改進(jìn)綜合實(shí)踐活動(dòng)培養(yǎng)數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力

【摘要】綜合與實(shí)踐是教學(xué)改革中教師要直面的新課題，教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)表層化困境.用好教材中的素材，對(duì)教材的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，更深入開(kāi)展綜合與實(shí)踐活動(dòng)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，能促進(jìn)學(xué)生思維螺旋式上升，培養(yǎng)學(xué)生關(guān)鍵能力.

【關(guān)鍵詞】綜合與實(shí)踐;硬幣滾動(dòng);數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn);關(guān)鍵能力

1問(wèn)題的提出

義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)課程內(nèi)容包括四大領(lǐng)域，即數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐.這四大領(lǐng)域中，綜合與實(shí)踐的開(kāi)展出現(xiàn)表層化困境.出現(xiàn)這一困境，究其原因在于學(xué)科課程至上傾向、普適性目標(biāo)取向、課程統(tǒng)整意識(shí)欠缺、忽視課程評(píng)價(jià)的作用[1].綜合與實(shí)踐的教學(xué)應(yīng)適當(dāng)采用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的方式，設(shè)計(jì)情境真實(shí)、較為復(fù)雜的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)和跨學(xué)科的知識(shí)與方法解決問(wèn)題[2]16.

數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐是教學(xué)改革中教師要直面的新課題，要關(guān)注情境的真實(shí)性、要關(guān)注素材的學(xué)科性、要關(guān)注問(wèn)題解決過(guò)程的合理性，從而突顯立德樹人的價(jià)值.本研究通過(guò)“硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)”項(xiàng)目式學(xué)習(xí)的教學(xué)改進(jìn)，闡述培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的實(shí)踐與思考.

2“硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)”教學(xué)改進(jìn)

數(shù)學(xué)教科書“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的3個(gè)關(guān)鍵特征為綜合性、實(shí)踐性、開(kāi)放性[3].這表明綜合與實(shí)踐活動(dòng)知識(shí)要有層次性、內(nèi)容要有別于教材、活動(dòng)要跳出課堂.在設(shè)計(jì)上要有基于知識(shí)又超越知識(shí)的目標(biāo)追求、基于教材又超越教材的活動(dòng)內(nèi)容、基于課堂又超越課堂的活動(dòng)過(guò)程[4].

案例素材華師大版九年級(jí)下冊(cè)綜合與實(shí)踐.

如圖1，如果將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個(gè)，而另一個(gè)沿著其邊緣滾動(dòng)一周，這時(shí)滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)了多少圈呢？似乎也是一圈？你不妨動(dòng)手實(shí)驗(yàn)一下.你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)此時(shí)實(shí)際上滾動(dòng)了兩圈.嗨！怎么不一樣了？

這是什么原因呢？仔細(xì)想想，就清楚了.原來(lái)那個(gè)滾動(dòng)的硬幣的

圓心移動(dòng)的距離是4πr，而沿著直線滾動(dòng)時(shí)圓心移動(dòng)的距離還是2πr.圖1現(xiàn)在請(qǐng)你與你的同伴一起，重復(fù)以上實(shí)驗(yàn)，并嘗試做一些新的實(shí)驗(yàn)，看看這里隱含著什么樣的數(shù)學(xué)規(guī)律.

2.1教學(xué)改進(jìn)之一：硬幣在直線上運(yùn)動(dòng)

2.1.1創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認(rèn)知沖突.

教師拿出兩枚硬幣并提出問(wèn)題：將兩枚同樣大小的硬幣放在桌上，固定其中一個(gè)，另一個(gè)沿著其邊緣滑動(dòng)一周，這時(shí)滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)了多少圈呢？

受制于教材編寫的需要，“案例素材”把學(xué)生必需經(jīng)歷的“關(guān)鍵”探索過(guò)程直白告知學(xué)生，使學(xué)生的認(rèn)知沖突變淡了，加上知識(shí)的跳躍性比較大，這就考驗(yàn)教師處理教材的能力，即如何引導(dǎo)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”.

學(xué)生在課堂發(fā)生了爭(zhēng)論，有的學(xué)生說(shuō)是一圈，有的學(xué)生說(shuō)是兩圈.

2.1.2實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證猜想結(jié)論.

師：既然大家意見(jiàn)不統(tǒng)一，請(qǐng)大家把準(zhǔn)備好的兩枚硬幣拿出來(lái)，動(dòng)手演示，看看結(jié)果如何.

