基于協(xié)方差矩陣優(yōu)化重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法

李梓正,曹司磊,王 瑤

(海軍航空大學,山東 煙臺 264000)

0 引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)作為陣列信號處理的一重要分支,旨在通過一定的優(yōu)化準則,計算陣列最優(yōu)加權(quán)矢量,達到有效抑制干擾、噪聲來獲得高處理增益并提高輸出信干噪比(signal to interference and noise ratio,SINR)的效果,在通信系統(tǒng)、航天、醫(yī)療、雷達等領(lǐng)域中均有廣泛應(yīng)用[1-2]。典型的波束形成器,如標準Capon波束形成器,在理想情況下可達到最優(yōu)性能[3],然而,實際工作場景中由于存在目標來波方向誤差、陣列位置誤差等,導致波束形成器輸出性能下降嚴重。

目前,諸多學者在穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成領(lǐng)域進行了深入研究,提出的方法主要涵蓋:加載類算法[4-9]、不確定集算法[10-14]和協(xié)方差矩陣重構(gòu)類算法[15-20]等。

文獻[4]提出了對樣本協(xié)方差矩陣的對角元素加載一個常數(shù)以提高魯棒性的對角加載(loading sample matrix inversion,LSMI)算法,該算法普適性較強,但對最佳加載值的選取并未有確定的方法,加載值過大易降低干擾抑制能力,加載值過小對算法的改善影響較為有限。文獻[8]提出了一種自適應(yīng)可變對角加載技術(shù)(automatic variable loading technology,AVL-RAB)當輸入信噪比(signal to noise ratio,SNR)較低時以非均勻加載矩陣為主導,當輸入SNR較高時以可變對角加載矩陣為主導,提升了高SNR下輸出性能,但算法抗干擾能力有所減弱。

文獻[12]提出了目標導向矢量雙層估計的穩(wěn)健波束形成算法,首先將目標信號大致方位區(qū)間上的導向矢量構(gòu)建一個線性空間,并將其用線性空間基向量組合表示,然后構(gòu)建不確定集約束校正目標信號導向矢量,提高了波束形成器導向矢量失配誤差下的穩(wěn)健性,但在低SNR環(huán)境下,輸出性能下降嚴重。文獻[16]研究了穩(wěn)健Capon波束形成(robust capon beamforming,RCB)算法,建立導向矢量不確定集約束,求解不確定集系數(shù),當導向矢量誤差較小時,算法魯棒性較好,但當導向矢量失配時性能下降嚴重。文獻[21]通過對目標信號導向矢量進行線性約束,提升了波束形成器的穩(wěn)健性,并添加了阻塞矩陣預選環(huán)節(jié)解決了線性約束帶來的自由度損失問題。

樣本協(xié)方差矩陣中含有期望信號分量,會極大影響算法的性能,剔除期望信號分量時易引入其他誤差,影響后續(xù)的計算過程;不確定集算法約束的大小難以確定,在各種誤差存在的情況下性能波動較大。針對上述問題,本文中提出基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣優(yōu)化重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。首先,通過Capon功率譜得到目標導向矢量的預估值,重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣;然后,建立干擾導向矢量不確定集約束,干擾加噪聲矩陣的優(yōu)化估計值;繼而,根據(jù)子空間擴展知識,構(gòu)造導向矢量誤差不確定集約束模型,循環(huán)迭代更新目標導向矢量和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣,最終得到二者穩(wěn)態(tài)估計值并計算加權(quán)矢量。

1 陣列信號模型

考慮陣元數(shù)為M的理想一維均勻線陣,假設(shè)空間中有K個入射信號,目標信號從θ0方向入射,K-1個干擾信號從θi(i=1,2,…,K-1)方向入射,假設(shè)入射信號與噪聲之間相互統(tǒng)計獨立,則陣列在t時刻的接收信號可表示為

(1)

a(θi)=[1,ej(2πd/λ)sinθi,…,ej(M-1)(2πd/λ)sinθi]H

(2)

