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    滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展幾何直觀

    2024-09-27 00:00:00李清強(qiáng)

    摘 要:數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值,在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 以一道蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的幾何題為例,從特色解讀、解法賞析、教學(xué)導(dǎo)向分析等方面闡述該題的價(jià)值.

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)文化;幾何直觀;核心素養(yǎng);基本圖形

    中圖分類號(hào):G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1673-8284(2024)09-0056-04

    引用格式:李清強(qiáng). 滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展幾何直觀:一道幾何題的解法賞析與教學(xué)思考[J]. 中國數(shù)學(xué)教育(初中版),2024(9):56-58,64.

    在以落實(shí)核心素養(yǎng)為教育導(dǎo)向的今天,如何賞析、解讀以數(shù)學(xué)文化為背景的試題,從而更好地調(diào)整教師自身的教學(xué),是一線教師應(yīng)該做的功課. 下面以一道蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的幾何題為例,談一些自己的思考.

    一、題目呈現(xiàn)

    題目 由沈康身教授所著,數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個(gè)故事:如圖1,三姐妹為了平分一塊邊長(zhǎng)為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?,先將地毯分割成七塊,再拼成三個(gè)小正方形(陰影部分),則圖中AB的長(zhǎng)應(yīng)是________.

    二、特色解讀

    1. 立足數(shù)學(xué)文化,培育人文情懷

    數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值,在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 該題以數(shù)學(xué)名著中記載的故事為素材,以熟悉的正方形為背景命制,形似于傳統(tǒng)的七巧板問題,讓學(xué)生有種似曾相識(shí)的感覺. 題中巧妙的構(gòu)圖,使學(xué)生既能感受到幾何構(gòu)圖的優(yōu)美與神奇,又能領(lǐng)略到我們祖先的智慧. 這也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為文化傳播的過程和培育人文情懷的過程.

    2. 探尋圖形關(guān)聯(lián),培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

    對(duì)于此題,學(xué)生需要靈活利用這些分割圖形之間所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,提取有用信息進(jìn)行有效重組,然后轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)解題模型,從而正確解題. 學(xué)生可以從不同角度提煉幾何圖形中的有用信息,得到有效的解答方法. 通過對(duì)基本圖形的靈活運(yùn)用培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

    3. 聚焦核心素養(yǎng),發(fā)展幾何直觀

    數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的,它具有整體性、一致性和階段性. 幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)之一. 此題以類似于傳統(tǒng)七巧板問題的基本幾何圖形為背景,呈現(xiàn)了較多的已知條件. 線段間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系在此題中若隱若現(xiàn). 因此,發(fā)揮幾何直觀能力,提煉有用信息,構(gòu)造基本圖形是解決此題的突破口. 此題的解題過程,不僅有對(duì)常見幾何圖形基礎(chǔ)知識(shí)的積累,而且有方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化,是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的有效載體.

    三、解法賞析

    為了便于下文表述,先在圖1上添加關(guān)鍵點(diǎn)的字母,如圖2所示.

    解此題的關(guān)鍵一步便是根據(jù)圖形拼接中的等積變形,求出小正方形的邊長(zhǎng). 如圖2,已知AD = DE = 1,故可求得正方形DFHG的面積為[13],從而可得DG = DF =[33]. 所以CD =[3]. 現(xiàn)提供以下幾種解題方法.

    解法1:如圖2,在Rt△ACD中,AD = 1,CD =[3],由勾股定理可求得AC =[2].

    易得BE∥CD,BC∥DE.

    所以四邊形BCDE為平行四邊形.

    所以BC = DE = 1.

    所以AB = AC - BC =[2-1].

    解法2:如圖2,由已知易得△EDG ∽ △EMD.

    因此[EGED=DGMD].

    因?yàn)镈E = 1,DG =[33],

    且在Rt△DEG中,由勾股定理可得EG =[63].

    所以[631=33MD].

    解得MD =[22].

    所以AM = 1 -[22].

    由△ABM ∽ △DEM,

    可得chY4SnOzp6LAWBhTO0641A==[ABAM=DEMD=2].

    所以AB =[2]AM =[2-1].

    解法3:如圖2,易得Rt△DEG ∽ Rt△DCA.

    因此[EDCD=EGAC].

    由解法2,知EG =[63],

    所以[13=63AC].

    解得AC =[2].

    由圖2可知,△EDG和△BCK均由圖形①②拼成,

    因此△BCK ≌ △EDG.

    所以BC = ED = 1.

    所以AB = AC - BC =[2-1].

    解法4:如圖2,易知△EDG ≌ △BCK.

    所以EG = BK.

    所以EB = GK = CD =[3].

    又因?yàn)镋N = AN = AD = 1,

    所以在Rt△ENB中,由勾股定理,得NB =[2].

    所以AB = NB - AN =[2-1].

    此題還有多種解法,但思路均大同小異. 此題作為填空題,應(yīng)用以上四種解法均可以獲得正確答案. 但以上四種解法均存在漏洞. 那就是∠BAD一定是直角嗎?A,B,C三點(diǎn)共線嗎?這兩點(diǎn)在解題中往往是被忽略的. 圖形的直觀感受讓我們默認(rèn)∠BAD是直角,并且A,B,C三點(diǎn)是共線的. 這是該題的深層次考查意圖,但由于題型的設(shè)置,無法體現(xiàn)出區(qū)分度.

    下面就證明∠BAD是直角,且A,B,C三點(diǎn)共線.

    證法1:如圖3,過點(diǎn)B作BP⊥ED,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

    由拼圖可知△EDG ≌ △BCK.

