從“錯誤診斷”到“彌補教學(xué)”

摘 要：在高三復(fù)習(xí)課教學(xué)中，如何做到有的放矢，讓課堂教學(xué)高效精準(zhǔn)，是一線教師重點關(guān)注的話題之一。這需要基于認(rèn)知心理學(xué)，對學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的典型錯誤進(jìn)行認(rèn)知診斷，然后通過交流與研討，精準(zhǔn)地確定教學(xué)目標(biāo)，提煉解題方法，并借助“形同”問題設(shè)計針對性的彌補教學(xué)。

關(guān)鍵詞：錯誤診斷；方法提煉；彌補教學(xué)；磁聚焦法

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1003-6148（2024）9-0087-6

有學(xué)者曾經(jīng)打過一個形象的比方，將試卷講評過程比喻為醫(yī)生診療過程：高效的診療過程往往是先用檢測儀器發(fā)現(xiàn)病灶，然后對病灶進(jìn)行病理檢測，再參考治療標(biāo)準(zhǔn)確定治療方案，最后用科學(xué)措施進(jìn)行有效治療［１］。而教師試卷講評過程是通過學(xué)生的解題發(fā)現(xiàn)錯誤，然后根據(jù)教師個人經(jīng)驗以及通過對學(xué)生進(jìn)行訪談診斷錯誤原因，再根據(jù)診斷結(jié)果進(jìn)行交流與研討，確定教學(xué)目標(biāo)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，最后尋找或編制“形同”試題對錯誤進(jìn)行針對性彌補教學(xué)。這一過程可以通過圖１體現(xiàn)。

下面以高三選考復(fù)習(xí)課——帶電粒子在圓形邊界磁場中運動的問題中，常用到的“等半徑磁聚焦（或磁發(fā)散）法”為例，介紹由“診斷錯因”到“提煉方法”再到“彌補教學(xué)”的復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計。

１ 收集典型錯誤，進(jìn)行錯因診斷

１．１ 設(shè)置典型例題

通過下面例題可以獲取學(xué)生對“等半徑磁聚焦（或磁發(fā)散）法”的掌握情況與思維過程。

例題 如圖２所示，邊長為Ｌ的正方形區(qū)域ＳＡＣＤ內(nèi)的適當(dāng)區(qū)域（圖中未畫出）中分布有勻強磁場。位于Ｓ處的粒子源，沿紙面向正方形區(qū)域內(nèi)各個方向均勻發(fā)射速率為ｖ０的帶負(fù)電粒子，粒子的質(zhì)量為ｍ，電荷量為ｑ。所有粒子均從Ｓ點進(jìn)入磁場，離開磁場時速度方向均與ＳＤ平行，其中沿ＳＡ方向射入磁場的粒子從Ｃ點射出磁場。緊靠ＣＤ放置一收集板，粒子打到收集板后通過接地導(dǎo)線及時導(dǎo)走。不計粒子的重力和相互作用。

（１）求磁場的磁感應(yīng)強度Ｂ和磁場分布的最小面積Ｓ；

（２）若Ｓ處粒子源每秒射出粒子數(shù)為Ｎ，求穩(wěn)定后每秒打在收集板下半部分的粒子數(shù)ｎ。

正確解答：

（１）根據(jù)粒子帶電性和偏轉(zhuǎn)方向，由左手定則可以判斷磁感應(yīng)強度Ｂ方向為垂直于紙面向里。

由題意，所有粒子離開磁場時速度方向均與ＳＤ平行，根據(jù)磁聚焦（或磁發(fā)散）結(jié)論可知，磁場半徑ｒ與粒子軌跡半徑Ｒ相等，r=R=L。

１．２ 典型錯誤表現(xiàn)