全班氣氛馬上活躍起來(lái)，學(xué)生動(dòng)手操作，得出了比較一致的結(jié)論.

生：兩圈.

師：明明是在圓周上滾動(dòng)一圈，為什么轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)是兩圈呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生提出問(wèn)題：硬幣在圓周上滾動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)的圈數(shù)由什么決定？

2.1.3過(guò)程剖析，得到關(guān)鍵結(jié)論.

如何計(jì)算硬幣滾動(dòng)的距離具有重要的教學(xué)價(jià)值.

引導(dǎo)學(xué)生觀察：滾動(dòng)的硬幣圓心起什么作用？

師：如圖2，將一枚半徑為r的硬幣沿直線滾動(dòng)一圈，硬幣滾動(dòng)的距離是多少？

生：等于圓的周長(zhǎng)2 πr.

師：為什么？

生：圓周上任意一點(diǎn)滾動(dòng)一周的距離，等于圓的周長(zhǎng).

師：大家觀察一下，圓心在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)的路徑是什么？運(yùn)動(dòng)距離等于多少？

生：圓心運(yùn)動(dòng)的路徑是線段，因?yàn)樗倪呅蜛BO′O是矩形，所以AB=OO′，即硬幣滾動(dòng)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)等于硬幣滾動(dòng)的距離.

找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵：硬幣在直線上滾動(dòng)，硬幣滾動(dòng)的距離等于圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

師：反過(guò)來(lái)，當(dāng)一枚半徑為r的硬幣，在長(zhǎng)為a的線段AB上從A點(diǎn)滾動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，需滾動(dòng)多少圈？

生：a2πr圈.

現(xiàn)實(shí)背景中，要計(jì)算“硬幣滾動(dòng)的距離”比較困難，幫助學(xué)生在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為“圓心移動(dòng)的路徑長(zhǎng)”進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，就找到問(wèn)題的關(guān)鍵，為解決上述問(wèn)題找到“鑰匙”.

2.2教學(xué)改進(jìn)之二：硬幣在折線上運(yùn)動(dòng)

2.2.1直折結(jié)合，進(jìn)行簡(jiǎn)單抽象.

引導(dǎo)學(xué)生循序漸進(jìn)，運(yùn)用從特殊到一般的思想，用數(shù)學(xué)的思維思考世界.

師：如圖3，若線段AB長(zhǎng)為a，點(diǎn)C為線段AB上任意一點(diǎn)，在C處將線段AB折成直角，這時(shí)這枚半徑為r的硬幣從點(diǎn)A滾動(dòng)到點(diǎn)B需多少圈？

學(xué)生解決硬幣在直線上滾動(dòng)的問(wèn)題后，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題：如果硬幣不是在直線上滾動(dòng)，而是在折線上滾動(dòng)，硬幣滾動(dòng)了多少圈？滾動(dòng)的路徑長(zhǎng)又如何計(jì)算？

2.2.2辨析問(wèn)題，從特殊到一般.

留下足夠的時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

生1：a2πr圈.

生2：不對(duì)，a2πr+14圈.

師：為什么？

生2：因?yàn)椤螮CF=90°，所以圓心滾動(dòng)的路徑比直線段增加了90360·2πr=12πr的弧長(zhǎng)，所以滾動(dòng)了a+12πr2πr=a2πr+14圈.

師：如圖4，若線段AB長(zhǎng)為a，點(diǎn)C為線段AB上任一點(diǎn)，在C處將線段AB折成∠ACB=α，這時(shí)這枚半徑為r的硬幣從點(diǎn)A滾動(dòng)到點(diǎn)B需多少圈？

生：因?yàn)椤螮CF=（180－α）°，所以圓心滾動(dòng)的路徑比直線增加了180－α360·2πr=1－α180πr，所以滾動(dòng)了a+1－α180πr2πr=a2πr+180－α360圈.

圓在折線上滾動(dòng)，把圓心運(yùn)動(dòng)的路徑，分解成圓在線段上和圓繞折角頂點(diǎn)滾動(dòng)的路徑，這就是“會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界”的體現(xiàn).

2.3教學(xué)改進(jìn)之三：硬幣在多邊形外側(cè)滾動(dòng)

師：以上的研究都是硬幣在線段和折線上運(yùn)動(dòng)，本案例中硬幣在封閉的圖形中滾動(dòng)，怎么把折線變成封閉圖形？

生：如果折線經(jīng)過(guò)多次彎折，就可能使圖形封閉成三角形、四邊形或n邊形.