其中:a(θi)和si(t)分別為第i個射信號的導向矢量和復包絡(luò),n(t)為噪聲信號,λ為信號波長,d為陣元間距。

陣列接收信號的協(xié)方差矩陣可表示為

R=E[X(t)XH(t)]=Rs+Ri,n

(3)

(4)

(5)

實際工作中,矩陣R一般是未知的,故采用樣本協(xié)方差矩陣代替如式(6)所示:

(6)

式中:P為快拍數(shù)。

2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣優(yōu)化重構(gòu)

2.1 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣預估計

假設(shè)目標大致出現(xiàn)的區(qū)域為Θ,在該區(qū)域內(nèi)對Capon功率譜求積分,則有

(7)

將矩陣Q特征值分解,以其最顯著特征值對應(yīng)的特征向量作為目標導向矢量的估計值。

(8)

式中:Umax是Q特征值分解后最顯著特征值對應(yīng)特征向量。

從而可將期望信號的自相關(guān)矩陣估計為

(9)

(10)

式中:σd表示對角加載量。

2.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣優(yōu)化重構(gòu)

(11)

(12)

通過拉格朗日乘數(shù)法對式(12)求解,則干擾導向矢量可表示為

(13)

式中:參數(shù)μ的值由如下計算式給出

(14)

得出干擾導向矢量的優(yōu)化估計值后,繼而求解干擾信號功率。

(15)

設(shè)a(θl)與a(θk)為入射方向不同的信號導向矢量,在信號入射方位稀疏的條件下,不同角度的信號導向矢量相互正交[25],則當l≠k時,有aH(θl)a(θk)=0。在式(15)的左右兩端分別乘aH(θl)和a(θl)得

(16)

進而可得出干擾信號功率表達式:

(17)

假設(shè)噪聲扇區(qū)為Θn,則可由下式計算剩余噪聲[26]

(18)

式中:N為噪聲扇區(qū)中的采樣點數(shù)量,a(θn)為角度θn對應(yīng)的標稱導向矢量。則噪聲功率可估計為

(19)

(20)

(21)

3 目標導向矢量估計

(22)

基于此,為最大化陣列輸出功率,并減小干擾及噪聲對目標導向矢量的影響,建立約束關(guān)系如下:

(23)

(24)

4 算法求解及步驟

設(shè)參數(shù)β為收斂系數(shù),參數(shù)itmax為最大迭代次數(shù),設(shè)

(25)

則收斂條件可表示為

(26)

式中:t為已完成的迭代次數(shù),當t≤itmax時,以式(26)第1、2項不等式約束為終止判決條件;而當t>itmax時,迭代終止。

(27)

式中:ω為加權(quán)矢量。

分析式(26)易知,β和itmax的大小會影響迭代結(jié)果的精度和迭代的次數(shù);β過小或itmax過大會導致迭代次數(shù)增多,算法迭代時間過長;β過大或itmax過小會導致迭代精度下降。本文中算法流程如圖1所示。

圖1 算法流程圖

步驟4由式(26)判斷是否滿足迭代終止條件,不滿足則重復上述步驟。

5 仿真實驗

考慮陣元數(shù)為8的理想一維均勻線陣,陣元間距設(shè)置為0.5λ。本節(jié)中,假設(shè)目標信號實際來波方向為5,干擾信號來波方向為-10°和20°,干噪比均設(shè)為30 dB,噪聲均為高斯白噪聲,目標信號與干擾信號間統(tǒng)計無關(guān)。將本文中算法與LSMI算法、RCB算法、AVL-RAB算法分析對比,每次仿真均進行100次獨立的蒙特卡洛實驗。

5.1 抗目標來波方向誤差算法仿真及分析

本小節(jié)中,設(shè)期望信號來波方向誤差服從[-3,3]區(qū)間內(nèi)的隨機分布,則實際信號來波方向服從[2,8]區(qū)間內(nèi)的隨機分布,快拍數(shù)設(shè)為200,輸入SNR取[-30 dB,40 dB];分析各算法輸出性能隨快拍數(shù)變化趨勢時,輸入SNR設(shè)為1 dB。將各算法100次蒙特卡洛實驗的輸出SINR做統(tǒng)計平均,仿真結(jié)果如圖2所示。