（１）對磁場最小面積Ｓ的求解存在的錯誤：

根據(jù)磁聚焦（或磁發(fā)散）結(jié)論可知，磁場分布為四分之一圓弧，如圖４所示，且磁場半徑ｒ與粒子軌跡半徑Ｒ相等，r=R=L。

１．３ 教師經(jīng)驗診斷

從上面解答可以看出，這些學(xué)生對等半徑磁聚焦規(guī)律，頭腦中是有的，而且在解題過程中能及時調(diào)用，但從解答情況可以反映出兩個問題：

（１）這些學(xué)生對每秒打在收集板下半部分的粒子數(shù)求解不對，可能存在如下原因：其一，他們知道收集板各位置都有粒子打到，這一點是好的，但他們同時認(rèn)為打到板上的粒子是均勻分布的，殊不知粒子從Ｓ點射入磁場時各方向是均勻的，但通過磁場偏轉(zhuǎn)后分布已經(jīng)不均勻，這一點需要清楚；其二，他們知道打到板上的粒子不是均勻分布的，但對粒子出射磁場的位置與入射方向的關(guān)系沒弄清楚，也就是不知道所謂“徑速角相等”，以為打到板的中點對應(yīng)入射角是４５°。所以，需要對磁聚焦問題的深層次結(jié)論進(jìn)行進(jìn)一步理解。

（２）磁場分布的最小面積分析有誤，只分析出磁場下邊界，即構(gòu)成磁聚焦結(jié)論的原磁場的四分之一圓弧，這一點再次說明該同學(xué)頭腦中是有“等半徑磁聚焦”規(guī)律的，并能加以應(yīng)用。但對磁場上邊界沒有進(jìn)一步思考，沒有對邊界粒子軌跡進(jìn)行分析，或者沒有對題中最小面積的“最小”兩個字進(jìn)行深入理解。

１．４ 學(xué)生訪談診斷

對學(xué)生解答批閱后，筆者找來了幾位第1小問“最小面積”和第2小問“收集板下半部分的粒子數(shù)ｎ”均求錯的學(xué)生進(jìn)行訪談。

師：解題時，你大腦中能涌現(xiàn)“等半徑磁聚焦”的結(jié)論嗎？你清楚它的使用條件嗎？

生：以前在磁場習(xí)題課中老師講過，結(jié)論依稀記得，但來龍去脈不是很清楚。

師：你認(rèn)為每秒打在收集板下半部分的粒子數(shù)為Ｎ/２，這是基于什么考慮的？

生：所有粒子均打到收集板上，所以收集板上半部分、下半部分各收集到一半粒子。

師：粒子打到收集板上分布均勻嗎？

生：解題的時候沒想這個問題，看到題設(shè)中粒子從Ｓ處向各個方向均勻發(fā)射時注意到了。

師：對磁場分布的最小面積求解時，你為什么沒考慮到上邊界也是圓弧呢？

生：可能只關(guān)注了要求粒子出磁場速度方向均與ＳＤ平行，要求構(gòu)成磁聚焦（或磁發(fā)散），磁場邊界需要圓形，而沒有深究磁場如何分布才使面積最小。

同時，筆者也對求解正確的學(xué)生進(jìn)行訪談。

師：你對“等半徑磁聚焦”的結(jié)論清楚嗎？

生：基本清楚，需要圓形磁場半徑與粒子圓軌道半徑相等。

師：知道粒子進(jìn)入磁場時速度的方向與出射時的位置存在什么規(guī)律嗎？

生：不是很清楚。

通過學(xué)生訪談可以知道，對于典型錯誤的原因，教師根據(jù)個人經(jīng)驗進(jìn)行的判斷與學(xué)生犯錯的實際原因基本吻合。可以斷定出現(xiàn)典型錯誤的原因：一是學(xué)生對粒子在圓形邊界磁場中運動常要應(yīng)用到的磁聚焦（或磁發(fā)散）的來龍去脈不清楚或一知半解；二是學(xué)生對磁聚焦（或磁發(fā)散）的深層次結(jié)論（如徑速角相等）沒有挖掘；三是審題不細(xì)，對題中關(guān)鍵詞句（如最小面積）沒有深究。