師：如圖5，若一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為a，這枚硬幣沿三角形的外側(cè)滾動(dòng)一周需轉(zhuǎn)多少圈？

師：如圖6，若一個(gè)四邊形的周長(zhǎng)為a，這枚硬幣沿四邊形的外側(cè)滾動(dòng)一周需轉(zhuǎn)多少圈？

師：如圖7，若一個(gè)n邊形的周長(zhǎng)為a，這枚硬幣沿n邊形的外側(cè)滾動(dòng)一周需轉(zhuǎn)多少圈？

生：不管是三角形、四邊形、還是n邊形，多邊形外角增加的圓弧的圓心角為180n－180（n－2）=360°，即增加的圓弧長(zhǎng)為2πr，所以轉(zhuǎn)的圈數(shù)為a+2πr2πr=a2πr+1圈.

當(dāng)圓在多邊形外側(cè)邊緣滾動(dòng)時(shí)，把圓心經(jīng)過(guò)的路徑進(jìn)行分解，從而回歸簡(jiǎn)化模型.這種思維是自然而然、合乎邏輯發(fā)生的，不是教師強(qiáng)加給學(xué)生，而是學(xué)生在教師的啟發(fā)下“會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界”.

2.4教學(xué)改進(jìn)之四：硬幣在圓周外側(cè)滾動(dòng)

通過(guò)前面的探究，基本可以達(dá)成以下三點(diǎn)共識(shí)：

第一，硬幣在直線、折線和多邊形外側(cè)滾動(dòng)，滾動(dòng)的距離等于圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng).

第二，圓在多邊形上滾動(dòng)，可以分解成圓在線段上滾動(dòng)和繞頂點(diǎn)滾動(dòng)，每一個(gè)折線處的軌跡是圓弧，每一個(gè)折角處的度數(shù)之和等于360°.

第三，把多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加，多邊形就會(huì)無(wú)限接近于一個(gè)圓.

師：前面所提出的兩個(gè)硬幣轉(zhuǎn)多少圈的問(wèn)題能否解決？可以嘗試?yán)脴O限思想.

生：如圖8，移動(dòng)的硬幣圓心的路徑是以點(diǎn)O為圓心，半徑等于原來(lái)半徑的兩倍的圓周上，此時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)是硬幣周長(zhǎng)的兩倍，所以移動(dòng)的硬幣轉(zhuǎn)了兩圈.

至此，問(wèn)題得到解決.通過(guò)綜合與實(shí)踐，學(xué)生在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，探究出事物運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律，培養(yǎng)了學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

2.5教學(xué)改進(jìn)之五：硬幣在多個(gè)圓周外側(cè)滾動(dòng)

創(chuàng)設(shè)相同或相似的問(wèn)題，讓學(xué)生通過(guò)知識(shí)遷移解決問(wèn)題.

如圖9，將一枚半徑為r的硬幣沿著另一枚半徑為2r的硬幣的邊緣滾動(dòng)一周，這時(shí)滾動(dòng)的硬幣滾動(dòng)多少圈？

如圖10，將4枚相同硬幣擺放在桌上，固定1，2，3枚，讓第4枚沿它們的邊緣從圓O滾動(dòng)到圓O′的位置，這枚硬幣滾動(dòng)多少圈？

“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)，不要過(guò)于急“趕”進(jìn)度，而是要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解決問(wèn)題的活動(dòng)過(guò)程，這樣所能起到的效果，一定也不亞于教師的講解[5]．在“硬幣滾動(dòng)中的數(shù)學(xué)”的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷了完整的解決問(wèn)題的活動(dòng)過(guò)程（圖11）.

本案例高度契合《新課標(biāo)》中新增的“學(xué)業(yè)質(zhì)量”內(nèi)涵的描述.以結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)知識(shí)主題為載體，讓學(xué)生形成抽象能力、推理能力、運(yùn)算能力、幾何直觀和空間觀念等.；第二，從符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的、熟悉的數(shù)學(xué)情境中，形成模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)等；第三，學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運(yùn)用、實(shí)踐探索活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累，初步養(yǎng)成獨(dú)立思考、探究質(zhì)疑、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，初步形成自我反思的意識(shí)[2].

