淺析泰勒公式在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用

摘 要：泰勒公式是現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析的重要內(nèi)容，在研究和分析各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著重要的作用，其理論是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面的重要工具.近幾年來(lái)高考的熱門(mén)題型比較大小，一般是先構(gòu)造模型，然后代入數(shù)值運(yùn)算及比較.學(xué)生往往在選擇函數(shù)模型方面有一定的難度.靈活正確地使用泰勒公式，可以使得解題更加方便，達(dá)到事半功倍的效果.探討泰勒公式在高考試題等知識(shí)領(lǐng)域的應(yīng)用有助于學(xué)生拓展思維、鍛煉能力.

關(guān)鍵詞：泰勒公式;比較大小;高中數(shù)學(xué)

泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，其基本思想是用多項(xiàng)式逼近已知的函數(shù)，而這個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)一般由給定函數(shù)的各階函數(shù)導(dǎo)數(shù)確定.它是研究函數(shù)極限與估計(jì)誤差等方面的重要工具[ 1 ]，正確利用泰勒公式來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，可以達(dá)到事半功倍的效果.近幾年高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題解決過(guò)程中應(yīng)用泰勒展開(kāi)式案例頗多.學(xué)習(xí)泰勒公式，并能學(xué)以致用可以更便捷解決函數(shù)類(lèi)相關(guān)問(wèn)題[ 1 ].

1 常用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式

首先，了解泰勒展開(kāi)式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f（x）利用關(guān)于（x-x0）的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法[ 2 ].

1.1高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，面對(duì)復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，常用函數(shù)泰勒展開(kāi)式有以下幾個(gè)：

2 泰勒公式在近年高考試題中的應(yīng)用

2.1 教材中的應(yīng)用

在人教版《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》必修第一冊(cè)A版（2019年版本）中第五章《三角函數(shù)》復(fù)習(xí)參考題5第26題，英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)拓展公式：

運(yùn)用泰勒公式在一些求具體函數(shù)實(shí)際數(shù)值時(shí)（尤其是當(dāng)項(xiàng)數(shù)比較少時(shí)函數(shù)取值）計(jì)算很方便.

2.2 高考中的常用泰勒展開(kāi)式及其應(yīng)用

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中適時(shí)拓展應(yīng)用，可以起到事半功倍的效果.在高中數(shù)學(xué)命題中的常用模式：（1）從泰勒公式的本身內(nèi)涵及其一般常用結(jié)論來(lái)設(shè)計(jì)題目.對(duì)于這類(lèi)題目的命制，要求命題人在命題時(shí)必須對(duì)泰勒公式的內(nèi)涵全面深入了解，然后提煉出與中學(xué)數(shù)學(xué)相掛鉤的常用函數(shù).從泰勒公式一般結(jié)論出發(fā)，?？紤]近似取值前幾項(xiàng)，通過(guò)逆推和具體化來(lái)命題，將泰勒公式進(jìn)行簡(jiǎn)化和近似取值，并進(jìn)行四則運(yùn)算.（2）直接套用泰勒公式展開(kāi)式進(jìn)行題目命題.這類(lèi)題目可以直接用泰勒公式近似取值，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確[ 2 ].

高考中的常用泰勒展開(kāi)式有：

從以上案例歸納出，對(duì)任意函數(shù)進(jìn)行泰勒展開(kāi)，并不一定用到f（x）的具體表達(dá)式，而結(jié)論往往是一般性的，試題的命制者出發(fā)點(diǎn)和思考點(diǎn)是奠定在綜合思維基礎(chǔ)上，將平時(shí)常用一般性的結(jié)論引進(jìn)到某些特定函數(shù)之中，然后構(gòu)造得到一些結(jié)構(gòu)整齊勻稱(chēng)的式子.這類(lèi)題目是多重思維的疊加，綜合考察學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，通常起到高考選擇題、填空題的壓軸作用[ 3 ].對(duì)大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)此類(lèi)試題是陌生的，與他們平時(shí)訓(xùn)練的題目有所不同，非常規(guī)思路.這會(huì)使大部分學(xué)生感到困難，無(wú)從下手，束手無(wú)策，尤其在考試中有一定的壓力.而解決這類(lèi)問(wèn)題只要學(xué)生平時(shí)多了解一些泰勒公式的應(yīng)用，通過(guò)放縮等方法，比較兩個(gè)式子的大小，也就迎刃而解.