2 強化核心素養(yǎng)，提煉解題方法

通過學(xué)生的錯誤解答，以及對錯解學(xué)生的訪談，結(jié)合正解學(xué)生的訪談，要無障礙解決這類問題需要具備如下學(xué)科核心素養(yǎng)。

２．１ 具備準(zhǔn)確的物理觀念

（１）等半徑磁聚焦（或磁發(fā)散）規(guī)律

一群相同的帶電粒子平行射入有圓形邊界的勻強磁場，如果粒子運動的軌跡半徑Ｒ與圓磁場半徑ｒ相等，則粒子從磁場邊界上同一點（如圖５中Ａ點）射出，磁場圓邊界在該點的切線與粒子入射方向平行。該規(guī)律稱為等半徑磁聚焦。

等半徑磁發(fā)散是磁聚焦的逆過程：一個帶電粒子（或一群相同帶電粒子）從圓形有界勻強磁場邊界上同一點（如圖６中Ａ點）射入，如果粒子運動的軌跡半徑Ｒ與圓磁場半徑ｒ相等，則粒子出射方向與磁場邊界在入射點的切線（即過Ａ點的磁場邊界圓的切線）方向平行。

（２）磁聚焦（或磁發(fā)散）中“徑速角相等”規(guī)律

在等半徑磁聚焦或磁發(fā)散問題中，粒子射入磁場時入射速度方向與入射點磁場半徑的夾角等于射出磁場時出射速度方向與出射點磁場半徑的夾角，即“徑速角相等”。比如，圖５中兩個α角相等，圖６中兩個θ角相等。

２．２ 需要嚴(yán)密的科學(xué)思維

解決“磁聚焦”相關(guān)的同類問題可以采用如圖7所示的科學(xué)思維流程。

75d7b157cdcf5adbecfaf30d0156635f3 設(shè)計彌補教學(xué)，突破思維難點

診斷錯因、并提煉解題方法后，教師應(yīng)該尋找“形同”試題，采用問題串的形式，由淺入深、循序漸進(jìn)地進(jìn)行針對性彌補教學(xué)設(shè)計［２］。

３．１ 尋找“形同”試題

試題 如圖8所示，真空中有一半徑為Ｒ的圓形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直紙面向外，Ｏｘ為邊界上Ｏ點的切線，從Ｏ點在紙面內(nèi)向各方向均勻發(fā)射速率均為ｖ的帶正電的α粒子，已知α粒子的電量為ｑ，質(zhì)量為ｍ，在磁場中偏轉(zhuǎn)半徑也為Ｒ，在Ｏｘ上距Ｏ點Ｌ處有一點Ｐ（Ｌ＞２Ｒ）。不計粒子間相互作用和重力，試回答下列問題。

３．２ 由淺入深設(shè)置問題串

設(shè)置問題串如表２所示。

３．３ 根據(jù)思維流程引導(dǎo)解答

問題１解答：所有α粒子從磁場邊界射出時，速度方向均與Ｏｘ平行，即水平向右。證明如下：

任取一個α粒子（如圖9中，入射方向與入射點磁場半徑成θ角），作圓軌跡，連接入射點Ｏ、圓磁場圓心C、出射點Ａ、圓軌跡圓心Ｑ。由題意，圓軌跡半徑與圓磁場半徑相等，均為Ｒ，四邊形ＯCＡＱ為菱形。

所以，OC∥AQ。

又因為圓軌跡半徑ＯC與切線Ｏｘ垂直，即OC⊥Ox。

所以，AQ⊥Ox。

又因為粒子在Ａ點出射速度ｖ方向垂直于圓軌跡在出射點的半徑ＡＱ。

所以，出射速度ｖ方向與Ｏｘ方向平行。

問題２解答：解題思維流程如圖10所示。

由磁發(fā)散規(guī)律，入射速度方向與Ｏｘ方向夾角成６０°的α粒子，射出時速度與Ｏｘ方向平行，在磁場中偏轉(zhuǎn)６０°，運動的時間為１/６周期，即t=T=。