3改進(jìn)綜合與實(shí)踐、培養(yǎng)關(guān)鍵能力的幾點(diǎn)思考

尋找綜合與實(shí)踐方面的素材不易，不要輕易舍棄教材中的素材，而是要挖掘課本習(xí)題中有價(jià)值素材并加以改進(jìn)，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的重要抓手，處理得當(dāng)，事半功倍.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，勢(shì)必要關(guān)注到綜合與實(shí)踐活動(dòng)的綜合性、實(shí)踐性和開(kāi)放性的特征，據(jù)此開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)才能取得良好的效果.

3.1綜合性要求教師要關(guān)注“問(wèn)題”

教什么永遠(yuǎn)比怎么教更重要，因?yàn)榻淌裁大w現(xiàn)了教育背后的價(jià)值意義[6].“問(wèn)題”的選擇方面，要避免課程內(nèi)容與學(xué)科的割裂，忌淺層體驗(yàn)、忌知識(shí)堆砌、忌個(gè)人主義.通過(guò)探究動(dòng)機(jī)、解構(gòu)、創(chuàng)生、生長(zhǎng)的發(fā)生機(jī)理，期待深度學(xué)習(xí)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中的回歸[7].教師有必要對(duì)活動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行校本建構(gòu)，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平、思維方式、性別差異等，在主題活動(dòng)過(guò)程中生成活動(dòng)主題[8].

“問(wèn)題”開(kāi)發(fā)方面，要通過(guò)借鑒、整合、超越現(xiàn)實(shí)素材，形成項(xiàng)目式學(xué)習(xí)問(wèn)題，開(kāi)發(fā)具有數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)的綜合與實(shí)踐課程，由點(diǎn)到面，由單項(xiàng)活動(dòng)拓展到多項(xiàng)活動(dòng).問(wèn)題的開(kāi)發(fā)要遵循量力而行的原則，要注意體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)，要注意跨學(xué)科素材的積累；要能引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，誘發(fā)認(rèn)知沖突；要解構(gòu)素材，有探究的價(jià)值與意義；要有利于“創(chuàng)生”，進(jìn)行內(nèi)容與形式的“再創(chuàng)造”；要有利于“生長(zhǎng)”，讓學(xué)生從小課堂走向大社會(huì).

3.2實(shí)踐性要求教師要關(guān)注“過(guò)程”

課程目標(biāo)中“四基”“四能”的提出，都指向?qū)W生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的培養(yǎng)要重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程.從小學(xué)階段的主題式學(xué)習(xí)到初中階段的項(xiàng)目式，均要求教師要以合作者的身份參與活動(dòng)過(guò)程，成為綜合與實(shí)踐活動(dòng)的共同體.

關(guān)注綜合實(shí)踐活動(dòng)的“過(guò)程性”，要求教師首先要探明學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，并據(jù)此采取不同的對(duì)策：如果學(xué)生缺乏實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，教師要做好活動(dòng)規(guī)劃，再進(jìn)行必要示范.對(duì)于較復(fù)雜的活動(dòng)，教師要分解活動(dòng)的過(guò)程，找出學(xué)生開(kāi)展活動(dòng)的難點(diǎn)，做好活動(dòng)前的充分準(zhǔn)備，再根據(jù)學(xué)生的實(shí)際，進(jìn)行必要的活動(dòng)示范與說(shuō)明，增加學(xué)生活動(dòng)體驗(yàn)與參與過(guò)程.

如果學(xué)生具備一定的基礎(chǔ)，教師要為學(xué)生提供必要工具與技術(shù)支撐.常見(jiàn)的支架包括：（1）獲取和收集信息的渠道；（2）可視化的數(shù)據(jù)分析工具；（3）交互和分享信息的平臺(tái)；（4）模型設(shè)計(jì)和驗(yàn)證的技術(shù)；（5）展示作品和觀點(diǎn)的途徑[9]．提供支架本質(zhì)就是關(guān)注學(xué)生的活動(dòng)“過(guò)程”，讓學(xué)生活動(dòng)得以順利、高效地開(kāi)展.

3.3開(kāi)放性要求教師要關(guān)注“評(píng)價(jià)”

“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的開(kāi)放性是指：在活動(dòng)的條件、問(wèn)題、過(guò)程、結(jié)果等環(huán)節(jié)上具有的多種可能[3]．這決定了教師要對(duì)活動(dòng)的條件、問(wèn)題、過(guò)程等進(jìn)行全方位的評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)指向?qū)W生的學(xué)習(xí)能力發(fā)展.參考學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)價(jià)的主體要多元化，評(píng)價(jià)的方式要多樣化，評(píng)價(jià)要有利于學(xué)生自我監(jiān)控活動(dòng)的過(guò)程和結(jié)果.