圖2 目標來波方向誤差下仿真對比

分析圖2(a)可知,當目標來波方向誤差存在時,LSMI算法在10 dB輸出性能達到最優(yōu),隨著SNR提高,算法性能下降嚴重;RCB算法用于求取權(quán)值的樣本協(xié)方差矩陣仍包含期望信號在高SNR輸入下,性能下降明顯,曲線斜率變小;AVL-RAB算法采用了可變加載值加載矩陣表現(xiàn)整體優(yōu)于RCB算法,但高SNR輸入下性能仍有不足;本文中算法輸出性能總體較好,尤其在高SNR輸入下輸出性能仍穩(wěn)定提升。

分析圖2(b)可知,本文中算法與AVL-RAB算法總體表現(xiàn)較好,尤其是在小塊拍數(shù)下,快拍數(shù)大于50次后,基本達到收斂,隨快拍數(shù)增大二者輸出SINR提高速度變緩,且逐步接近理論最優(yōu)值。

5.2 抗陣元位置誤差算法仿真及分析

設(shè)每個陣元實際位置相對理想位置偏移誤差在[-0.05λ,0.05λ]區(qū)間內(nèi)隨機分布,期望信號來波方向誤差設(shè)置為3,輸入信噪比取[-30 dB,40 dB],快拍數(shù)為200;仿真各算法輸出性能隨快拍數(shù)變化趨勢時,輸入SNR設(shè)為0 dB。將各算法100次蒙特卡洛實驗的輸出SINR做統(tǒng)計平均,仿真結(jié)果如圖3所示。

圖3 陣列位置誤差下仿真對比

分析圖3(a)可知,當陣列位置誤差存在時,LSMI算法性能隨輸入SNR提高下降嚴重,說明其抗陣列位置誤差干擾性能較差,AVL-RAB算法輸出性能總體優(yōu)于RCB算法,但小塊拍數(shù)下性能有所下降,是因正交矩陣特征向量計算不準確導致,本文中算法對干擾加噪聲協(xié)方差矩陣進行了優(yōu)化重構(gòu),表現(xiàn)優(yōu)于其他3種算法,具備對陣列位置誤差的穩(wěn)健性。

分析圖3(b)可知,本文中算法在小快拍數(shù)下輸出性能較其他算法有明顯優(yōu)勢,且收斂速度較快,當快拍數(shù)大于70次后接近收斂,并逐漸接近理論最優(yōu)值。

5.3 抗陣列互耦誤差算法仿真及分析

設(shè)互耦矩陣為C,對理想一維均勻線陣,矩陣C為Toeplitz形式,本小節(jié)中,僅考慮相鄰陣元間的互耦效應(yīng),互耦系數(shù)設(shè)為0.5exp-jπ/2,其余實驗條件設(shè)置如上,無特殊說明,將100次蒙特卡洛實驗的輸出做統(tǒng)計平均,仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 陣列互耦誤差下仿真對比

分析圖4(b)可知,本文中算法輸出SINR隨快拍數(shù)穩(wěn)健提升,且在較小快拍數(shù)條件下較其他算法仍有優(yōu)勢,在快拍數(shù)大于70次后基本收斂。

6 結(jié)論

本文中提出了基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣優(yōu)化重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。算法的基本思想是基于目標導向矢量和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的聯(lián)系,稀疏重構(gòu)協(xié)方差矩陣;采用循環(huán)迭代的方法求解建立的目標導向矢量誤差優(yōu)化模型,得出最優(yōu)加權(quán)矢量。仿真實驗表明:該算法抗文中所述的3種失配誤差能力較強,穩(wěn)健性較好,尤其在快拍數(shù)較小或SNR較高的條件下輸出性能較之其他算法明顯提升。但本文中算法綜合復雜度較高,降低算法的復雜度是后續(xù)研究中的重點內(nèi)容。