問題３解答：解題思維流程如圖11所示。

如圖12所示，由磁聚焦規(guī)律，要使所有α粒子都能夠聚焦到Ｐ點，可以設(shè)計一圓形邊界磁場，其半徑ｒ＝Ｒ，Ｐ為切點，其圓心Ｄ在Ｐ正上方。

磁場的磁感應(yīng)強度方向垂直于紙面向外，有

問題４解答：如圖12所示，四邊形ＣＯＯ１Ａ為菱形，對邊平行，對角相等。

因為入射速度垂直于ＯＯ１，又ＯＯ１∥ＣＡ，所以入射速度垂直于ＣＡ，故θ與∠ＯＣＡ互余。

因為出射速度垂直于ＡＯ１，所以α與β互余。

又因為β＝∠ＯＣＡ（同位角），故θ＝α。證畢。

３．４ 檢測學(xué)習(xí)成效

在新情境中，改編練習(xí)對彌補教學(xué)的成效以及學(xué)生的學(xué)習(xí)成效進(jìn)行檢測，練習(xí)設(shè)置的問題應(yīng)該與學(xué)生前面出現(xiàn)的典型錯誤高度相關(guān)，且難度要高于診斷題，這樣才有利于對學(xué)生學(xué)習(xí)后所達(dá)到的核心素養(yǎng)水平進(jìn)行檢測［３］。

檢測練習(xí)：如圖１3所示，在ｘＯｙ坐標(biāo)系中，第一象限有一對電壓為Ｕ１＝３×１０４ Ｖ的平行金屬板，板間距離和板長均為Ｌ＝４０ ｃｍ，板的右側(cè)有一粒子接收屏，下極板剛好在ｘ軸上，且?guī)ж?fù)電。第二象限有一半徑Ｒ＝２０ ｃｍ的圓形勻強磁場，與ｘ軸相切于Ｃ點、與ｙ軸相切于Ｄ點。磁感應(yīng)強度Ｂ＝０．１ Ｔ，方向垂直于紙面向外。第三象限有一個半圓形帶正電的電極ＡＯ，圓心在Ｃ點，在其內(nèi)部存在由電極指向圓心Ｃ點的電場，電極與Ｃ點的電勢差Ｕ２＝１×１０４ Ｖ?，F(xiàn)有許多質(zhì)量ｍ＝６．４×１０－２７ ｋｇ、帶正電的ｑ＝３．２×１０－１９ Ｃ的粒子在圓形電極附近均勻分布，由靜止釋放。不考慮粒子之間的相互作用與重力。求：

（１）粒子進(jìn)入圓形磁場的速度大小；

（２）粒子擊中ｙ軸的范圍；

（３）粒子接收屏接收到的粒子數(shù)和進(jìn)入平行板總粒子數(shù)比值ｋ。

本練習(xí)與診斷題“形同”，考查目標(biāo)也一致，有新的情境，也有更高的難度，但解決的思維方法是一樣的，都用到磁聚焦（或磁發(fā)散）的規(guī)律及深層次結(jié)論，可以起到很好地檢測學(xué)習(xí)效果的作用。

參考文獻(xiàn)：

［１］梁旭，袁張瑾，顧聲和．認(rèn)知診斷的程序與案例［Ｊ］．物理教學(xué)，２０２３，４５（１２）：５１－５４，６４．

［２］張玉峰．為了物理學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的學(xué)習(xí)診斷：概念、路徑與內(nèi)容框架［Ｊ］．中學(xué)物理，２０２０，３８（１）：２－６．

［３］梁旭．基于對學(xué)生錯誤進(jìn)行認(rèn)知診斷的教學(xué)［Ｊ］．物理教學(xué)，２０１３，３５（１１）：５７－６１．

（欄目編輯 李富強）