    所以EG = BK.

    所以BE = GK = CD.

    又因?yàn)锽E∥CD,

    所以四邊形BCDE是平行四邊形.

    所以BC∥ED,且S?BCDE = S矩形DCKG = S正方形ADEN.

    所以BP = AD,且BP∥AD,∠BPD = 90°,

    所以四邊形ADPB為矩形.

    所以∠BAD = 90°,且A,B,C三點(diǎn)共線.

    證法2:如圖2,陰影部分圖形③與圖形④一直角邊重合,由拼圖可知AM = RQ.

    根據(jù)原正方形ADEN的分割,圖形③與圖形⑤⑥的一邊重合,可知CQ = BM.

    又因?yàn)椤螦MB = ∠DMG = ∠RQC,

    所以△ABM ≌ △RCQ.

    所以∠BAM = ∠CRQ = 90°.

    又因?yàn)椤螷BC = ∠RCQ = ∠ABM,

    所以A,B,C三點(diǎn)共線.

    證法3:由解法2可求得DG =[33],MD =[22],AM = 1 -[22],BK = EG =[63].

    如圖2,在Rt△DMG中,由勾股定理,得GM =[66].

    所以BM = GK - GM - BK =[3]-[66]-[63]=[3]-[62].

    所以[AMMD=1-2222=2-1],

    如圖2,在Rt△DME中,由勾股定理,得EM =[62].

    [BMEM=3-6262=2-1].

    所以[AMMD=BMEM].

    又因?yàn)椤螦MB = ∠DME,

    所以△AMB ∽ △DME.

    所以∠BAM = ∠EDM = 90°,∠ABM = ∠DEM = ∠KBC.

    所以A,B,C三點(diǎn)共線.

    當(dāng)然解法2也可以不用證明∠BAM為直角,以及A,B,C三點(diǎn)共線,就可以求得AB的長(zhǎng). 解法2中,由△AMB ∽ △DME,可得[ABDE=AMMD=2-1]. 所以AB =[2-1]DE =[2-1].

    以上解法與證法,無外乎從圖形分割與拼接中尋找線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,從而尋找基本圖形求解線段長(zhǎng)度. 能否靈活利用題中給出的已知條件,既取決于學(xué)生對(duì)基本圖形的熟悉程度,又取決于學(xué)生的幾何直觀和創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此,該題以類似七巧板的圖形為載體命制,立足傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化,著眼于核心素養(yǎng)的培養(yǎng),很好地傳播了數(shù)學(xué)文化,詮釋了題目的價(jià)值.

    四、教學(xué)導(dǎo)向分析

    1. 滲透數(shù)學(xué)文化,培育人文情懷

    中國五千年的文明歷史中,蘊(yùn)含著燦爛的數(shù)學(xué)文化,出現(xiàn)過劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學(xué)家,以及《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等經(jīng)典的數(shù)學(xué)傳世之作. 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》在每章節(jié)都安排了“閱讀材料”欄目. 這些閱讀材料蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化價(jià)值,特別是體現(xiàn)了我國古代在數(shù)學(xué)方面取得的成就.

    該題實(shí)質(zhì)上是七巧板問題,而七巧板在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)出現(xiàn)過,很多學(xué)生也拼玩過. 在初中階段,如果教師以七巧板問題為背景設(shè)置綜合與實(shí)踐活動(dòng)課,讓學(xué)生進(jìn)一步探究傳統(tǒng)七巧板問題的內(nèi)涵,并延伸到七巧板相關(guān)問題,如日本七巧板問題、沈康身教授著作中的“地毯分割問題”及四巧板問題等,那么不僅可以讓學(xué)生不再懼怕這類背景的題目,更重要的是可以激發(fā)學(xué)生的探究熱情,發(fā)展學(xué)生的思維能力,陶冶學(xué)生的情操,使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值,受到深刻的人文教育.

    2. 提高識(shí)圖能力,培養(yǎng)幾何直觀

    識(shí)圖能力是求解幾何問題的基本功. 幾何直觀是學(xué)生解決幾何問題的必備能力. 文獻(xiàn)[3]指出,幾何直觀是指借助于見到的(或想象出來的)幾何圖形的形象關(guān)系,對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象(空間形式和數(shù)量關(guān)系)進(jìn)行直接感知、整體把握的能力. 例如,該題中蘊(yùn)含的直角三角形、相似三角形、平行四邊形、圖形之間的全等關(guān)系、線段之間的等量關(guān)系及位置關(guān)系等,都需要學(xué)生有直觀的感受和直觀的預(yù)判. 在平時(shí)的教學(xué)中,教師不僅要讓學(xué)生觀察、分析圖形各元素之間的關(guān)系,更要鼓勵(lì)學(xué)生多畫圖,強(qiáng)調(diào)基本圖形和幾何直觀的重要性,培養(yǎng)學(xué)生的直觀意識(shí)和識(shí)圖能力,多給學(xué)生提供訓(xùn)練和糾錯(cuò)的機(jī)會(huì),注重總結(jié)和提煉幾何圖形的特征和使用條件,為學(xué)生遷移知識(shí)和后續(xù)發(fā)展奠定認(rèn)知基礎(chǔ),積累解題經(jīng)驗(yàn).

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)[M]. 北京:北京師范大學(xué)出版社,2022.

    [2]李清強(qiáng). 滲透數(shù)學(xué)文化 活用基本圖形[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2019(11):45-47.

    [3]孔凡哲,史寧中. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式:對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)[J]. 課程·教材·教法,2012,32(7):92-97.

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