（63.64%）：W（36.36%）、SW（50%）：NW（21.43%）：W（28.57%）。因此，NW（30%）：SW（70%）與W（40%）：S（60%）復合的結(jié)果包括SW（70%）：NW（30%）、SW（63.64%）：W（36.36%）、SW（50%）：NW（21.43%）：W（28.57%）三種情況。為驗證該推理結(jié)果的正確性，進行手工推理，其手工推理的所有可能的空間布局如圖8所示，可得算法COM_PR（）的推理結(jié)果與實際情形一致。

為了進一步驗證COM_PR（）算法的正確性和完備性，通過第二個實例將COM_PR（）算法的推理結(jié)果與文獻［18，23］的方法的推理結(jié)果進行對比分析。例如，源目標對象a與參考對象b、c的空間方向關系是a W（100%） b、b W（40%）：SW（60%） c。

在文獻［23］中提出的復合推理方法采用自然語言描述方向關系矩陣模型，僅對部分定義、定理進行形式化描述，給出了復合思想框架，計算218種基本主方向關系，針對W（100%）W（40%）：SW（60%），通過預處理Br運算和Most運算，得到復合結(jié)果是{SW，W，SW：W}，如圖9所示。

在文獻［18］中提出了一種改進的二維基本主方向關系復合推理方法，形式化描述文獻［23］的復合思想，并對其進行細化，簡化了Most運算，降低了復合的復雜性，針對W（100%）W（40%）：SW（60%），依次轉(zhuǎn)換為方向關系矩陣復合，得到復合結(jié)果仍是{SW，W，SW：W}，如圖9所示。

COM_PR（）算法利用方位角描述空間方向關系，在傳統(tǒng)復合推理算法的基礎上增加了Tile-union運算和Pr運算，得到復合結(jié)果是a SW（100%） c、a W（100%） c、a W（40%）：SW（60%） c。a SW（100%） c表示源目標對象a在參考對象c的西南面，如圖9所示的空間對象a1、b、c的方向關系；a W（40%）：SW（60%） c表示最大范圍內(nèi)源目標對象a的40%在參考對象c的西面、60%在參考對象c的西南面，如圖9所示的a21、a22、a23、…、a2n與參考對象c的方向關系；a W（100%） c表示源目標對象a在參考對象c的西面，如圖10所示的空間對象a2、b、c的方向關系。綜上，經(jīng)上述三個復合推理方法的對比分析，可得本文的推理結(jié)果精度更高，推理結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例。

通過上述兩個實例驗證了COM_PR（）算法的正確性和完備性，COM_PR（）算法在傳統(tǒng)復合推理算法的基礎上增加Tile-union運算和Pr運算，使得推理結(jié)果具有明顯優(yōu)勢，實現(xiàn)了非連通主方向關系的復合，提高了推理的精度，降低了復合結(jié)果的不確定性，該算法可以廣泛應用于空間數(shù)據(jù)中的空間查詢領域。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于Voronoi圖的非連通空間對象方向關系表達模型，即VG-irregular方向關系模型，該模型較好地表達了區(qū)域空間對象間的方向關系，借助Gestalt心理學理論，經(jīng)提取非連通空間對象的特征點、特征鏈，構建空間對象間的可視區(qū)域，生成方向關系Voronoi圖，從而實現(xiàn)了非連通、含洞的空間對象間方向關系的精準描述，更加貼近真實的空間對象，并給出了該模型下非連通對象間主方向關系復合推理算法，該復合方法實現(xiàn)了非連通主方向關系間的復合，推理結(jié)果給出了主方向關系中各原子主方向關系所占比例，提高了復合推理的精度。

未來將圍繞以下問題開展研究：

a）在本文提出的VG-irregular方向關系模型、二維主方向關系復合推理算法的基礎上，結(jié)合現(xiàn)有的反關系推理、一致性檢驗等工作，將本文提出的Pr運算運用在二維主方向關系的反關系推理和一致性檢驗中，提高推理精度，實現(xiàn)二維主方向關系的反關系推理、一致性檢驗等問題的自動計算、推理和分析。

b）在本文研究的基礎上，確立有效融合方向關系、距離關系和拓撲關系的方法。現(xiàn)有的結(jié)合方向關系、距離關系和拓撲關系的空間方位關系模型還無法真正實現(xiàn)三者的統(tǒng)一描述，實際上仍然使用各自相互獨立的描述方法，缺乏統(tǒng)一的表達模型是影響表達和推理精度的主要障礙。

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收稿日期：2024-01-07；修回日期：2024-03-06 基金項目：國家自然科學基金資助項目（61802115，62173126）；河南省科技攻關項目（232102210068，232102210156，232102210085）；河南省高等學校重點科研項目（23A510018）

作者簡介：王淼（1981—），男，河南光山人，副教授，博士，CC會員，主要研究方向為數(shù)據(jù)庫理論與應用、空間關系、空間數(shù)據(jù)查詢與推理等（wmscan@tom.com）；董星星（1998—），女，河南濮陽人，碩士研究生，主要研究方向為數(shù)據(jù)庫理論與應用、空間關系等；高繼勛（1980—），男，河南鄭州人，教授，碩導，主要研究方向為圖像處理、數(shù)據(jù)庫理論與應用等；方振西（1996—），男，河南商丘人，碩士研究生，主要研究方向為數(shù)據(jù)庫理論與應用、空間推理、空間關系等；唐昊（2000—），男，河南鄭州人，碩士研究生，主要研究方向為空間推理、空間數(shù)據(jù)庫理論與應用等；李松（1977—），男，江蘇徐州人，教授，博士，主要研究方向為數(shù)據(jù)庫理論與應用、數(shù)據(jù)挖掘、數(shù)據(jù)查詢和推理.