2.3 高考真題案例分析

A、a<b<c B、c<b<a C、c<a<b D、a<c<b

分析：從已知條件的中，選擇常用函數(shù)泰勒展開(kāi)式得知

從以上分析中得c<a<b. 故選：C.

A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<a<b

分析：從已知條件的中，選擇常用函數(shù)泰勒展開(kāi)式得知

從以上分析中得： a<b<c. 選A.

A、a<b<c B、b<c<a C、b<a<c D、c<a<b

將x=0.01，x=0.02，x=0.04代入以上泰勒公式即可得a，b，c值，

易得b<c<a. 故選：B.

由以上三個(gè)例子分析可知，泰勒公式在估值方面（尤其項(xiàng)數(shù)取值比較少時(shí)）一般非常準(zhǔn)確，所以，在碰到幾個(gè)超越函數(shù)比較相近又一時(shí)無(wú)從下手時(shí)往往可以考慮運(yùn)用泰勒公式.不難看出，泰勒公式在比較大小這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，起著非常重要的作用，教師在高中實(shí)際教學(xué)中可以借助課后習(xí)題或平時(shí)拓展知識(shí)引入一些泰勒公式的知識(shí)，拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生思維能力，引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.

總之，利用泰勒公式對(duì)求解一些難度比較大的試題可以起到事半功倍的效果.利用泰勒公式前提是抓住函數(shù)的基本特征，靈活合理構(gòu)造函數(shù).在構(gòu)造函數(shù)時(shí)，盡量不用除式，多用乘積表達(dá)逐步引入泰勒公式進(jìn)行估計(jì)，在讓學(xué)生了解估計(jì)與計(jì)算這類(lèi)近似問(wèn)題時(shí)會(huì)很方便，而且對(duì)于我們研究某些具體函數(shù)會(huì)起到一定的指導(dǎo)作用.近年高考中，比較喜歡考查的是比較實(shí)數(shù)大小，此時(shí)考慮運(yùn)用泰勒公式可以很快解決問(wèn)題.這類(lèi)問(wèn)題一般出現(xiàn)在選擇題或填空題，常見(jiàn)的泰勒展開(kāi)式也可以運(yùn)用于解決證明題或者是導(dǎo)數(shù)大題[ 3 ].

3 價(jià)值取向

近年來(lái)，在各級(jí)各類(lèi)考試和高考命題中，命題者都很喜歡不等式ex≥x+1，lnx≤x-1的應(yīng)用，上面的不等式可以利用圖像說(shuō)明結(jié)論.追其根本，這兩個(gè)不等式在某種程度上都來(lái)源于高等數(shù)學(xué)中的泰勒展開(kāi)式，在高等數(shù)學(xué)中，泰勒公式利用函數(shù)在某點(diǎn)的信息，描述其附近取值的公式.如果函數(shù)連續(xù)且平滑，那么泰勒公式可用這些導(dǎo)數(shù)值作為系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式.

向量、導(dǎo)數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等等以前在大學(xué)才能接觸到的知識(shí)點(diǎn)，已經(jīng)以探索、拓展、提升等形式滲透進(jìn)新教材、新高考.高考這一極其重要的選拔人才的考試中，高等數(shù)學(xué)常常作為高考命題出發(fā)點(diǎn)，考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力，綜合分析問(wèn)題能力以及應(yīng)用能力.培養(yǎng)并提高學(xué)生的創(chuàng)新思維，不僅要讓學(xué)生對(duì)各種常規(guī)題型、基礎(chǔ)題型等加以訓(xùn)練，還要培養(yǎng)學(xué)生換位思考問(wèn)題的能力，努力站在命題者的角度去考慮問(wèn)題[ 4 ].高中教師要用新課程標(biāo)準(zhǔn)審視常規(guī)教學(xué)，不斷地提高教研能力.

參考文獻(xiàn)：

[1] 孔珊珊. 泰勒公式在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用[J].濟(jì)寧學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，32（3）：70-72.

[2] 潘勁松. 泰勒公式的證明及應(yīng)用[J].廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2010，10（2） ：16-21.

[3] 陳炳泉. 一道高考導(dǎo)數(shù)題的思考與探索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（3）：59-62，66.

[4] 陳炳泉. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高考一類(lèi)常見(jiàn)導(dǎo)數(shù)題思考與探索[J].福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2023（4）：45-48.