從俄羅斯方塊到不可思議的拼圖

在整式乘法的學(xué)習(xí)中，我們借助拼圖理解完全平方公式和平方差公式，能夠直觀感受到數(shù)形結(jié)合的魅力。除此之外，我們還會遇到與拼圖有關(guān)的趣味問題，其結(jié)果令人不可思議。

提及拼圖，你是否想起了俄羅斯方塊這個小游戲？俄羅斯方塊有5個基本的圖形，如圖1—圖5所示：

俄羅斯方塊的游戲規(guī)則：

1.方塊會從游戲區(qū)域的最上方開始，緩慢落下；

2.玩家可以以90°為單位旋轉(zhuǎn)方塊，以格子為單位左右移動方塊，也可以讓方塊加速落下；

3.當區(qū)域中某一橫向格子全部由方塊填滿，則該行會消失，玩家會得分，同時，刪除的行數(shù)越多，得分越多；

4.方塊移到區(qū)域最下方，或者落到其他方塊上無法移動時，就會固定在該處，而新的方塊也會出現(xiàn)在區(qū)域上方，繼續(xù)開始落下；

5.當固定的方塊堆到區(qū)域最上方而無法消除層數(shù)時，游戲結(jié)束。

比如圖6，中間的方塊不需要旋轉(zhuǎn)90°，直接移動到最下邊，就可以把最下面的兩排方塊消除，進而連續(xù)得分。如果將其順時針旋轉(zhuǎn)90°，再移動下來，就只能消除倒數(shù)第三排的方格。

下面，我們來看一道與方塊拼圖有關(guān)的有趣問題：

如圖7，在一個7×10的長方形正中央有一個1×6的長方形孔洞。你能將整個圖形分成兩塊，再重新組成一個正方形嗎？

根據(jù)確定性原則，我們先思考這個問題是否有解。因為圖形涂色小方格的數(shù)量等于7×10-1×6=64，正好是8的平方，因此，理論上原圖可以組成一個邊長為8的正方形。

接下來，我們來解決問題。解決問題的第一步是思考如何在這個7×10的長方形中，分出一個邊長為8的圖形。因此，我們考慮把長方形的兩條較長的邊都分為“8+2”兩部分，其分割形式如圖8。

第二步，將分割后的圖形的上方部分（藍色部分）向左移動一格，即可嚴絲合縫地構(gòu)成一個邊長為8的正方形，如圖9所示。由此，這個問題順利解決。

與此類似，還有一些有趣的問題：

數(shù)學(xué)家李約翰特別定制了一塊8×8的包含64個小格子的正方形巧克力（如圖10），在女兒的生日宴會上表演魔術(shù)。他先把這塊8×8的正方形巧克力分割為甲、乙、丙、丁4塊（如圖11），然后將其又拼成了一塊5×13的長方形巧克力（如圖12）。

于是，不可思議的一幕發(fā)生了，如圖13，8×8=5×13？

如果8×8=5×13，這簡直沒有道理可言。為什么啊？

實際上，魔術(shù)前后的巧克力的面積沒有變化，仍是64個小方格。其中的秘密是所拼成的圖形中（如圖12），連接對角頂點的那條黑線并不是一條線段，而是中間有縫隙的兩條折線，只是這個縫隙部分我們用肉眼不易發(fā)現(xiàn)，所以我們會錯誤地感覺拼成后的巧克力面積是65個小方格，實際上中間的縫隙面積是1，圖14是我們將中間的縫隙放大后的效果圖。至于為什么是折線，需要用到相似三角形的知識來解釋，感興趣的同學(xué)可以探究一番。

再推廣研究。我們可把一塊13×13的正方形巧克力通過這樣的魔術(shù)變成邊長為8×21的長方形巧克力，不信你試一試。

還有一個有意思的現(xiàn)象，跟上面兩個問題中出現(xiàn)的數(shù)有關(guān)。我們剛才用到的4個正整數(shù)是5，8，13，21，實際上，這些整數(shù)是數(shù)列“1，1，2，3，5，8，13，21……”的一部分。你知道這組數(shù)列有什么特點嗎？

這組數(shù)列叫作斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，其中每個數(shù)字都是“斐波那契數(shù)”。數(shù)列從第3項開始，每一項都等于前兩項之和，每個數(shù)與它后面那個數(shù)的比值都很接近0.618，正好與著名的“黃金分割律”吻合。這是一個非常美麗、和諧的數(shù)列。如果以數(shù)列中的數(shù)字為正方形的面積來進行拼圖，如圖15，可以得到一個類似螺旋狀的美麗圖形。

數(shù)學(xué)之美，美在奇異，如果你在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，帶著數(shù)形結(jié)合的眼光，還會發(fā)現(xiàn)許多不一樣的美。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學(xué)）