評(píng)價(jià)活動(dòng)的“問(wèn)題”，要考慮是否融合“四基”的內(nèi)容，問(wèn)題是否具有現(xiàn)實(shí)意義，是否有利于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)來(lái)源于生活又服務(wù)于生活，讓學(xué)生通過(guò)“問(wèn)題”用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；評(píng)價(jià)活動(dòng)的“過(guò)程”，要考慮是否融合“四能”的過(guò)程，是否充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)習(xí)的信心，是否充分經(jīng)歷猜想、操作、驗(yàn)證過(guò)程，在探究過(guò)程中面對(duì)挑戰(zhàn)性的任務(wù)，能勇于探索，樂(lè)于實(shí)踐，讓學(xué)生在實(shí)踐“過(guò)程”中用數(shù)學(xué)的思維思考世界；評(píng)價(jià)活動(dòng)的“結(jié)果”，要考慮學(xué)生是否能感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，能否感悟尊重事實(shí)、講明道理的科學(xué)精神，體會(huì)數(shù)學(xué)表達(dá)的簡(jiǎn)潔與統(tǒng)一，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，將立德樹人落到實(shí)處.

4結(jié)束語(yǔ)

設(shè)計(jì)主題明確的綜合與實(shí)踐活動(dòng)，圍繞該主題進(jìn)行充分的建模、解模、應(yīng)用，遵循認(rèn)知螺旋式上升的規(guī)律，讓學(xué)生在學(xué)法上經(jīng)歷“陌生—熟悉—貫通”的過(guò)程，經(jīng)歷“簡(jiǎn)單模仿—熟練掌握—?jiǎng)?chuàng)新方法”的過(guò)程，這是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力的有效途徑[10].曹一鳴教授提出的數(shù)學(xué)學(xué)科能力框架，將學(xué)生關(guān)鍵能力表現(xiàn)分為三個(gè)階段 ，即“學(xué)習(xí)理解—實(shí)踐應(yīng)用—?jiǎng)?chuàng)新遷移”，綜合實(shí)踐課包括著現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題解決的全過(guò)程，屬于創(chuàng)新遷移階段的表現(xiàn).建立在“真實(shí)情境”上的實(shí)踐改進(jìn)活動(dòng)，能為激發(fā)學(xué)生探究熱情提供源源不竭的動(dòng)力，讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中不斷提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力.

參考文獻(xiàn)

[1]高霞，陳莉，唐漢衛(wèi).中小學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)：困境、成因與出路[J].課程·教材·教法，2020（03）：76-80.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：人民教育出版社，2022：4.

[3]李海東，李健.新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)教科書“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)：“關(guān)鍵特征”“基本類型”與“呈現(xiàn)要點(diǎn)”[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（10）：14-18.

[4]張偉俊.數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的有效設(shè)計(jì)研究[J].上海教育科研，2018（10）：82-86.

[5]吳立寶，劉穎超.比較視域下的“綜合與實(shí)踐”學(xué)習(xí)領(lǐng)域解析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（10）：19-23.

[6]孫學(xué)東.如何設(shè)計(jì)和實(shí)施數(shù)學(xué)跨學(xué)科實(shí)踐項(xiàng)目[J].人民教育，2022（15/16）：102-103.

[7]沈小碚，羅章.論深度學(xué)習(xí)在綜合實(shí)踐活動(dòng)中的發(fā)生機(jī)理[J].教育科學(xué)研究，2021（10）：77-81.

[8]李臣之，阮沁汐，鄧智虎.中學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)主題適應(yīng)性調(diào)查研究[J].課程·教材·教法，2020（06）：22-28.

[9]郭衎，曹一鳴.綜合與實(shí)踐：從主題活動(dòng)到項(xiàng)目學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（10）：9-13.

[10]潘竹樹，李祎.借助數(shù)學(xué)模型 培養(yǎng)關(guān)鍵能力：以“最短路徑問(wèn)題”為例[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2022，61（10）：39-43.

作者簡(jiǎn)介 潘竹樹（1976—），男，中學(xué)高級(jí)教師，福建省中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人；初中數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力培養(yǎng)研究獲福建省教育學(xué)會(huì)評(píng)選的基礎(chǔ)教育教學(xué)成果類三等獎(jiǎng)，論文類二等獎(jiǎng);主要從事初中數(shù)學(xué)教育教學(xué)研究，發(fā)表文章10余篇，其中1篇被中國(guó)人民大學(xué)復(fù)印報(bào)刊資料中心《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載.